人教版七年级数学下册--- 综合实践之一元一次不等式组的应用专练（原卷+解析）

这是一份人教版七年级数学下册--- 综合实践之一元一次不等式组的应用专练（原卷+解析），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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专题05 综合实践之一元一次不等式组的应用专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次就停止了，那么的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
2．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
3．产品的价格是由市场价格波动产生的，而每种产品价格自当天是固定的．某采购商欲采购A产品80件，B产品100件．甲供应商捆绑销售2件A产品和3件B产品，报价在400元～500元之间．乙供应商也捆绑销售3件A产品和2件B产品，报价在500元～600元之间，采购商打算从甲、乙两家供应商购进A产品80件、B产品100件，则所要准备的资金为（  ）
A．12600元～15200元之间                                      B．15200元～18800元之间
C．18800元～21600元之间                                      D．21600元～33000元之间
4．设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4＞＝3，则方程3[x]＋2{x}＋＜x＞＝20（ ）
A．没有解 B．恰好有1个解
C．有限个解 D．有无数个解
5．阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧共购买盒蛋糕，花费的金额不超过元．若他将蛋糕分给位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（ ）

A． B． C． D．
6．小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让他们猜．喜欢数学的甲同学说：“至少20元．”对数学感觉一般的乙同学说：“至多15元．”讨厌数学的丙同学说：“至多12元．”小王说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格（元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
7．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
8．定义运算[x]表示求不超过x的最大整数．如[0.3]＝0，[1.5]＝1，[﹣1.6]＝﹣2，[﹣2.2]＝﹣3．若[﹣1.5]•[2x﹣3]＝﹣6，则x的取值范围是（　　）
A．4.5≤x＜5 B．3≤x＜3.5 C．3≤x≤3.5 D．4.5≤x≤5
9．如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
10．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助警察维持交通秩序，若每个路口安排4人，那么每个路口安排完后还剩下18人，若每个路口安排6人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人，则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为____．
12．某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有学生______．
13．已知x、y是整数，3x+2＝5y+3，且3x+2＞30，5y+3＜41，则k的立方根是______．
14．为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．则这个中学共选派值勤学生______人．
15．为支持贫困山区的希望工程，某学校组织学生准备了1710个笔记本，664支钢笔及若干副三角板．学生们将这些学习用品分成了甲、乙、丙三类包裹进行邮寄，一个甲类包裹里有10个笔记本、8支钢笔和6副三角板，一个乙类包裹里有15个笔记本、2支钢笔和7副三角板，一个丙类包裹里有20本笔记本、8支钢笔和10副三角板．已知甲、乙、丙三类包裹都为正整数，并且甲类包裹的数量大于31个，丙类包裹的数量大于33个，那么所有包裹里三角板的总数为_____副．
16．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的最大剂量是______．

17．把一堆苹果分给孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后1人得到的苹果少于3个，有________个孩子，_____个苹果．
18．若实数满足，则的取值范围为___________．
19．已知实数，，满足，且有最大值，则的值是__________．
20．为了表彰本学期表现优秀的同学，学校决定订购“荣耀王者”、“至尊星耀”、“永恒钻石”三种不同的奖励勋章共50枚，其中“荣耀王者”勋章的数量高于“至尊星耀”勋章的数量，“永恒钻石”勋章的数量不高于30枚．已知“荣耀王者”勋章每枚80元，“至尊星耀”勋章每枚60元，“永恒钻石”勋章每枚50元．实际购买时，“荣耀王者”勋章每枚降低了10元，其他勋章价格不变学校实际订购的三枚勋章数量也均有所改变，“荣耀王者”勋章的数量是计划的，“永恒钻石”勋章的数量是计划的，结果实际购进三种勋章共37枚，实际花费比计划少了940元，则学校原计划购进“荣耀王者”勋章 ___枚．
三、解答题
21．永辉超市计划购进甲、乙两种体育器材，若购进甲器材3件，乙器材6件，需要480元，购进甲器材2件，乙器材3件，需要280元，销售每件甲器材的利润率为37.5%，销售每件乙器材的利润率为30%．
(1)甲、乙两种体育器材进价分别为多少元/件？（列方程或方程组解答）
(2)该超市决定购进甲、乙体育器材100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购进这些体育器材的资金不少于6300元，同时又不能超过6430元，则该超市有哪几种进货方案？那种方案获利最大？最大利润是多少元？
22．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．
(1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？
23．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．


