河南省中原名校联盟2021-2022学年高三下学期4月适应性联考理科数学试题及答案

这是一份河南省中原名校联盟2021-2022学年高三下学期4月适应性联考理科数学试题及答案，共12页。试卷主要包含了双曲线C等内容，欢迎下载使用。

考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B]，设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B的所有元素之和为
A.16 B.18 C.14 D.8
2.复数z＝(其中i为虚数单位)，则z·＝
A.1 B.3 C.5 D.6
3.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率
A. B. C. D.
4.已知a＝，b＝lg52，c＝，则a，b，c的大小关系为
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
5.已知下列四个命题，其中真命题的个数为
①空间三条互相平行的直线a，b，c，都与直线d相交，则a，b，c三条直线共面；
②若直线m⊥平面α，直线n//平面α，则m⊥n；
③平面α∩平面β＝直线m，直线a//平面α，直线a//平面β，则a//m；
④垂直于同一个平面的两个平面互相平行。
A.1 B.2 C.3 D.4
6.双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线C上一点，PF2⊥x轴，tan∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为
A.x±2y＝0 B.2x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0
7.如图所示，流程图所给的程序运行结果为S＝840，那么判断框中所填入的关于k的条件是
A.k<5？ B.k<4？ C.k<3？ D.k<2？
8.已知f(x)是定义域为R的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，当0≤x≤1时，f(x)＝ex－1，则2≤x≤3时f(x)的解析式为
A.f(x)＝1－ex－2 B.f(x)＝ex－2－1 C.f(x)＝1－ex－1 D.f(x)＝ex－1－1
9.若函数f(x)＝sin(ωx＋)(0<ω<3)的图象向右平移个长度单位后关于点(，0)对称，则f(x)在[－，π]上的最小值为
A.－1 B.－ C.－ D.
10.已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，O为坐标原点，，则实数a的值为
A.±2 B.± C.± D.±
11.已知A、B是球O的球面上两点，AB＝2，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆O1和圆O2，若∠AOB＝90°，∠AO2B＝60°，则球的表面积为
A.5π B.10π C.15π D.20π
12.已知函数f(x)＝ex－3，g(x)＝＋ln，若f(m)＝g(n)成立，则n－m的最小值为
A.1＋ln2 B.ln2 C.2ln2 D.ln2－1
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）
13．已知向量，，，若，则实数＝______．
14．已知实数，满足约束条件，则的最大值为_______．
15．数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是___________.
16．在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．设数列满足，且，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
18．四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.
19．某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．
（1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．
（2）若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．
20．已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．
求动圆圆心的轨迹的方程；
过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，若直线与轨迹交于两点，求的最小值．
21．设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.
（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；
（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点为，求.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）当x∈R，0理科答案
ACACC CBACD DD
13.﹣3 14.. 15． 16.
17．【详解】（1）因为，所以，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）因为是首项为，公比为3的等比数列.所以，
所以，所以，
所以
，
所以.
18．【详解】（Ⅰ）四边形是平行四边形.
又，.又面面，面面，
面,面,且面平面平面.
（Ⅱ）连结，，为中点，
又平面，平面平面，平面平面，
底面，又，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，取平面的法向量，，，，，
，,设平面的法向量，
，令，，.
设二面角的平面角为
又为钝角，，即二面角的余弦值为.
19．【详解】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件，则．
∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为．
（2）若小勇选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为360，480，600．
则，，．
故的分布列为
∴（元）．
若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则．
由已知，可得，故，
∴（元）．
由上知：，故小勇选择方案一更划算．
20．【详解】（Ⅰ）设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，
∴，且.于是，，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，
所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．
（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，
；则经过点的切线斜率，方程是，
经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .
则有，所以经过两点的直线的方程是，
①当时，有，，，，则；
②当时，联立，整理得；
设坐标分别为，，则，
所以，
综上所述，当时，有最小值．
21．【详解】（1）．
．
当时，，函数在上单调递增，即的单调递增区间为．
当时，由得；由，解得．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）可得，若函数有两个零点，则，且的最小值，即．，．令，可知在上为增函数，且（2），（3），
所以存在零点，，
当时，（a）；当时，（a）．
所以满足条件的最小正整数．
又当时，（3），（1），时，由两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数的值为3．
22．【详解】（1）：，
所以，曲线的直角坐标方程是.点的极坐标为，化为直角坐标得
（2）将直线的参数方程代入中，
整理得，，此方程有不等实数根.
直线经过定点.设有向线段，与实数，对应，则，就是上述方程的两个实根，.已知是线段的中点，对应于参数取值，
所以.
【详解】（1）当时，，不合题意； 当时，，解得；当时，恒成立，
∴．
则不等式的解集为
（2）
360
480
600