高考数学考前冲刺专题《恒成立问题》夯基练习（2份，教师版+答案版）

高考数学考前冲刺专题

《恒成立问题》夯基练习

一 、选择题

1. “不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　 　)

A.m>       B.0<m<1        C.m>0       D.m>1

2.已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有(　　)

A.m≤－3　       B.m≥－3     C.－3≤m＜0　       D.m≥－4

3.若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为(　　)

A.(－3,1)   B.(－∞，－3)∪(1，＋∞)     C.∅    D.(0,1)

4.若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是(　　)

A.(－∞，7]       B.(－∞，－20]      C.(－∞，0]     D.[－12,7]

5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是(　　)

A.(－2,0)∪(2，＋∞)　

B.(－2,0)∪(0,2)

C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D.(－∞，－2)∪(0,2)

6.在R上定义运算：=ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　 　)

A.－        B.－      C.         D.

7.已知≤＋1对于任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则(　　)

A.a的最小值为－3           B.a的最小值为－4

C.a的最大值为2           D.a的最大值为4

8.若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，0)      B.(－∞，4]    C.(0，＋∞)     D.[4，＋∞)

9.设函数f(x)=若f(x)≥f(1)恒成立,则实数a的取值范围为(　　)

A.[1,2]       B.[0,2]       C.[1,+∞)       D.[2,+∞)

10.已知函数f(x)=－mx(e为自然对数的底数)，若f(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围是(　 　)

A．(－∞，2)      B．(－∞，e)     C.      D.

二 、填空题

11.若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________.

12.当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m取值范围是      .

13.在R上定义运算⊙：x⊙y=x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙x＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是________.

14.设函数f(x)=|x＋a|，g(x)=x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.

15.已知函数f(x)=若不等式|f(x)|－mx＋2≥0恒成立，则实数m的取值范围为________.

16.已知函数f(x)=sin(ωx＋)，其中ω>0.若|f(x)|≤f()对x∈R恒成立，则ω的最小值为________.

0.参考答案

1.答案为：C.

解析：不等式x2－x＋m>0在R上恒成立⇔Δ<0，即1－4m<0，∴m>，同时要满足“必要不充分”，在选项中只有“m>0”符合.故选C.

2.答案为：A

解析：∵x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，令f(x)=x2－4x，x∈(0,1]，

f(x)图象的对称轴为直线x=2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，

∴当x=1时f(x)取到最小值为－3，∴实数m应满足m≤－3，故选A.

3.答案为：B

解析：x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，所以Δ=4a2－4a＜0，所以0＜a＜1，

所以函数y=ax是减函数，由at2＋2t－3＜1可得t2＋2t－3＞0，

解得t＜－3或t＞1，故选B.

4.答案为：B

解析：令f(x)=x3－3x2－9x＋2，则f ′(x)=3x2－6x－9，

令f ′(x)=0得x=－1或x=3(舍去).

∵f(－1)=7, f(－2)=0, f(2)=－20，

∴f(x)的最小值为f(2)=－20，故m≤－20.

5.答案为：D

解析：∵当x>0时，[]’′<0，

∴φ(x)=在(0，＋∞)为减函数，

又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在R上单调递增.

∵f(2)=0，∴在(0,2)内恒有f(x)>0；在(2，＋∞)内恒有f(x)<0.

故在(－∞，－2)内恒有f(x)>0；在(－2,0)内恒有f(x)<0.

故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2).

6.答案为：D；

解析：由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，

∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立.∵x2－x＋1=2＋≥，

∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.

7.答案为：A

解析：≤＋1对于任意的x∈(1，＋∞)恒成立，

转化为a2＋2a＋2≤＋x=f(x)的最小值.f′(x)=，

可得x=3时，函数f(x)取得极小值即最小值f(3)=5.

∴a2＋2a＋2≤5，化为a2＋2a－3≤0，即(a＋3)(a－1)≤0，解得－3≤a≤1.

因此a的最小值为－3.故选A.

8.答案为：B；

解析：[由题意知a≤2ln x＋x＋对x∈(0，＋∞)恒成立，

令g(x)=2ln x＋x＋，则g′(x)=＋1－=，

由g′(x)=0得x=1或x=－3(舍)，且x∈(0,1)时，g′(x)＜0，

x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0.因此g(x)min=g(1)=4.所以a≤4，故选B.]

9.答案为：A；

解析：∵f(x)≥f(1)恒成立,∴f(1)是f(x)的最小值,由二次函数性质可得a≥1,

由分段函数性质得(1-a)2-1≤ln 1,解得0≤a≤2.综上可得,1≤a≤2.

10.答案为：C.

解析：∵f(x)=－mx>0在(0，＋∞)上恒成立，∴m<在(0，＋∞)上恒成立，

令g(x)=，x>0，∴g′(x)==，当0<x<2时，g′(x)<0，

g(x)单调递减；当x>2时，g′(x)>0，g(x)单调递增．故当x=2时，g(x)取得最小值，

且最小值为g(2)=.∴m<.

11.答案为：(－∞，－3]

解析：因为函数f(x)=x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x=1时，f(x)min=1－4=－3，

所以m≤－3.

12.答案为：(－1,2)；

解析：原不等式变形为m2－m＜(0.5)x，

因为函数y=(0.5)x在(－∞，－1]上是减函数，所以(0.5)x≥(0.5)－1=2，

当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜(0.5)x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.

13.答案为：(－4，0).

解析：由题意得不等式(x＋m)(2－x)＜1，

即x2＋(m－2)x＋(1－2m)＞0对任意x∈R恒成立，

因此Δ=(m－2)2－4(1－2m)＜0，即m2＋4m＜0，解得－4＜m＜0.

14.答案为：[－1，＋∞).

解析：如图，作出函数f(x)=|x＋a|与g(x)=x－1的图象，观察图象可知：

当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，

因此a的取值范围是[－1，＋∞).

15.答案为：[－3－2，0].

解析：由f(x)=知|f(x)|=

不等式|f(x)|－mx＋2≥0恒成立，即|f(x)|≥mx－2恒成立.

令g(x)=|f(x)|，h(x)=mx－2，

则原不等式恒成立等价于y=h(x)的图象不在y=g(x)图象的上方.

h(x)=mx－2是过定点(0，－2)的直线系.

如图，l1与x轴平行，l2与曲线y=x2－3x(x≤0)相切，易知直线l1的斜率k1=0，

设直线l2的斜率为k2，联立方程，

得⇒x2－3x－k2x＋2=0，即x2－(3＋k2)x＋2=0，

则Δ=(3＋k2)2－4×2=0，故k2=－2－3，(2－3舍去)，

结合图象易知m的取值范围为[－3－2，0].

16.答案为：4.

解析：由题意得ω＋=2kπ＋(k∈Z)，即ω=24k＋4(k∈Z)，

由ω>0知，当k=0时，ω取到最小值4.