2022新疆昌吉回族自治州高三下学期二模试题数学（文）含答案

昌吉州高中2021-2022学年高三年级第二次诊断性测试

文科数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】A

2. 设全集，集合，集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】D

3. 《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中国人对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“”，把阴爻“”当做数字“”，则八卦代表的数表示如下：

以此类推，则六十四卦中的符号“”表示的十进制数是（）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】A

4. 2022年2月17日，呼图壁县第一届“美丽冰雪，北奥探梦”中小学速滑运动会在昌吉州呼图壁县青少年示范性综合实践基地管理中心举行.为了保证比赛的安全，志愿者小王、小李、小方需要清理六条一样的短道速滑跑道，每人至少清理一条跑道，则小王至少清理三条的概率是（）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】A

5. 已知向量，，满足，，，则的最小值为（）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】B

6. 数列是等差数列，，且，，构成公比为q的等比数列，则（）

A. 1或3 B. 0或2 C. 3 D. 2

【6题答案】

【答案】A

7. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意，不等式恒成立，则不等式的解集为（）

A.  B.

C.  D.

【7题答案】

【答案】B

8. 已知函数的图象过点，，，且在上仅有1个极值点，则（）

A B.  C. 1 D.

【8题答案】

【答案】C

9. 已知点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径作圆与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【9题答案】

【答案】C

10. 已知圆，圆，点分别是圆､圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是（）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】B

11. 在三棱锥中，，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球体积为（）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】A

12. 若存在，则称为二元函数在点处对x偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对y的偏导数，记为，已知二元函数，则下列选项中错误的是（）

A.

B.

C. 的最小值为

D. 的最小值为

【12题答案】

【答案】B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为___________.

【13题答案】

【答案】

14. 若实数，，，满足，则的最小值为______.

【14题答案】

【答案】2

15. 已知点A是焦点为的抛物线：上的动点，且不与坐标原点重合，线段的垂直平分线交轴于点．若，则___________.

【15题答案】

【答案】3

16. 已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则m的取值范围为______．

【16题答案】

【答案】

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17. 中，角，，的对边分别是，，，

（1）求角；

（2）若为边的中点，且，求的最大值.

【17题答案】

【答案】（1）

（2）4

19. 如图，在三棱柱中，平面，

（1）证明：平面ABC.

（2）求点A到平面的距离.

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）因为

所以，

所以，所以.

因为平面，且平面，

所以，因为，所以平面ABC.

（2）由（1）可知平面ABC，所以平面.

由三棱柱的性质可知，.

因为平面，所以平面，

所以，，则，

故的面积为.

过做于平面，

平面，

在中，

设点A到平面的距离为h，因为，所以

解得，即点A到平面的距离是.

20. “学习强国”APP是由中宣部主管以习近平新时代中国特设社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大中端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成了党员干部群众学习的“新助手”，为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表（1）所示：

表（1）

（1）现用分层抽样的方法从80分及以上的党员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数分别在和上的概率；

（2）为了调查“学习强国”APP得分情况是否受到所在单位的影响，研究人员随机抽取了机关事业单位党员以及国有企业党员作出调查，得到的数据如表（2）所示；

判断是否有99%的把握认为“学习强国”APP得分情况受所在单位的影响．

附：，其中

【20题答案】

【答案】（1）

（2）没有

【小问1详解】

解：由题意得，分数在的应抽，记作a，b，

分数在的应抽人，记作1，2，3，

选取2人作为学习小组长的基本事件有，，，，，，，，，共10个，

其中两位小组长的分数分别在和上的有，，，，，，共6个基本事件，

所以所求概率．

【小问2详解】

解：补全列联表如下：

所以．

所以没有99%的把握认为“学习强国”APP得分情况受所在单位的影响．

22. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）

步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）．

已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．

（1）以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中垂线为y轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆C（即图1中M点的轨迹）的标准方程．

（2）如图3，若直线m：与椭圆C相切于点P，斜率为的直线n与椭圆C分别交于点A，B（异于点P），与直线m交于点Q．证明：，，成等比数列．

【22题答案】

【答案】（1）

（2）证明见解析

【小问1详解】

如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系.

设为椭圆上一点，由题意可知，

所以点轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，

因为，，所以，，则，

所以椭圆的标准方程为；

【小问2详解】

由得，

依题意，又，解得．

故直线m的方程为，且．

设直线n的方程为，则，且，则，

由，得，所以，

所以．

即，且各项均不为零，故，，成等比数列．

24. 已知函数，

（1）求函数在上极值点；

（2）当时，若直线l既是曲线又是曲线的切线，试判断l的条数．

【24题答案】

【答案】（1）当时，函数无极值点；当时，极小值点为，无极大值点．

（2）2条

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

26. 在极坐标系中，射线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，且射线与曲线有异于点的两个交点，.

（1）求的取值范围；

（2）求的取值范围.

【26题答案】

【答案】（1）；（2）.

【选修4-5：不等式选讲】

27. 已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.

【27题答案】

【答案】（1）；（2）.