高考数学考前冲刺专题《导数与函数的单调性》夯基练习（2份，教师版+答案版）

高考数学考前冲刺专题

《导数与函数的单调性》夯基练习

一 、选择题

1.f(x)=x2－aln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)

A.a<1       B.a≤1      C.a<2         D.a≤2

【参考答案】答案为：D

解析：由f(x)=x2－aln x，得f′(x)=2x－，

∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，

∴2x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，

∵x∈(1，＋∞)时，2x2>2，∴a≤2.故选D.

2.若函数f(x)=(x2－2x)ex在(a，b)上单调递减，则b－a的最大值为(　　)

A.2          B.          C.4         D.2

【参考答案】答案为：D

解析：f′(x)=(2x－2)ex＋(x2－2x)ex=(x2－2)ex，令f′(x)<0，

∴－<x<，即函数f(x)的单调递减区间为(－，).

∴b－a的最大值为2.故选D.

3.函数y=sin x＋ln|x|在区间[－3，3]的图象大致为(　　)

【参考答案】答案为：A；

解析：设f(x)=sin x＋ln|x|，

当x＞0时，f(x)=sin x＋ln x⇒f′(x)=cos x＋，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，

即函数f(x)在(0，1)上为单调递增函数，排除B；

由当x=1时，f(1)=sin 1＞0，排除D；

因为f(－x)=sin(－x)＋ln|－x|=－sin x＋ln|x|≠±f(x)，

所以函数f(x)为非奇非偶函数，排除C，故选A.

4.已知f(x)=1+x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是(　 　)

A.f(2)>f(3)>f(π)              B.f(3)>f(2)>f(π)

C.f(2)>f(π)>f(3)              D.f(π)>f(3)>f(2)

【参考答案】答案为：D.

解析:因为f(x)=1+x-sin x,所以f′(x)=1-cos x,

当x∈(0,π]时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π]上是增函数,

所以f(π)>f(3)>f(2).

5.函数f(x)=xln |x|的大致图象是(　　)

【参考答案】答案为：A；

解析：因为函数f(x)=xln |x|，可得f(－x)=－f(x)，f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D；当x＞0时，f′(x)=ln x＋1，令f′(x)＞0得x＞，得出函数f(x)在(,+∞)上是增函数，排除B，故选A.

6.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)

A.(－3，0)∪(3，＋∞)

B.(－3，0)∪(0，3)

C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D.(－∞，－3)∪(0，3)

【参考答案】答案为：D；

解析：因为当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即[f(x)g(x)]′>0，

所以f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增，

又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)g(x)为奇函数，关于原点对称，所以f(x)g(x)在(0，＋∞)上也是增函数.因为f(3)g(3)=0，所以f(－3)g(－3)=0.所以f(x)g(x)<0的解集为x<－3或0<x<3.

7.已知函数f(x)=x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【参考答案】答案为：A；

解析：f′(x)=x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，

故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.

8.定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)<x＋1的x的集合为(　　)

A.{x|－1<x<1}      B.{x|x<1}   C.{x|x<－1或x>1}    D.{x|x>1}

【参考答案】答案为：B；

解析：令g(x)=2f(x)－x－1，∵f′(x)>，∴g′(x)=2f′(x)－1>0，

∴g(x)为单调增函数，∵f(1)=1，∴g(1)=2f(1)－1－1=0，

∴当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x＋1，故选B.

9.已知a≥0，函数f(x)=(x2－2ax)ex.若f(x)在[－1,1]上单调递减，则a的取值范围是(　　)

A.　      B.       C.      D.

【参考答案】答案为：C

解析：f ′(x)=(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex=[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意可知，

当x∈[－1,1]时， f ′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立.

令g(x)=x2＋(2－2a)x－2a，则有

即解得a≥.

10.若函数f(x)=x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是(　　)

A.(－2,0)　     B.(0,1)      C.(1，＋∞)     D.(－∞，－2)

【参考答案】答案为：D

解析：由题意知， f ′(x)=1－.∵函数f(x)=x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点， ∴当1－=0时，b=x2，又x∈(1,2)，∴b∈(1,4).令f ′(x)＞0，解得x＜－或x＞，即f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，

∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意.故选D.

11.若函数f(x)=ln x－ax2－4x(a≠0)在区间(,)上单调递增，则实数a的最大值为(　　)

A.        B.－        C.－        D.

【参考答案】答案为：B；

解析：解法一：对函数f(x)求导得f′(x)=－2ax－4=－(x＞0).

①当a＞0时，由f′(x)＞0得，0＜x＜，即f(x)在上单调递增，

因为f(x)在区间(,)上单调递增，所以≥，无解，故a不存在；

②当－2＜a＜0时，由f′(x)＞0得，0＜x＜或x＞，

即f(x)在，上单调递增，

因为f(x)在区间(,)上单调递增，所以≥或≤，

所以－2＜a≤－；

③当a≤－2时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意.

综上所述，a≤－，即实数a的最大值为－.

12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)≠0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(－3)=0，则不等式<0的解集是(　　)

A.(－3,0)∪(3，＋∞)           B.(－3,0)∪(0,3)

C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)       D.(－∞，－3)∪(0,3)

【参考答案】答案为：D

解析：∵当x<0时，f′(x)·g(x)－f(x)g′(x)>0，

∴[]′=>0，

∴当x<0时，是增函数，故当x>0时，也是增函数.

∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

∴为奇函数，的图象关于原点对称，

函数的单调性的示意图，如图所示：

∵f(－3)=0，∴f(3)=0，∴由不等式<0，可得x<－3或0<x<3，

故原不等式的解集为{x|x<－3或0<x<3}.故选D.

二 、填空题

13.已知函数f(x)=mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为______.

【参考答案】答案为：[1，＋∞)

解析：f′(x)=mx＋－2≥0对一切x>0恒成立.

m≥－()2＋，令g(x)=－()2＋，则当=1时，函数g(x)取得最大值1，故m≥1.

14.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是　　　　. 

【参考答案】答案为：(-3,0)∪(0,+∞)

解析:由题意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f′(x)有两个不相等的零点,所以3ax2+6x-1=0需满足a≠0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3,所以实数a的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).

15.已知函数f(x)=－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上单调递增，则实数m的取值范围是________.

【参考答案】答案为：[2,4]

解析：f ′(x)=x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，由题意可知，f ′(x)≥0在R上恒成立，

所以Δ=4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)=4(m2－6m＋8)≤0，解得2≤m≤4.

16.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对于任意的实数x，有f(x)＋f(－x)=2x2，

当x∈(－∞，0]时，f′(x)＋1＜2x.若f(2＋m)－f(－m)≤2m＋2，

则实数m的取值范围是______．

【参考答案】答案为：[－1，＋∞)

解析：令g(x)=f(x)＋x－x2，所以g(x)＋g(－x)=f(x)＋x－x2＋f(－x)－x－x2

=f(x)＋f(－x)－2x2=0，所以g(x)为定义在R上的奇函数，

又当x≤0时，g′(x)=f′(x)＋1－2x＜0，所以g(x)在R上单调递减，

所以f(2＋m)－f(－m)≤2m＋2等价于f(2＋m)＋(2＋m)－(m＋2)2≤f(－m)＋(－m)－(－m)2，即2＋m≥－m，解得m≥－1，所以实数m的取值范围是[－1，＋∞)．