2022淮安涟水县一中高三下学期4月期中数学试题含答案

涟水县第一中学2021~2022学年第二学期高三年级期中测试

数学试卷

考试时间为120分钟，满分150分命题人：

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数z满足，则z的虚部是（）

A B.  C.  D.

3. 设m，n是不同的直线，是平面，则下列说法正确的是（）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

4. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）当时，需要多少步“雹程”？（）

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

5. 函数的图象可能是（）

A.  B.

C.  D.

6. 已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（）

A. 19 B. 23 C. 25 D. 85

7. 定义：在数列中，若满足常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，则等于（）

A B.  C.  D.

8. 已知点是抛物线上一动点，则的最小值为

A. 4 B. 5 C.  D. 6

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）

A. 图中的值为

B. 这组数据的极差为50

C. 得分在80分及以上的人数为400

D. 这组数据的平均数的估计值为77

10. 如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则下列说法不正确的是（）

A.

B. 平面平面

C. 三棱锥的体积为

D. 三棱锥的外接球的表面积为

11. 如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列四个判断中，正确命题为（）

A. 两个椭圆的离心率相等

B. 到，，，四点的距离之和为定值

C. 曲线关于直线，均对称

D. 曲线所围区域面积必小于36

12. 已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（）

A. 最小正周期为4 B.

C.  D.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13. 设向量，若，则___________．

14. 展开式的系数和与二项式系数和均为64，若，则其展开式中常数项为___________.

15. 某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩X近似服从正态分布，试卷满分150分.现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，若同学乙的数学成绩为120分，则他的学校排名约为___________名.

16. 已知点在同一个球的上，，则过三点的截面圆的面积为__________；若四面体体积的最大值为4，则这个球的表面积为__________.

四､解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知数列，若_________________．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．

①；

②，，；

③，点，在斜率是2的直线上．

18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且.

（1）求角A；

（2）若，求△ABC的面积.

20. 某地区2015年至2021年居民家庭人均存款y（单位：万元）数据如下表：

变量t，y具有线性相关关系.现有甲､乙､丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

（1）试判断谁的计算结果正确？

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差大于0.1，则称该数据为“不可靠数据”，若误差为0，则称该检测数据是“完美数据”，这两者之外的其余数据均称为“可靠数据”.现剔除不可靠数据，从剩余数据中随机抽取2个，求其中“完美数据”个数的分布列和数学期望.

22. 如图，四边形是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧上的一点，，点H为线段的中点，且，点G为线段上一动点．

（1）试确定点G的位置，使平面，并给予证明；

（2）求二面角的大小．

24. 已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点.

（1）求以AB为直径的圆的方程；

（2）设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

25. 已知函数，，

（1）讨论函数单调性；

（2）若对于定义域内任意，恒成立，求实数的取值范围.

【1题答案】

【答案】C

【2题答案】

【答案】B

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】A

【6题答案】

【答案】B

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】D

【9题答案】

【答案】CD

【10题答案】

【答案】AB

【11题答案】

【答案】ACD

【12题答案】

【答案】BCD

【13题答案】

【答案】##0.375

【14题答案】

【答案】15

【15题答案】

【答案】80

【16题答案】

【答案】    ①.     ②.

【17题答案】

【详解】解：（1）若选①，由，

所以当，，

两式相减可得：，

而在中，令可得：，符合上式，

故．

若选②，由（，）可得：数列为等差数列，

又因为，，所以，即，

所以．

若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，

即，

所以数列为等差数列且．

（2）由（1）知：，

所以

．

【18题答案】

【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

由及正弦定理，

得，整理得，

所以由余弦定理得.

又，所以.

【小问2详解】

设外接圆半径为R，

由，，，，

可得，所以，

所以，所以.

由正弦定理，得，则.

因为，所以，所以，

所以△ABC是以B为直角的直角三角形，

所以△ABC的面积.

【20题答案】

【答案】（1）丙的计算结果正确；

（2）分布列答案见解析，数学期望：.

【小问1详解】

由题知：，

，

将代入甲方程得：，

将代入乙方程得：，

将代入丙方程得：，

所以丙的计算结果正确；

【小问2详解】

由回归方程估计得到的数据分别为：，，，，，，，则为1个不可行数据，，为完美数据，其余为可靠数据.

则剔除“不可靠数据”后，共有6个数据，其中“完美数据”有2个，从中随机抽取2个，

设其中“完美数据”个数为，则，且：

，，，

则的分布列为：

的数学期望为：.

【22题答案】

【小问1详解】

当点G为的中点时，平面．

证明：取得中点M，连接．

∵G，M分别为与中点，

∴，且，

又H为的中点，且，

∴．

四边形是平行四边形，∴

又平面平面

∴平面

【小问2详解】

由题意知，是半圆柱底面圆的一条直径，

∴．

∴．

由底面，得底面．

∴．

以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则

设平面的一个法向量为

所以

则令则

即

由．得平面

∴平面的一个法向量为

设二面角所成的角为

则

∴二面角所成的角为.

【24题答案】

【答案】（1）；（2）经过定点，.

【详解】（1）由已知，则，故AB方程：，

联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：，得，即，

从而以AB为直径的圆的圆心为，半径为，

所以圆的方程为，

即.；

（2）①当CD斜率存在时，并设CD方程：，

设，

由，消去y得：，

故，，

从而，

，

而以CD为直径的圆方程为：，

即①，

且以AB为直径的圆方程为②，

②-①得直线，

即

整理得，

可得：，

因为AB与 CD两条直线互异，则，

即，

令，解得，即直线MN过定点；

②当CD斜率不存在时，CD方程：，知，，

则以CD为直径的圆为，

而以AB为直径的圆方程，

两式相减得MN方程：，过点；

综上所述，直线MN过定点.

【25题答案】

【小问1详解】

解：函数定义域为，.

当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为，无递减区间；

当时，由，可得；由，可得.

此时函数的增区间为，减区间为.

综上，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；

当时，函数的增区间为，减区间为.

【小问2详解】

解：对任意的，，即，

可得对任意的恒成立，

构造函数，其中，则，，

构造函数，其中，则，

所以，函数在上单调递增，

因为，，

所以，存在，使得，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以，，

因为，则，

构造函数，其中，则，

所以，函数在上为增函数，

因为，则，则，

由可得，所以，，

所以，，可得，

所以，，.