（1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？
（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？
24．对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如：
，；
，．
解决下列问题：
（1）填空：______；
（2）若，求的取值范围；
（3）①若，那么______；
②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）；
③运用②解决问题：若，求的值．
25．对于同一平面内以O为端点的射线与，其中，给出如下定义：是内或与射线，重合的n条不同的射线（），这些射线与射线l形成的小于平角的角的大小分别为，若这n条射线满足，则称这n条射线为关于射线l的一个基准射线族，其中为该基准射线族的基准角度．

（1）如图1，当射线与射线l恰为的两条三等分线时，判断射线，，是否为关于射线l的一个基准射线族？如果是，求出它的基准角度；如果不是，请说明理由；
（2）如图2，的边与射线l重合，固定射线l的位置不动，将以每秒5°的速度绕着点O逆时针转动一周．当转动时间为t秒时，是关于射线l的一个基准射线族．
①若，求该基准射线族的基准角度的最大值；
②若n的最大值等于6，直接写出t的取值范围．





专题05 综合实践之一元一次不等式组的应用专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次就停止了，那么的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据“操作恰好进行两次就停止了”可得第一次运行的结果小于等于190，第二次运行的结果大于190，由此建立不等式组，再解不等式组即可得．
【详解详析】
由题意得：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行的次数，正确建立不等式组是解题关键．
2．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组：，解之即可得出x的取值范围．
【详解详析】
解：依题意，得：
，
由①得：
，
由②得：＞，
＞
＞，
所以不等式组的解集为：．
故选：．
【名师指路】
本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
3．产品的价格是由市场价格波动产生的，而每种产品价格自当天是固定的．某采购商欲采购A产品80件，B产品100件．甲供应商捆绑销售2件A产品和3件B产品，报价在400元～500元之间．乙供应商也捆绑销售3件A产品和2件B产品，报价在500元～600元之间，采购商打算从甲、乙两家供应商购进A产品80件、B产品100件，则所要准备的资金为（  ）
A．12600元～15200元之间                                      B．15200元～18800元之间
C．18800元～21600元之间                                      D．21600元～33000元之间
【标准答案】B
【思路指引】
设一件A产品x元，一件B产品y元，由已知甲供应商捆绑销售2件A产品和3件B产品，报价在400元～500元之间，乙供应商也捆绑销售3件A产品和2件B产品，报价在500元～600元之间，可得，再有已知条件建立、的不等式，求出不等式组的解集，分别求出去最大值和最小值时的值，然后分别求出从甲、乙两家供应商购进A产品80件、B产品100件时至少准备的资金和至多准备的资金，即可解答；
【详解详析】
解：设一件A产品x元，一件B产品y元，
∵甲供应商捆绑销售2件A产品和3件B产品，报价在400元～500元之间，乙供应商也捆绑销售3件A产品和2件B产品，报价在500元～600元之间，
∴一件A产品比一件B产品多100元，
∴x=y+100，
根据题意得：
400≤2x+3y≤500
解之：40≤y≤60；
500≤3x+2y≤600
解之：40≤y≤60；
当y=40时，x=140
∴从甲、乙两家供应商购进A产品80件、B产品100件，则至少准备的资金为140×80+40×100=15200元；
当y=60时，x=160,
∴则至多准备的资金为：160×80+100×60=18800，
∴采购商打算从甲、乙两家供应商购进A产品80件、B产品100件，则所要准备的资金为15200元～18800元之间.
故答案为：B.
【名师指路】
本题主要考查了不等式的应用，根据题意得出、之间的数量关系，列出不等式，求出的范围是解题的关键．
4．设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4＞＝3，则方程3[x]＋2{x}＋＜x＞＝20（ ）
A．没有解 B．恰好有1个解
C．有限个解 D．有无数个解
【标准答案】D
【思路指引】
首先判断x的大致范围为3＜x＜4，然后再分两种情况讨论x的范围，①3＜x＜3.5，②3.5＜x＜4即可得到答案．
【详解详析】
解：当x＝3时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×3+3＝18，当x＝4时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×4+2×4+4＝24，
∴可得x的大致范围为3＜x＜4，
①3＜x＜3.5时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×4+3＝20，符合方程；
②当3.5＜x＜4时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×4+4＝21，不符合方程．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了学生对[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数）的理解，难度适中，解此题的关键是分类讨论思想的应用．
5．阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧共购买盒蛋糕，花费的金额不超过元．若他将蛋糕分给位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（ ）

