高考数学考前冲刺专题《正态分布》夯基练习（2份，教师版+答案版）

高考数学考前冲刺专题

《正态分布》夯基练习

一 、选择题

1.如图是总体的正态曲线，下列说法正确的是(　　)

A.组距越大，频率分布直方图的形状越接近于它

B.样本容量越小，频率分布直方图的形状越接近于它

C.阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比

D.阴影部分的平均高度代表总体在(a，b)内取值的百分比

【参考答案】答案为：C；

解析：总体的正态曲线与频率分布直方图的形状关系如下：当样本容量越大，组距越小时，频率分布直方图的形状越接近总体的正态曲线，故A，B不正确.在总体的正态曲线中，阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比，故选C.

2.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为0.683,0.955和0.997.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布N(165,52)，则适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制(　　)

A.683套          B.955套     C.972套          D.997套

【参考答案】答案为：B；

解析：设学生的身高为随机变量ξ，则P(155＜ξ＜175)

=P(165－5×2＜ξ＜165＋5×2)=P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)=0.955.

因此适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制1 000×0.955=955(套).故选B.

3.1月某校高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N(100，σ2)(试卷满分为150分).统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为(　　)

A.80          B.100       C.120          D.200

【参考答案】答案为：D；

解析：∵X～N(100，σ2)，∴其正态曲线关于直线X=100对称，

又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，由对称性知成绩不低于120分的学生

人数约为总人数的×(1- )=，

∴此次考试成绩不低于120分的学生人数约为×1 600=200.故选D.

4.经检测，有一批产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，记其中合格产品的件数为ξ，则P(ξ=k)取得最大值时，k的值为(　　)

A.5          B.4       C.3          D.2

【参考答案】答案为：B；

解析：根据题意得，P(ξ=k)=C()k(1- )5－k，k=0,1,2,3,4,5，

则P(ξ=0)=C()0×()5=，P(ξ=1)=C()1×()4=，P(ξ=2)=C()2×()3=，

P(ξ=3)=C()3×()2=，P(ξ=4)=C()4×()1=，P(ξ=5)=C()5×()0=，

故当k=4时，P(ξ=k)最大.

5.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲的及格概率为，乙的及格概率为，丙的及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为(　　)

A.          B.         C.          D.

【参考答案】答案为：D；

解析：设“甲及格”为事件A，“乙及格”为事件B，“丙及格”为事件C，

则P(A)=，P(B)=，P(C)=，∴P()=，P()=，P()=，

则P(  )=P()P()P()=××=，

∴三人中至少有一人及格的概率P=1－P(  )=.故选D.

6.已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)=(　　)

A.          B.       C.4          D.

【参考答案】答案为：B；

解析：由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X=3)==，P(X=4)==，P(X=5)==，所以E(X)=3×＋4×＋5×=.

7.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　)

A.甲类水果的平均质量为0.4 kg

B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.σ2=1.99

【参考答案】答案为：D；

解析：由题中图象可知甲的正态曲线关于直线x=0.4对称，乙的正态曲线关于直线x=0.8对称，所以μ1=0.4，μ2=0.8，故A正确，C正确.由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B正确.因为乙的正态曲线的峰值为1.99，

即=1.99，所以σ2≠1.99，故D错误，于是选D.

8.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)=0.158 7，则P(2＜X＜4)=(　　)

A.0.682 6          B.0.341 3    C.0.460 3          D.0.920 7

【参考答案】答案为：A；

解析：∵随机变量X服从正态分布N(3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x=3，

∵P(X≥4)=0.158 7，∴P(2＜X＜4)=1－2P(X≥4)=1－0.317 4=0.682 6.故选A.

9.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)=0.954 4.

A.1 193         B.1 359      C.2 718         D.3 413

【参考答案】答案为：B；

解析：对于正态分布N(－1,1)，可知μ=－1，σ=1，正态曲线关于直线x=－1对称，

故题图中阴影部分的面积为×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]

=×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]

=×(0.954 4－0.682 6)=0.135 9，

所以点落入题图中阴影部分的概率P==0.135 9，

投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9=1 359.故选B.

10.设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是(　　)

(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=68.26%，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)=95.44%)

A.7 539      B.6 038       C.7 028       D.6 587

【参考答案】答案为：D；

解析：∵X～N(1,1)，∴μ=1，σ=1.∵P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=68.26%，

∴P(0＜X＜2)=68.26%，则P(1＜X＜2)=34.13%，

∴阴影部分的面积为1－0.341 3=0.658 7.

∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，

则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7=6 587.故选D.

11.某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩X近似服从正态分布N(100，a2)(a＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为(　　)

A.400          B.500           C.600           D.800

【参考答案】答案为：A；

解析：由题意得，P(X≤90)=P(X≥110)=，所以P(90≤X≤110)=1－2×=，

所以P(100≤X≤110)=，

所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为1 000×=400.故选A.

12.设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)=0.022 8，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为(　　)

附：(随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)=0.682 6，

P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)=0.954 4).

A.12 076         B.13 174        C.14 056　　　　  D.7 539

【参考答案】答案为：B

解析：由题意，得P(X≤－1)=P(X≥3)=0.022 8，

∴P(－1<x<3)=1－0.022 8×2=0.954 4，

∵P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)=0.954 4，

∴1－2σ=－1，故σ=1，∴P(0<X<1)=P(0<X<2)=0.341 3，

故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1－0.341 3)=13 174，故选B.

二 、填空题

13.已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X＞0)=0.8，则P(X≥2)=________.

【参考答案】答案为：0.2.

解析：随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，∴正态曲线关于x=1对称，

∴P(X≥2)=P(X≤0)=1－P(X＞0)=0.2.

14.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________.

【参考答案】答案为：0.8.

解析：由正态分布N(1，σ2)(σ＞0)的图象关于直线x=1对称，且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，知ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.

15.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有        件.

附：若X服从正态分布N(μ，σ2)，

则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 5.

【参考答案】答案为：8186.

解析：由题意知μ=100，σ=2，则P(98<X<104)=[P(μ－σ<X<μ＋σ)＋P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]≈0.818 6，所以质量在[98,104]内的产品估计有10 000×0.818 6=8 186件.

16.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为          .

【参考答案】答案为：；

解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，

显然P(A)=P(B)=P(C)=，

∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A＋B＋AB)C，

∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P=×=.