新疆乌鲁木齐市2022-2023学年高三数学（文）下学期三模试题（Word版附答案）

乌鲁木齐地区2023年高三年级第三次质量监测

文科数学（问卷）

（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则的子集个数为（    ）

A．2   B．4   C．8   D．16

2．已知复数（i是虚数单位），则（    ）

A．   B．   C．   D．

3．定义符号函数，则方程的解是（    ）

A．2或-6   B．3或-6   C．2或3   D．2或3或-6

4．如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文．铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为30cm，上口的内径约为20cm，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm，16cm，则“何尊”的容积大约为（    ）

A．   B．   C．   D．

5．已知等差数列的前n项和为，且，，则是中的（    ）

A．第45项   B．第50项   C．第55项   D．第60项

6．若，则（    ）

A．   B．   C．   D．

7．从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（    ）

A．   B．   C．   D．

8．已知直线l：与x轴和y轴分别交于A，B两点，点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当最大时，的面积为（    ）

A．2   B．   C．4   D．

9．已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，O为AC的中点，若点O到平面的距离为，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）

A．   B．   C．   D．

10．“米”是象形字．数学探究课上，某同学用抛物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点P在抛物线上，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，若，则（    ）

A．4   B．6   C．8   D．10

11．设，则（    ）

A．    B．

C．    D．

12．已知函数的定义域为，且满足，对任意实数，都有，若，则中的最大项为（    ）

A．   B．   C．和   D．和

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E，F分别为AB，OC的中点，若，则______．

14．已知函数的部分图象如图所示，若将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______．

15．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若的周长为20，则线段AB的长为______．

16．已知正实数a，b满足，则的最小值是______．

三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求大小；

（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

18．某企业生产经营的某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据：

（Ⅰ）求x与y的相关系数（精确到0.01）；

（Ⅱ）当广告费支出每增加1万元时，求销售额平均增加多少万元．

附：相关系数；

回归方程的最小二乘估计公式为，；．

19．在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求三棱锥的体积最大值．

20．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆C交于不同的两点D，E，点D在第二象限，直线AD，AE分别与x轴交于M，N，求四边形DMEN面积的最大值．

21．已知函数，为的导函数，且恒成立．

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）函数的零点为，的极值点为，证明：．

选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．［选修4—4：坐标系与参数方程］

在平面直角坐标系xOy中，曲线所对应的图形经过伸缩变换得到图形．

（Ⅰ）写出曲线的平面直角坐标方程；

（Ⅱ）点P在曲线上，求点P到直线l：的距离的最小值及此时点P的坐标．

23．［选修4—5：不等式选讲］

已知，不等式的解集为M．

（Ⅰ）求集合M；

（Ⅱ），不等式恒成立，求正实数a的最小值．

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文科数学参考答案及评分标准

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1~5．BADCC   6~10．BBCAD   11~12．CD

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．1   14．   15．6   16．

三、解答题

17．（1）由余弦定理得，则

由正弦定理得，∴，∵，

∴，又，∴；

（2）由正弦定理得，即

而

由为锐角三角形，∴且，则

∴，即．

18．（1），，

∴；

（2）由（1）知，，，∴

即广告费支出每增加1万元时，销售平均增加6.5万元．

19．（1）证明：在中，M，E分别为AC，BC的中点，则

折叠前则折叠后，又即，且

∴平面ADB，又平面ADB，∴而，；

（2）设，则，

∴，令解得，即当，时，取最大，

此时，．

20．（1）由已知，，∴，，故椭圆方程为；

（2）设直线MN的方程为，

联立方程组，可得

设，，，

，

，设直线AE交x轴与点N，同理

当且仅当时，取最大值4．

21．，

∵恒成立，∴恒成立

即，令

则，易知当时，，当时，

∴在（0，1）上为减函数，上为增函数，

∴，恒成立，．

（2）由，得，解得

令，则

令，则

在上为增函数．

∵，∴，，，，∴

∴存在，使

∴，∴

22．（1）由可得，代入到中，得

即为曲线的直角坐标方程；

（2）设，则点P到直线l：的距离为，其中

当时，即，时，

即距离最小值为，此时点．

23．（1）由得，且，解得

即原不等式的解集；

（2）由（1）知

∴即为恒成立

则恒成立

设

∵在上单调递减，所以，∴

即正实数a的最小值为．