A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
可设阿慧购买x盒桂圆蛋糕，则购买（10-x）盒金枣蛋糕，根据不等关系：①购买10盒蛋糕，花费的金额不超过500元；②蛋糕的个数大于等于75个，列出不等式组求解即可．
【详解详析】
解：设阿慧购买x盒桂圆蛋糕，则购买（10-x）盒金枣蛋糕，依题意有
，
解得≤x≤，
∵x是整数，
∴x=3，
70×3+40×（10-3）=490（元）．
答：阿慧花490元购买蛋糕．
故选：D．
【名师指路】
本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的一元一次不等式组，注意要与实际相联系．
6．小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让他们猜．喜欢数学的甲同学说：“至少20元．”对数学感觉一般的乙同学说：“至多15元．”讨厌数学的丙同学说：“至多12元．”小王说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格（元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据三个人都说错了列出不等式组，求解即可．
【详解详析】
甲同学说：“至少20元．”，乙同学说：“至多15元．”，丙同学说：“至多12元．”而三个人都说错了，
则，
，
故选：C．
【名师指路】
本题足以考查一元一次不等式组的应用，列出不等式组是关键．
7．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是这个小朋友分得的苹果数大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式．
【详解详析】
解：设有x人，则苹果有个，由题意得：
，
故选：C．
【名师指路】
此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
8．定义运算[x]表示求不超过x的最大整数．如[0.3]＝0，[1.5]＝1，[﹣1.6]＝﹣2，[﹣2.2]＝﹣3．若[﹣1.5]•[2x﹣3]＝﹣6，则x的取值范围是（　　）
A．4.5≤x＜5 B．3≤x＜3.5 C．3≤x≤3.5 D．4.5≤x≤5
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意得出﹣2•[2x﹣3]＝﹣6，即[2x﹣3]＝3，据此可得3≤2x﹣3＜4，解之即可．
【详解详析】
解：根据题意，得：﹣2•[2x﹣3]＝﹣6，
∴[2x﹣3]＝3，
则3≤2x﹣3＜4，
解得3≤x＜3.5，
故选：B．
【名师指路】
此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到不等式组进行求解．
9．如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解详析】
解：根据题意可知： ，
解得：．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
10．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据三人说法都错了得出不等式组解答即可．
【详解详析】
根据题意可得：，
可得：，
∴
故选B．
【名师指路】
此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．
二、填空题
11．为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助警察维持交通秩序，若每个路口安排4人，那么每个路口安排完后还剩下18人，若每个路口安排6人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人，则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为____．
【标准答案】50
【思路指引】
根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，由x是整数，从而可以求得维持交通秩序的总人数．
【详解详析】
解：设安排了x个路口维持交通秩序，
，
解得，7＜x＜
∴有8个路口
∴当x＝8时，维持交通秩序的总人数：4x＋18＝4×8＋18＝50，
故答案为：50．
【名师指路】
本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的不等式，注意此题要联系实际情况，路口和人数都要取整数．
12．某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有学生______．
【标准答案】37人或42人
【思路指引】
设共有宿舍x间，则共有学生（5x+12）人，根据“如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可确定x的值，再将其代入（5x+12）中即可求出结论．
【详解详析】
解：设共有宿舍x间，则共有学生（5x+12）人，
依题意得：，
解得：4＜x＜．
又∵x为整数，
∴x可以为5或6．
当x＝5时，5x+12＝5×5+12＝37；
当x＝6时，5x+12＝5×6+12＝42．
故答案为：37人或42人．
【名师指路】
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组并正确求出整数解是解题关键．
13．已知x、y是整数，3x+2＝5y+3，且3x+2＞30，5y+3＜41，则k的立方根是______．
【标准答案】
【思路指引】
根据条件可得关于x的不等式组和关于y的不等式组，即可求得x，y的取值范围，再根据x，y是整数，以及3x+2＝5y+3，即可确定x，y的值，进而求解．
【详解详析】
解:∵3x+2＝5y+3，且3x+2＞30，5y+3＜41，
∴
∴
∵x是整数
∴x取10、11、12
当x=12时有y为整数.
x＝12，y＝7
立方根是．
【名师指路】
本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是解不等式组.
14．为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．则这个中学共选派值勤学生______人．
【标准答案】158
【思路指引】
设星期天选派同学值勤的交通路口有x个，则这个中学共选派值勤学生人，根据题意列出一元一次不等式组求解即可；
【详解详析】
设星期天选派同学值勤的交通路口有x个，则这个中学共选派值勤学生人，
依题意得：，
解得：，
∵x为正整数，
∴，
∴人；
故答案是：158．
【名师指路】
本题主要考查了一元一次不等式组的应用，准确计算是解题的关键．
15．为支持贫困山区的希望工程，某学校组织学生准备了1710个笔记本，664支钢笔及若干副三角板．学生们将这些学习用品分成了甲、乙、丙三类包裹进行邮寄，一个甲类包裹里有10个笔记本、8支钢笔和6副三角板，一个乙类包裹里有15个笔记本、2支钢笔和7副三角板，一个丙类包裹里有20本笔记本、8支钢笔和10副三角板．已知甲、乙、丙三类包裹都为正整数，并且甲类包裹的数量大于31个，丙类包裹的数量大于33个，那么所有包裹里三角板的总数为_____副．
【标准答案】870
【思路指引】
设甲类包裹有x个，乙类包裹有y个，丙类包裹有z个，由准备了1710个笔记本，664支钢笔列出x、y、z的三元一次方程组，用z表示x、y，进而由x的取值范围和z＞33列出z的不等式组求z的取值范围，再根据x、y与z的关系式和x、y为正整数求得z的整数值，从而求出x、y的值，再进行计算即可．
【详解详析】
解：设甲类包裹有x个，乙类包裹有y个，丙类包裹有z个，根据题意得：

