河南省中原名校联盟2021-2022学年高三下学期4月份适应性联考文科数学试题及答案

河南省中原名校联盟高三年级下学期4月份适应性联考

文科数学

考试时间共120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则（    ）

 A.       B.      C.       D.

2. 如果复数（其中为虚数单位，为实数）为纯虚数，那么（    ）

A. 1                 B. 2                C. 4                 D.

3. 已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（    ）

 A.             B．9          C．3            D.

4. 从A，B，C，D四所大学中随机选取两所大学参与北京冬奥会的志愿者工作，则A校被选中的概率为（  ）

A.                B．               C．               D．

5. 下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

 A.       B.      C.       D.

6. 许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体．正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱．如图所示，由正二十面体的一个顶点P和与P相邻的五个顶点可构成正五棱锥P﹣ABCDE，则PA与面ABCDE所成角的余弦值约为（　　）

  （参考数据：cos36°≈0.8）

A． B．         C．         D．

7. 不等式“”是“”成立的（    ）

   A. 充分不必要条件     B. 必要不充分条件

   C. 充要条件      D. 既不充分也不必要条件

8. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（    ）

   A．       B．      C．        D．

9. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的均有 成立，则的最小值为（    ）

 A.           B.            C.          D.

10．若过点可以作曲线且的两条切线，则（    ）

 A.                     B.

 C.                     D. 与的大小关系与有关

11．已知函数在处取得极值0，则（    ）

 A．2              B．7           C．2或7          D．3或9

12. 设是定义域为的奇函数，且，当时，， . 将函数的正零点从小到大排序，则的第4个正零点为（    ）

   A.            B.              C.            D.

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）.

13．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间单位：年的衰变规律满足表示碳14原有的质量，经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约________年．参考数据：，，

14．某车间为规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据如表，由最小二乘法求得回归方程．

现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为______．

15．已知函数,的部分图像如图，则            .

16．如图所示，在长方体中，若，E，F分别是，的中点，与垂直；平面；与所成的角为；平面．则以上结论中成立的是         .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．设数列满足，且，.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）设，求数列的前项和.

18．某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元，其销售宗旨是当天进货当天销售，若当天未销售完，未售出的全部降价以每千克10元处理完．据以往销售情况，按进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量的平均数（同组数据用区间中点值代表）；

（2）该经销商某天购进了250千克蔬果，假设当天的日需求量为千克（），利润为元．

①求关于的函数表达式；

②根据频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率．

19．如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，,．

（1）求证：平面；

（2）求多面体的体积．

20．已知椭圆过点，.

（1）求的方程；

（2）经过，且斜率为的直线交椭圆于､两点(均异于点)，证明：直线与的斜率之和为定值.

21．已知函数（）.

（1）若函数在处的切线与轴平行，求函数的单调区间；

（2）讨论函数的零点个数.

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.

（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；

（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点为，求.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）当x∈R，0<y<1时，证明：.

文科数学答案

13. 6876     14. 68    15.    16.①④

17．【详解】（1）因为，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.

（2）因为是首项为，公比为3的等比数列.所以，

所以，所以，

所以，

所以.

18．【详解】(1)

50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265

故该蔬果日需求量的平均数为265千克．

(2) ① 当日需求量低于250千克时，利润=（元）；

当日需求量不低于250千克时，利润（元），

所以．

② 由，解得．

所以==++=0.7

故根据频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率为0.7

19．【详解】

（1）四边形是菱形，，又面,面，

面,同理得，面，

面，且，

面面，又面，平面；

（2），

，，

在菱形中，，，，

面面，

取的中点，连接，

面，面，

由（1）知，面面， 点到面的距离为，

又点到面的距离为，连接，

则.

20．【详解】（1）因为椭圆过点，得，过点，得，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题设知直线的方程为，

与椭圆方程联立，整理得，

由，得，且，设，，，

则，，从而直线与的斜率之和

所以直线与的斜率之和为定值1.

21．

【详解】（1）因为函数在处的切线与轴平行，，

所以，即，求得，所以，（），令，则；令，则，

∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）函数的零点个数可等价于函数与的交点个数.

设是函数上的一点，由得，，

∴在点处的切线方程为，

令则，∴过原点所作的函数的切线方程为，

故由图可知，故当时，函数没有零点；

当或时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点.

22．【详解】（1）：，

所以，曲线的直角坐标方程是.点的极坐标为，化为直角坐标得

（2）将直线的参数方程代入中，

整理得，，此方程有不等实数根.

直线经过定点.设有向线段，与实数，对应，则，就是上述方程的两个实根，.已知是线段的中点，对应于参数取值，

所以.

23．【详解】（1）当时，，不合题意；

当时，，解得；

当时，恒成立，∴．

则不等式的解集为

（2）