12第三讲 定义新运算练习题

 第三讲  定义新运算

知识要点与学法指导：

定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。解题时需注意以下几点：

1. 解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算顺序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

2. 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙、◎等，这是与四则运算中的“＋－×÷”不同的。

3. 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

例1  “⊙”表示一种新的运算，它是这样定义的：

a⊙b＝a×b－（a＋b）

求：（1）3⊙5；（2）（3⊙4）⊙5。

【分析与解】

根据规定，这种新运算的意义就是：求两个数的积减去这两个数的和所得的差。对于题（2），应先算括号里的结果x，然后再算出x⊙5的结果。

解：（1）3⊙5＝3×5－（3＋5）＝15－8＝7

（2）因为3⊙4＝3×4－（3＋4）＝12－7＝5

所以（3⊙4）⊙5＝5⊙5＝5×5－（5＋5）＝15

想一想：3⊙5与5⊙3相等吗？

我们知道，括号可以用来改变运算顺序，在有括号的算式中，应先算小括号里的，再算中括号里面的。人为定义的新运算中也有这条规定。

试一试1

将新运算 “*”定义为：a*b＝(a＋b)×(a－b)。求37*13

例2  将新运算“*”定义为：a*b＝b2＋a。求（4*8）*（3*7）【分析与解】

我们先算括号里面的。

按照定义，很容易求得4*8＝82＋4＝68，3*7＝72＋3＝52，再运用定义可得：

（4*8）*（3*7）＝68*52＝522＋68＝2772

想一想：4*8与8*4相等吗？



定义新运算都是人为规定的，所以这样的运算可以多种多样。

试一试2

设a△b＝a2＋2b，求10△6和（1△2）△（2△8）

例3  设p、q是两个数，规定p⊙q＝4×q－(p＋q)÷2，

求3⊙(4⊙6)。

【分析与解】

根据定义先算4⊙6。在这里，“⊙”是新的运算符号。

3⊙（4⊙6）＝3⊙［4×6－(4＋6)÷2］＝3⊙19＝4×19－(3＋19)÷2＝65

试一试3

设p、q是两个数，规定p◎q＝p2＋(p－q)×2，求30◎（5◎3）

例4  如果2*3＝2＋3＋4＝9，5*4＝5＋6＋7＋8＝26，那么：

（1）求9*5的值；

（2）解方程：x*3＝15。

【分析与解】

“*”表示求连续自然数的和，“*”前的数表示第一个数（首项），“*”后的数表示连续自然数的个数。按照定义，有

9*5＝9＋10＋11＋12＋13＝55

x*3＝x＋（x＋1）＋（x＋2）＝3x＋3

原方程可改写为：3x＋3＝15

解方程，得   x＝4

试一试4

如果3△2＝3＋5＝8

        4△3＝4＋6＋8＝18

   （1）求6△4     （2）解方程x△4＝32

例5  规定“□”的运算法则如下，对于任何整数a、b：

2×a＋b－1（a＋b≥10）

a□b＝   

        2×a×b   （a＋b＜10）

求：（1□2）＋（2□3）＋（3□4）＋（4□5）＋（5□6）＋（6□7）＋（7□8）＋（8□9）＋（9□10）。

【分析与解】

这道题中实际上定义了两种运算，必须根据两个数的和的大小，确定对它们施行哪种新运算。不妨把a□b＝2×a＋b－1称为运算①，把a□b＝2×a×b称为运算②，对1□2，2□3，3□4，4□5，按运算②来算；对5□6，6□7，7□8，8□9，9□10，按运算①来算。

1□2＋2□3＋3□4＋4□5

＝2×（1×2＋2×3＋3×4＋4×5）

＝2×（2＋6＋12＋20）＝80

5□6＋6□7＋7□8＋8□9＋9□10

＝2×（5＋6＋7＋8＋9）＋6＋7＋8＋9＋10－1×5

＝2×35＋40－5＝105

所求的和为 80＋105＝185

总结与提示：按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子，转化为我们熟知的加、减、乘、除四则运算。

对新定义的运算式子，如果有括号，应先算括号里面的。但是新定义的运算一般不符合交换律、结合律和分配律。

新定义的运算里，所引入的符号是随意的，而不是确定的、通用的。它们在具体的题目中有特定的意义。解完题目后，它将失去这种特定的意义，即不可以把这种意义引入其他情况下通用。

练习三

1. 设a*b＝4×a－5×b，试计算：

（1）5*4；                   

（2）（6*4）*2；

（3）求x*（2*x）＝18中x的值。；

2. 如果a*b的含义表示a×b－a＋b，那么2*（4*6）*8的值是多少？

3. 规定a△b＝ －，试求（5△3）＋的值。

4. 设a，b表示整数（不包括0），规定运算◎：

a◎b＝a÷b×2＋3×a－b，求169◎13的值。

5. 对于整数a，b，规定运算“*”：

a*b＝a×b－a＋1，又知（2*x）*2＝0，求x的值。

6. 对于任意非零自然数a，b，规定a*b＝a÷b×2＋3，且256*a＝19，求a的值。

 7. 对于任意正整数a、b，定义运算◎如下：如果a、b同为奇数或同为偶数，那么，a◎b＝（a＋b）÷2；如果a、b的奇偶性不同，那么，a◎b＝（a＋b＋1）÷2；

求：①（1993◎1994）◎（1994◎1995）◎……◎（1999◎2000）

②1993◎1995◎1997◎1999◎2001

8. 规定运算如下：a△b＝（a＋b）×a，求（2△3）△5

9. 如果5*2＝5×6，2*3＝2×3×4，求3*4。

10. 定义新运算：x○y＝（x×y）＋（x＋y）

 （1）求6○2  （2）若5○a＝23  求：a

11. 如果2◎4＝24÷（2＋4），3◎6＝36÷（3＋6）

 （1）求8◎4  （2）解方程a◎8＝2

12. 定义三种运算“△”、“□”、“○”，对于两数x、y，有x△y＝2x＋2，x□y＝x×y＋1，x○y＝y－1。

 求：[1○（4□5）] △1000

                 2x＋y  (x≥y)

13. 规定x△y＝

                 x＋2y   (x＜y)

        求：1△2△4