②×15−①×2得：100x＋80z＝6540，
解得： x＝，
将x＝代入②得：，
∴，
∵x＞31，z＞33，
∴，
解得：33＜z＜43，
∵z为正整数，且为正整数，
∴z＝38，y＝40
∴x＝=35，
∴所有包裹里三角板的总数为：6×35＋7×40＋10×38＝870（副）．
故答案为：870．
【名师指路】
本题主要考查了一元一次不等式组及三元一次方程组的应用，关键是正确列出不等式组和方程组，正确求不定方程的特殊解．
16．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的最大剂量是______．

【标准答案】30
【思路指引】
根据30≤2次服用的剂量≤60，30≤3次服用的剂量≤60，列出两个不等式组，求出解集，再求出解集的公共部分即可．
【详解详析】
设一次服用的剂量为xmg，根据题意得：
30≤2x≤60或30≤3x≤60，
解得：15≤x≤30或10≤x≤20．
则一次服用这种药品的剂量范围是：10～30mg．
故答案为30．
【名师指路】
本题考查了一元一次不等式组的应用，得到不同次数服用剂量的数量关系是解决本题的关键．
17．把一堆苹果分给孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后1人得到的苹果少于3个，有________个孩子，_____个苹果．
【标准答案】 6 26
【思路指引】
设有x个孩子，y个苹果，则由题意得：y=3x+8，1≤y-5（x-1）＜3，求解即得．
【详解详析】
设有x个孩子，y个苹果，
由每人分3个，那么多8个得：y=3x+8，
由前面每人分5个，那么最后1人得到的苹果少于3个得：
1≤y-5（x-1）＜3，
即1≤3x+8-5x+5＜3，
5＜x≤6，
∴x=6．
故有6个小孩，3×6+8=26个苹果．
故答案是：6，26.
【名师指路】
考查了实际问题列出不等式，解题关键是把实际问题转化为数学问题，通过不等式求解可使实际问题变得较为简单．
18．若实数满足，则的取值范围为___________．
【标准答案】
【思路指引】
先根据已知等式可得，从而可得，再根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出的取值范围，由此即可得出答案．
【详解详析】
解：由得：，
则，
，
，解得，
又，
，
，
即的取值范围为，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、一元一次不等式组的应用，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解题关键．
19．已知实数，，满足，且有最大值，则的值是__________．
【标准答案】8
【思路指引】
把变形得，故可求出有最大值时，a，b的值，代入故可求解．
【详解详析】
设=
∴a-2b=（m+n）a+(m-n)b
∴，解得
∴=
∵，
∴，
∴
∴有最大值1
此时，
解得a=1，b=0
∴=8
故答案为：8．
【名师指路】
此题主要考查不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，解题的关键是根据题意把把变形得，从而求解．
20．为了表彰本学期表现优秀的同学，学校决定订购“荣耀王者”、“至尊星耀”、“永恒钻石”三种不同的奖励勋章共50枚，其中“荣耀王者”勋章的数量高于“至尊星耀”勋章的数量，“永恒钻石”勋章的数量不高于30枚．已知“荣耀王者”勋章每枚80元，“至尊星耀”勋章每枚60元，“永恒钻石”勋章每枚50元．实际购买时，“荣耀王者”勋章每枚降低了10元，其他勋章价格不变学校实际订购的三枚勋章数量也均有所改变，“荣耀王者”勋章的数量是计划的，“永恒钻石”勋章的数量是计划的，结果实际购进三种勋章共37枚，实际花费比计划少了940元，则学校原计划购进“荣耀王者”勋章 ___枚．
【标准答案】16
【思路指引】
设原计划购进“荣耀王者”勋章x枚，“永恒钻石”勋章y枚，则购进“至尊星耀”枚，根据题意列出关于的二元一次方程，由是整数，为整数，且为整数，可以取出符合的值，然后再根据题意列出不等式，找出符合题意的取值即可．
