2022年河北省高碑店市重点中学中考四模数学试题含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.定义运算:a⋆b=2ab.若a,b是方程x2+x-m=0(m>0)的两个根,则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b的值为( )
A.0 B.2 C.4m D.-4m
2.如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(﹣3,1),点B的纵坐标是4,则B,C两点的坐标分别是( )
A.(﹣2,4),(1,3) B.(﹣2,4),(2,3)
C.(﹣3,4),(1,4) D.(﹣3,4),(1,3)
3.下列四个式子中,正确的是( )
A. =±9 B.﹣ =6 C.()2=5 D.=4
4. “五一”期间,某市共接待海内外游客约567000人次,将567000用科学记数法表示为( )
A.567×103 B.56.7×104 C.5.67×105 D.0.567×106
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD的中点,若BC=2,则EF的长度为( )
A. B.1 C. D.
6.等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是( )
A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数
7.运用乘法公式计算(3﹣a)(a+3)的结果是( )
A.a2﹣6a+9 B.a2﹣9 C.9﹣a2 D.a2﹣3a+9
8.若一个函数的图象是经过原点的直线,并且这条直线过点(-3,2a)和点(8a,-3),则a的值为( )
A. B. C. D.±
9.绿豆在相同条件下的发芽试验,结果如下表所示:
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1904
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.952
0.950
下面有三个推断:
①当n=400时,绿豆发芽的频率为0.955,所以绿豆发芽的概率是0.955;
②根据上表,估计绿豆发芽的概率是0.95;
③若n为4000,估计绿豆发芽的粒数大约为3800粒.
其中推断合理的是( )
A.① B.①② C.①③ D.②③
10.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是( )
A.10,15 B.13,15 C.13,20 D.15,15
11.如图,已知∠AOB=70°,OC平分∠AOB,DC∥OB,则∠C为( )
A.20° B.35° C.45° D.70°
12.如图,将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD,若OA=4,∠AOB=35°,则下列结论错误的是( )
A.∠BDO=60° B.∠BOC=25° C.OC=4 D.BD=4
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.如图,把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°,得到△A’B’C,A’B’交AC于点D,若∠A’DC=90°,则∠A= °.
14.不等式5x﹣3<3x+5的非负整数解是_____.
15.同学们设计了一个重复抛掷的实验:全班48人分为8个小组,每组抛掷同一型号的一枚瓶盖300次,并记录盖面朝上的次数,下表是依次累计各小组的实验结果.
1组
1~2组
1~3组
1~4组
1~5组
1~6组
1~7组
1~8组
盖面朝上次数
165
335
483
632
801
949
1122
1276
盖面朝上频率
0.550
0.558
0.537
0.527
0.534
0.527
0.534
0.532
根据实验,你认为这一型号的瓶盖盖面朝上的概率为____,理由是:____.
16.已知二次函数f(x)=x2-3x+1,那么f(2)=_________.
17.在某一时刻,测得一根长为1.5m的标杆的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为26m,那么这根旗杆的高度为_____m.
18.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB=,则BC的长为_____.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)如图在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,已知点A,B,C,D均为网格线的交点在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90°画出旋转后的图形△A1B1C1;在网格中将△ABC放大2倍得到△DEF,使A与D为对应点.
20.(6分)如图,已知⊙O,请用尺规做⊙O的内接正四边形ABCD,(保留作图痕迹,不写做法)
21.(6分)某调查小组采用简单随机抽样方法,对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查,并把所得数据整理后绘制成如下的统计图:
(1)该调查小组抽取的样本容量是多少?
(2)求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数,并补全占频数分布直方图;
(3)请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间.
22.(8分)如图,∠BCD=90°,且BC=DC,直线PQ经过点D.设∠PDC=α(45°<α<135°),BA⊥PQ于点A,将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°,与直线PQ交于点E.当α=125°时,∠ABC= °;求证:AC=CE;若△ABC的外心在其内部,直接写出α的取值范围.
23.(8分)图1是一辆吊车的实物图,图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,张角∠HAC为118°时,求操作平台C离地面的高度(结果保留小数点后一位:参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)
24.(10分)如图,∠MON的边OM上有两点A、B在∠MON的内部求作一点P,使得点P到∠MON的两边的距离相等,且△PAB的周长最小.(保留作图痕迹,不写作法)
25.(10分)如图,点是反比例函数与一次函数在轴上方的图象的交点,过点作轴,垂足是点,.一次函数的图象与轴的正半轴交于点.
