2022届天津南开中学高三第四次学情调查（数学）参考答案练习题

这是一份2022届天津南开中学高三第四次学情调查（数学）参考答案练习题，共6页。试卷主要包含了 CADBA 6～9， 5， 32， x=3或3x+4y-5=0， 52， 证明， ，， 因为，即，等内容，欢迎下载使用。
2022届南开中学高三第四次学情调查（数学）参考答案 一、   单选题1~5. CADBA  6～9. DCDA 二、   填空题10. 11. 12. 或13. 14. 15. ， 三、   解答题16. （Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）. 17. （I）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，，），＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，，），设平面ACM的法向量，则，取x＝2，得（2，﹣2，1），∵4﹣4＝0，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM．（II）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），设平面CDP的法向量（a，b，c），则，取b＝1，得（1，1，1），平面ACD的法向量（0，0，1），设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，则|cosθ|＝＝，∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．（III）设，（0≤λ≤1），则，∴，，平面CDP的法向量，∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，∴| |＝＝＝，解得λ＝，∴． 18. （Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为（），由，，可得，解得或（舍去），所以，由，，则，解得，所以，解得，所以，解得，且，解得，所以.综上所述，，.（Ⅱ）由（Ⅰ）中，所以，，故.（Ⅲ）设，，①，②  ①②可得，即，所以，故. 19. （I）因为，即，又椭圆过点，所以，解得，椭圆方程为.（II）设直线的方程为，则得，解得，所以.因为直线的斜率乘积为，所以直线的方程为，同理可得.因为M，N关于y轴对称，所以，即，解得.所以直线的斜率为 20. （Ⅰ），依题意得  （Ⅱ）要证仅有1个零点，即证仅有1个实根即证，仅有1个实根 ①当时，在区间上单调递增， 又，，所以在区间上有一个零点. ②当时，设.，所以在区间上单调递增.又，，所以存在，使得.所以，当时，，即单调递减；当时，，即单调递增；又，.所以在区间上无零点. 综上所述，函数在内只有一个零点. （Ⅲ）当时，，要证，只需证： 令，，所以在单调递减所以所以 要证（1），只需证   法一：令  令 ，在单调递减，，，，使，即，当，，单调递增当，，单调递减，所以原命题得证 ，法二：令∴在单调递减，在单调递增∴∴， ∵∴ ，∴，即证∴原命题得证