【详解详析】
解：设原计划购进“荣耀王者”勋章x枚，“永恒钻石”勋章y枚，
则购进“至尊星耀”枚，
则原计划花费：，
实际花费：，
由题可知：，
即，
是整数，为整数，且为整数，
则或或或或．．．
根据题意可知，即，
则满足条件的的值为，
原计划购进原计划购进“荣耀王者”勋章16枚，
故答案为：16．
【名师指路】
本题主要考查二元一次方程的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，得出关于的二元一次方程是解题的关键．
三、解答题
21．永辉超市计划购进甲、乙两种体育器材，若购进甲器材3件，乙器材6件，需要480元，购进甲器材2件，乙器材3件，需要280元，销售每件甲器材的利润率为37.5%，销售每件乙器材的利润率为30%．
(1)甲、乙两种体育器材进价分别为多少元/件？（列方程或方程组解答）
(2)该超市决定购进甲、乙体育器材100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购进这些体育器材的资金不少于6300元，同时又不能超过6430元，则该超市有哪几种进货方案？那种方案获利最大？最大利润是多少元？
【标准答案】(1)甲、乙两种体育器材进价分别为80元/件，40元/件
(2)见解析
【思路指引】
（1）设甲器材的进价为x元/件，乙器材的进价为y元/件，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲器材z件，根据题意列出不等式组，求出整数解，得到三种方案，分别计算三种方案的利润，比较即可．
(1)
解：设甲器材的进价为x元/件，乙器材的进价为y元/件，
由题意可得：，
解得：，
∴甲、乙两种体育器材进价分别为80元/件，40元/件；
(2)
设购进甲器材z件，
由题意可得：，
解得：，
∴z的取值为58，59，60，
方案一：当z=58时，即甲器材58件，乙器材42件，
利润为：元；
方案二：当z=59时，即甲器材59件，乙器材41件，
利润为：元；
方案三：当z=60时，即甲器材60件，乙器材40件，
利润为：元；
∴方案三的利润最大，最大利润为2280元．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组，由两种商品利润间的关系，找出获利最大的进货方案．
22．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．
(1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？
【标准答案】(1) 有三种购买方案,理由见解析；（2）为保证日租金不低于1500元，应选择方案三，即购买5辆轿车，5辆面包车
【思路指引】
设要购买轿车x辆，则要购买面包车（10-x）辆，题中要求“轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元”列出不等式，然后解出x的取值范围，最后根据x的值列出不同方案．
【详解详析】
(1)设购买轿车x辆，那么购买面包车(10－x)辆．
由题意，得7x＋4(10－x)≤55，
解得x≤5.
又因为x≥3，所以x的值为3，4，5，
所以有三种购买方案：
方案一：购买3辆轿车，7辆面包车；
方案二：购买4辆轿车，6辆面包车；
方案三：购买5辆轿车，5辆面包车．
(2)方案一的日租金为3×200＋7×110＝1370(元)<1500元；
方案二的日租金为4×200＋6×110＝1460(元)<1500元；
方案三的日租金为5×200＋5×110＝1550(元)>1500元．
所以为保证日租金不低于1500元，应选择方案三，即购买5辆轿车，5辆面包车．
【名师指路】
本题主要考查对于一元一次不等式组的应用，要注意找好题中的不等关系．解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次不等式；（2）求出三种购买方案的日租金
23．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．