求点的坐标;若梯形的面积是3,求一次函数的解析式;结合这两个函数的完整图象:当时,写出的取值范围.
26.(12分)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求证:△ABC与△DEC全等.
27.(12分)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“官兵分布”问题:“一千官军一千布,一官四疋无零数,四军才分布一疋,请问官军多少数.”其大意为:今有1000官兵分1000匹布,1官分4匹,4兵分1匹.问官和兵各几人?
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、A
【解析】【分析】由根与系数的关系可得a+b=-1然后根据所给的新定义运算a⋆b=2ab对式子(a+1)⋆a -(b+1)⋆b用新定义运算展开整理后代入进行求解即可.
【详解】∵a,b是方程x2+x-m=0(m>0)的两个根,
∴a+b=-1,
∵定义运算:a⋆b=2ab,
∴(a+1)⋆a -(b+1)⋆b
=2a(a+1)-2b(b+1)
=2a2+2a-2b2-2b
=2(a+b)(a-b)+2(a-b)
=-2(a-b)+2(a-b)=0,
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,新定义运算等,理解并能运用新定义运算是解题的关键.
2、A
【解析】
作CD⊥x轴于D,作AE⊥x轴于E,作BF⊥AE于F,由AAS证明△AOE≌△OCD,得出AE=OD,OE=CD,由点A的坐标是(﹣3,1),得出OE=3,AE=1,∴OD=1,CD=3,得出C(1,3),同理:△AOE≌△BAF,得出AE=BF=1,OE﹣BF=3﹣1=2,得出B(﹣2,4)即可.
【详解】
解:如图所示:作CD⊥x轴于D,作AE⊥x轴于E,作BF⊥AE于F,则∠AEO=∠ODC=∠BFA=90°,∴∠OAE+∠AOE=90°.
∵四边形OABC是正方形,∴OA=CO=BA,∠AOC=90°,∴∠AOE+∠COD=90°,∴∠OAE=∠COD.在△AOE和△OCD中,∵,∴△AOE≌△OCD(AAS),∴AE=OD,OE=CD.
∵点A的坐标是(﹣3,1),∴OE=3,AE=1,∴OD=1,CD=3,∴C(1,3).
同理:△AOE≌△BAF,∴AE=BF=1,OE﹣BF=3﹣1=2,∴B(﹣2,4).
故选A.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
3、D
【解析】
A、表示81的算术平方根;B、先算-6的平方,然后再求−的值;C、利用完全平方公式计算即可;D、=.
【详解】
A、=9,故A错误;
B、-=−=-6,故B错误;
C、()2=2+2+3=5+2,故C错误;
D、==4,故D正确.
故选D.
【点睛】
本题主要考查的是实数的运算,掌握算术平方根、平方根和二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键.
4、C
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥1时,n是非负数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】
567000=5.67×105,
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
5、B
【解析】
根据题意求出AB的值,由D是AB中点求出CD的值,再由题意可得出EF是△ACD的中位线即可求出.
【详解】
∠ACB=90°,∠A=30°,
BC=AB.
BC=2,
AB=2BC=22=4,
D是AB的中点,
CD=AB= 4=2.
E,F分别为AC,AD的中点,
EF是△ACD的中位线.
EF=CD= 2=1.
故答案选B.
【点睛】
本题考查的知识点是三角形中位线定理,解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理.
6、B
【解析】
根据一次函数的定义,可得答案.
【详解】
设等腰三角形的底角为y,顶角为x,由题意,得
x+2y=180,
所以,y=﹣x+90°,即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系,
故选B.
【点睛】
本题考查了实际问题与一次函数,根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.
7、C
【解析】
根据平方差公式计算可得.
【详解】
解:(3﹣a)(a+3)=32﹣a2=9﹣a2,
故选C.
【点睛】
本题主要考查平方差公式,解题的关键是应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:①左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;②右边是相同项的平方减去相反项的平方.
8、D
【解析】
根据一次函数的图象过原点得出一次函数式正比例函数,设一次函数的解析式为y=kx,把点(−3,2a)与点(8a,−3)代入得出方程组 ,求出方程组的解即可.
