2020年山西省阳泉市高三第一次模拟考试文科数学卷及答案（文字版）

2020年阳泉市高三第一次教学质量监测试题

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.2 14.57 15.5 16.

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.）

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），，

，

.  

∴， 

，

∴.   

（Ⅱ）年得润， 

∴当时，年利润z最大. 

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，则

解得或

∴或，即或，  

又因为数列是递减数列，所以，.

故数列的通项公式为.  

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 

故. 

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，，

又∵，，

∴.

又∵，

∴.  

（Ⅱ）在中，PA=PD，N是棱AD的中点，∴.

由（Ⅰ）知，∴.

又∵，∴.  

∵，，∴，

∵，∴.

∵，∴.  

在中，，，

∴.  

设点N到平面PAC的距离为d，则.

∴，即

，解得.

∴点N到平面PAC的距离为.  

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）将代入，得，所以的面积为.

因为，所以，故C的方程为. 

（Ⅱ）设直线l的方程为（），

由得.

设，，则，，

∴.  

∵线段AB的中点的横坐标为，纵坐标为，

∴线段AB的垂直平分线的方程为，

令，得，∴D的横坐标为， 

设，则，

∴，  

∴当且仅当，即时，为定值，且定值为2，

故存在点E，且E的坐标为.  

21.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为，

当时，， 

当时，；当时，，

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 

（Ⅱ）由，得

，化为. 

令，则，令，得，

当时，；当时，，

∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴当时，函数取得最大值，其值为. 

令，

当时，函数取得最小值，其值为，

∴当，即时，方程只有一个根，

函数有且只有一个零点.  

22.（本小题满分10分）

（Ⅰ）解：（1）直线l的极坐标方程化成.

∵，，∴直线l的直角坐标方程为.

曲线C的参数方程化成：（α为参数）.

平方相加得，即.  

（Ⅱ）设点，则P到直线l的距离为：

. 

当时，.

设的面积为S，则

.  

23.（本小题满分10分）

（Ⅰ），  

①当时，恒成立，所以；

②当时，即，所以；

③当时，显然不成立.

综上所述，不等式的解集为.  

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，于是， 

由基本不等式可得

，

当且仅当时，取“=”，所以. 

（以上答案仅供参考，如有不同解法酌情给分）