（1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？
（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）根据题意设盒底边长，接口的宽度，分别为，,根据题意列方程组，再根据长宽高求得体积；
（2）分别设第一个月和第二个月的销售量为盒，根据题意列出方程和不等式组，根据不等式确定二元一次方程的解，两个月的销售总量为盒
【详解详析】
（1）设设盒底边长为，接口的宽度为，则盒高是，根据题意得：

解得：

茶叶盒的容积是：
答：该茶叶盒的容积是
（2）设第一个月销售了盒，第二个月销售了盒，根据题意得：

化简得：①
第一个月只售出不到一半但超过三分之一的量

即
由①得：

解得：
是整数，所以为5的倍数
或者
或者
答：这批茶叶共进了或者盒．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的求解，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键．
24．对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如：
，；
，．
解决下列问题：
（1）填空：______；
（2）若，求的取值范围；
（3）①若，那么______；
②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）；
③运用②解决问题：若，求的值．
【标准答案】（1）；（2）；（3）①1，②，③
【思路指引】
（1）先求出这些数的值，再根据运算规则即可得出答案；
（2）先根据运算规则列出不等式组，再进行求解即可得出答案；
（3）根据题中规定的表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，列出方程组即可求解．
【详解详析】
（1），
，
故答案为：-4；
（2）由题意得： ，
解得：，
则x的取值范围是：；
（3），
，
，
；
若，则；
根据得：
，
解得：，
则，
故答案为：1，．
【名师指路】
本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是读懂题意，根据题意结合方程和不等式去求解，考查综合应用能力．
25．对于同一平面内以O为端点的射线与，其中，给出如下定义：是内或与射线，重合的n条不同的射线（），这些射线与射线l形成的小于平角的角的大小分别为，若这n条射线满足，则称这n条射线为关于射线l的一个基准射线族，其中为该基准射线族的基准角度．

（1）如图1，当射线与射线l恰为的两条三等分线时，判断射线，，是否为关于射线l的一个基准射线族？如果是，求出它的基准角度；如果不是，请说明理由；
（2）如图2，的边与射线l重合，固定射线l的位置不动，将以每秒5°的速度绕着点O逆时针转动一周．当转动时间为t秒时，是关于射线l的一个基准射线族．
①若，求该基准射线族的基准角度的最大值；
②若n的最大值等于6，直接写出t的取值范围．
【标准答案】（1）是 ，基准角度为40°；（2）①有最大值100°；②或
【思路指引】
（1）根据题中所给定义进行判断和求解；
（2）①根据基准射线族的定义解答即可；②分四种情况，根据基准射线族的定义逐一画出图形讨论解答即可 ．
【详解详析】
解（1）射线，，是关于射线l的一个基准射线族
如图1，在射线l上任取一定点B

∵，为的三等分线，
∴
∴
∴
∴基准角度为40°．
（2）①如图2，时，，
∴在内部或与，重合
，取，时，有最大值100°．
②∵n最大值为6
∴时存在且时等式不成立
分如下四种情况讨论：
1°如图2，当时，即在直线上侧．对于

∵在内部或与，重合
∴
∴
∴，当且仅当与重合时取等
∵互不相同
∴等号不成立，．
另一方面，∵时等式不成立
∴恒成立
∴的最小值大于的最大值
∴即
∵互不相同
∴时满足要求
∴．
所以本情况下，
2°如图3，当时，即射线的反向延长线在内部或与一边重合
∵或
∴
所以本情况下不存在满足要求的t．

3°如图4，当时，即在直线下侧．对于：

∵在内部或与，重合
∴，

∴
∴，当且仅当与重合时取等
∵互不相同
∴等号不成立，．
另一方面，∵时等式不成立
∴恒成立
∴的最小值大于的最大值
∴即
∵互不相同
∴时满足要求
∴．
所以本情况下，
4°如图5，当时，即射线的反向延长线在内部或与一边重合取（即可），
则有
从而有成立
所以本情况下不存在满足要求的t．

综上所述，或满足要求．
【名师指路】
本题考查新定义情境下角的大小和比较， 熟练掌握有关方法和技巧是解题关键．