【详解】
解:设一次函数的解析式为:y=kx,
把点(−3,2a)与点(8a,−3)代入得出方程组 ,
由①得:,
把③代入②得: ,
解得:.
故选:D.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式,主要考查学生运用性质进行计算的能力.
9、D
【解析】
①利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率,n=400,数值较小,不能近似的看为概率,①错误;②利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率,可得②正确;③用4000乘以绿豆发芽的的概率即可求得绿豆发芽的粒数,③正确.
【详解】
①当n=400时,绿豆发芽的频率为0.955,所以绿豆发芽的概率大约是0.955,此推断错误;
②根据上表当每批粒数足够大时,频率逐渐接近于0.950,所以估计绿豆发芽的概率是0.95,此推断正确;
③若n为4000,估计绿豆发芽的粒数大约为4000×0.950=3800粒,此结论正确.
故选D.
【点睛】
本题考查利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比.
10、D
【解析】
将五个答题数,从小打到排列,5个数中间的就是中位数,出现次数最多的是众数.
【详解】
将这五个答题数排序为:10,13,15,15,20,由此可得中位数是15,众数是15,故选D.
【点睛】
本题考查中位数和众数的概念,熟记概念即可快速解答.
11、B
【解析】
解:∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=35°,∵CD∥OB,∴∠BOC=∠C=35°,故选B.
12、D
【解析】
由△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD知∠AOC=∠BOD=60°,AO=CO=4、BO=DO,据此可判断C;由△AOC、△BOD是等边三角形可判断A选项;由∠AOB=35°,∠AOC=60°可判断B选项,据此可得答案.
【详解】
解:∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD,
∴∠AOC=∠BOD=60°,AO=CO=4、BO=DO,故C选项正确;
则△AOC、△BOD是等边三角形,∴∠BDO=60°,故A选项正确;
∵∠AOB=35°,∠AOC=60°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°,故B选项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查旋转的性质,解题的关键是掌握旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、55.
【解析】
试题分析:∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°,得到△A’B’C
∴∠ACA’=35°,∠A =∠A’,.
∵∠A’DC=90°,
∴∠A’ =55°.
∴∠A=55°.
考点:1.旋转的性质;2.直角三角形两锐角的关系.
14、0,1,2,1
【解析】
5x﹣1<1x+5,
移项得,5x﹣1x<5+1,
合并同类项得,2x<8,
系数化为1得,x<4
所以不等式的非负整数解为0,1,2,1;
故答案为0,1,2,1.
【点睛】根据不等式的基本性质正确解不等式,求出解集是解答本题的关键.
15、0.532, 在用频率估计概率时,试验次数越多越接近,所以取1﹣8组的频率值.
【解析】
根据用频率估计概率解答即可.
【详解】
∵在用频率估计概率时,试验次数越多越接近,所以取1﹣8组的频率值,
∴这一型号的瓶盖盖面朝上的概率为0.532,
故答案为:0.532,在用频率估计概率时,试验次数越多越接近,所以取1﹣8组的频率值.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识,解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确.
16、-1
【解析】
根据二次函数的性质将x=2代入二次函数解析式中即可.
【详解】
f(x)=x2-3x+1
f(2)= 22-32+1=-1.
故答案为-1.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的性质,解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
17、13
【解析】
根据同时同地物高与影长成比列式计算即可得解.
【详解】
解:设旗杆高度为x米,
由题意得,,
解得x=13.
故答案为13.
【点睛】
本题考查投影,解题的关键是应用相似三角形.
18、4
【解析】
根据锐角的余弦值等于邻边比对边列式求解即可.
【详解】
∵∠C=90°,AB=6,
∴,
∴BC=4.
【点睛】
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中, , ,.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)根据旋转变换的定义和性质求解可得;
(2)根据位似变换的定义和性质求解可得.
【详解】
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;
(2)如图所示,△DEF即为所求.
【点睛】
本题主要考查作图﹣位似变换与旋转变换,解题的关键是掌握位似变换与旋转变换的定义与性质.
20、见解析
【解析】
根据内接正四边形的作图方法画出图,保留作图痕迹即可.
【详解】
任作一条直径,再作该直径的中垂线,顺次连接圆上的四点即可.
【点睛】
此题重点考察学生对圆内接正四边形作图的应用,掌握圆内接正四边形的作图方法是解题的关键.
21、(4)500;(4)440,作图见试题解析;(4)4.4.
