2022长春高三下学期二模考试数学（文）试题含答案

长春市普通高中2022届高三质量监测（二）文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）

A.  B. 2 C.  D. 8

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 我国冰雪健儿自1992年实现冬奥奖牌数0的突破，到北京冬奥会结束，共获得77块奖牌.现将1992年以来我国冬奥会获得奖牌数量统计如下表：

则1992年以来我国获得奖牌数的中位数为（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

5. 下列函数是偶函数，且在区间上为增函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知数列是等比数列，是等差数列，若，，则（    ）

A 4 B. 8 C. 12 D. 16

7. 函数，则（    ）

A.  B. 0 C.  D.

8. 已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（    ）

A 10 B. 13 C. 16 D. 20

9. 已知，则在曲线上一点处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线右支上一点，点的坐标为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

11. 某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知，，，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，，则______.

14. 已知实数，满足约束条件，则的最小值是______.

15. 已知、为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上第一象限内的点，且，则______.

16. 已知数列的通项公式为，，则其前项的和为______.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 从某地区高中二年级学生中随机抽取质量监测数学得分在120分以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计如下表.

（1）若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）称为注意力集中水平高，试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关？

（2）若从上述样本数学得分在120分以下的学生中，按注意力集中水平得分进行分层抽样抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取3人，求3人中至少2人注意力集中水平得分在500分以下的概率.

（，其中）

18. 在中，，，分别是内角，，的对边，已知，，.

（1）求的面积；

（2）若是边上一点，且，求的长.

19. 直三棱柱中，为正方形，，，为棱上任意一点，点、分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）当点为中点时，求三棱锥的体积.

20. 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，设，若对于任意、，均有，求的取值范围.

21 已知圆过点，且与直线相切.

（1）求圆心的轨迹的方程；

（2）过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为.问是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.

 [选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数），.

（1）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；

（2）已知点，设曲线与曲线交点为、，当时，求的值.

 [选修4-5：不等式选讲]

23. 设函数，.

（1）解关于的不等式；

（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

1【答案】C

2【答案】D

3【答案】C

4【答案】B

5【答案】A

6【答案】D

7【答案】C

8【答案】B

9【答案】A

10【答案】A

11【答案】A

12【答案】C

13【答案】5

14【答案】

15【答案】

16【答案】

17【答案】（1）能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关   

（2）

【小问1详解】

由列联表中数据计算可得，的观测值为

所以能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关.

【小问2详解】

数学得分在120分以下且注意力集中水平在500分以上（含500分）和500分以下的人数分别为100人和150人，所以按注意力集中水平得分进行分层抽样抽取5名学生，可得注意力集中水平在500分以上（含500分）和500分以下的人数分别为2人和3人，分别记为“甲”、“乙”和“A”“B”“C”.

从这5名学生中随机抽取3人，有（甲，乙，A），（甲，乙，B），（甲，乙，C），（甲，A，B），（甲，A，C），（甲，B，C），（乙，A，B），（乙，A，C），（乙，B，C），（A，B，C）共10种可能，其中3人中至少2人注意力集中水平得分在500分以下的有（甲，A，B），（甲，A，C），（甲，B，C），（乙，A，B），（乙，A，C），（乙，B，C），（A，B，C）共7种可能.

故3人中至少2人注意力集中水平得分在500分以下的概率.

18【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

解：因，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，又，所以，所以

【小问2详解】

解：由（1）可知，解得，因为，所以，，由，即，所以，解得

119【小问1详解】

证明：取BC中点为，连接，，

因为点、分别为，的中点，所以，，

因为平面，平面，所以平面，

同理可得平面，又，平面，

所以平面平面，

因为平面，

所以平面；

【小问2详解】

解：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，

所以，

又为正方形，，，

所以，且，，，又，

所以平面，即平面，

所以当点为中点时，三棱锥的体积.

20【答案】（1）当时，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为．   

（2）

【小问1详解】

解：函数的定义域为，所以，

①当时，恒成立，函数的单调递减区间为；

②当时，由，解得；

当时，，当时，，

函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

综上可得：当时，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为．

【小问2详解】

解：由已知，转化为．

由（1）知，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

故的极大值即为最大值，，

因为，则，当时，当时，

函数在上单调递减，在上单调递增．

故的极小值即为最小值，

，即，解得．

的取值范围为

21【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

解：由题意知动点的轨迹是以为顶点，为焦点，为准线的抛物线，所以动圆圆心的轨迹方程为：；

【小问2详解】

解：设直线的方程为，、不妨令，则，联立直线与抛物线方程得消去得，则、，则直线的方程为，即，则，，即，

所以，即，令解得，所以直线恒过定点；

22【答案】（1）；椭圆；   

（2）.

【小问1详解】

把代入得：，即，

所以曲线的直角坐标方程是，它是焦点在x轴上的椭圆.

【小问2详解】

由（1）知，把方程代入并整理得：，

设点、所对参数分别为，于是得，，

由直线参数方程的几何意义知：

，

解得，而，于是得，

所以的值是.

23【答案】（1）；   

（2）.

【小问1详解】

因函数，，则，

当时，，解得，无解，

当时，，解得，则有，

当时，，解得，则有，

综上得：，

所以不等式的解集是.

【小问2详解】

依题意，，，

当时，，而在上单调递增，

当时，，于是得，

当时，，则有，解得，

当时，，而在上单调递增，

当时，，于是得，于是得，

综上得，

所以实数的取值范围.