【解析】
(4)利用0.5小时的人数除以其所占比例,即可求出样本容量;
(4)利用样本容量乘以4.5小时的百分数,即可求出4.5小时的人数,画图即可;
(4)计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可.
【详解】
解:(4)由题意可得:0.5小时的人数为:400人,所占比例为:40%,
∴本次调查共抽样了500名学生;
(4)4.5小时的人数为:500×4.4=440(人),如图所示:
(4)根据题意得:=4.4,即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间为4.4小时.
考点:4.频数(率)分布直方图;4.扇形统计图;4.加权平均数.
22、(1)125;(2)详见解析;(3)45°<α<90°.
【解析】
(1)利用四边形内角和等于360度得:∠B+∠ADC=180°,而∠ADC+∠EDC=180°,即可求解;
(2)证明△ABC≌△EDC(AAS)即可求解;
(3)当∠ABC=α=90°时,△ABC的外心在其直角边上,∠ABC=α>90°时,△ABC的外心在其外部,即可求解.
【详解】
(1)在四边形BADC中,∠B+∠ADC=360°﹣∠BAD﹣∠DCB=180°,
而∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠ABC=∠PDC=α=125°,
故答案为125;
(2)∠ECD+∠DCA=90°,∠DCA+∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ECD,
又BC=DC,由(1)知:∠ABC=∠PDC,
∴△ABC≌△EDC(AAS),
∴AC=CE;
(3)当∠ABC=α=90°时,△ABC的外心在其斜边上;∠ABC=α>90°时,△ABC的外心在其外部,而45°<α<135°,故:45°<α<90°.
【点睛】
本题考查圆的综合运用,解题的关键是掌握三角形全等的判定和性质(AAS)、三角形外心.
23、操作平台C离地面的高度为7.6m.
【解析】
分析:作CE⊥BD于F,AF⊥CE于F,如图2,易得四边形AHEF为矩形,则EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,再计算出∠CAF=28°,则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF,然后计算CF+EF即可.
详解:作CE⊥BD于F,AF⊥CE于F,如图2,
易得四边形AHEF为矩形,
∴EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,
∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°,
在Rt△ACF中,∵sin∠CAF=,
∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23,
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m),
答:操作平台C离地面的高度为7.6m.
点睛:本题考查了解直角三角形的应用:先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题),然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算.
24、详见解析
【解析】
作∠MON的角平分线OT,在ON上截取OA′,使得OA′=OA,连接BA′交OT于点P,点P即为所求.
【详解】
解:如图,点P即为所求.
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图,利用了角平分线的性质,难点在于利用轴对称求最短路线的问题.
25、(1)点的坐标为;(2);(3)或.
【解析】
(1)点A在反比例函数上,轴,,求坐标;
(2)梯形面积,求出B点坐标,将点代入 即可;
(3)结合图象直接可求解;
【详解】
解:(1)∵点在的图像上,轴,.
∴,
∴
∴点的坐标为;
(2)∵梯形的面积是3,
∴,
解得,
∴点的坐标为,
把点与代入
得
解得:,.
∴一次函数的解析式为.
(3)由题意可知,作出函数和函数图像如下图所示:
设函数和函数的另一个交点为E,
联立 ,得
点E的坐标为
即 的函数图像要在的函数图像上面,
可将图像分割成如下图所示:
由图像可知所对应的自变量的取值范围为:或.
【点睛】
本题考查反比例函数和一次函数的图形及性质;能够熟练掌握待定系数法求函数的表达式,数形结合求的取值范围是解题的关键.
26、证明过程见解析
【解析】
由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,可求得∠DCE=∠ACB,且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°,可求得∠DEC=∠ABC,再结合条件可证明△ABC≌△DEC.
【详解】
∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠5+∠4=∠4+∠3,
∴∠5=∠3,且∠B+∠CEA=180°,
又∠7+∠CEA=180°,
∴∠B=∠7,
在△ABC和△DEC中 ,
∴△ABC≌△DEC(ASA).
27、官有200人,兵有800人
【解析】
设官有x人,兵有y人,根据1000官兵正好分1000匹布,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论.
【详解】
解:设官有x人,兵有y人,
依题意,得:
,
解得: .
答:官有200人,兵有800人.
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的应用,根据题意列出二元一次方程组是解题的关键.
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