2020年辽宁省丹东市第二十一中学九年级毕业学科二模数学试题(解析版+原卷板)

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2020年九年级下毕业学科模拟考试数学试题
一、选择题
1. ﹣2020的倒数是（　　）
A. ﹣2020 B. ﹣ C. 2020 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据倒数的概念即可解答．
【详解】解：根据倒数的概念可得，﹣2020的倒数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了倒数的概念，熟练掌握是解题的关键．
2. 2018年2月18日清•袁枚的一首诗《苔》被乡村老师梁俊和山里的孩子小梁在《经典永流传》的舞台重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，用科学记数法表示0.0000084＝8.4×10n，则n为(　　)
A. ﹣5 B. ﹣6 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
分析：本题只要根据绝对值的表示方法来进行解答即可得出答案．
详解：0.0000084=，故选B．
点睛：本题主要考查的就是用科学计数法来表示较小的数，属于简单题型．科学计数法是指：，且，小数点向右移动几位，则n的相反数就是几．
3. 如图所示的几何体，它的左视图正确的是（   ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意及已知实物图：图示中给出了主视的方向，容易得出左视图对应的投影方向.
【详解】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．从左边进行正投影可知，右上角的正方体边框为不可见轮廓线，需要用虚线表示，故B正确；
故选B.
【点睛】本题考查简单组合体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
4. 一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是( )
A. 8，6 B. 7，6 C. 7，8 D. 8，7
【答案】D
【解析】
试题分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8，
8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；最中间的数是7，则这组数据的中位数是7
考点：（1）众数；（2）中位数．
5. 下列计算结果正确的是（ ）
A. (a•b2)3=ab6 B. （-a3）2=a9 C. a2•a3=a6 D. （-a）6÷（-a）2=a4
【答案】D
【解析】
【分析】
A、利用积的乘方法则运算即可，B、幂的乘方法则运算即可，C、同底数幂的乘法运算即可，D、同底数幂的除法法则计算后，进行乘方运算即可．
【详解】A、(a•b2)3=a3b6，故A不正确，
B、(-a3)2=a6，故B不正确，
C、a2•a3=a5，故C不正确，
D、(-a)6÷(-a)2=(-a)4=a4，正确．
故选择：D．
【点睛】本题考查整式的乘除运算，关键掌握积的乘方法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘方法则，同底数幂的除法法则，并会熟练运用．
6. 若xa+b-7+2y5a-b-3=0是二元一次方程，那么的a、b值分别是（ ）
A. a=2， b=4； B. a=2， b=6； C. a=3， b=5； D. a=3， b=8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义可得，解二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意可得，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
7. 如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△，与AB交于点E，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）

A. 30° B. 20° C. 35° D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据平行线以及三角形内角和定理求出∠ABD和∠CBD的度数，然后根据折叠图形的性质得出∠DBC′的度数，从而求出∠2的度数．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠1=35°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD=90°－35°=55°，
根据折叠图形可得：∠DBC′=∠DBC=55°，
∴∠2=55°－35°=20°，
故选B．
【点睛】本题主要考查的是平行线的性质以及折叠图形的性质，属于基础题型．在解决折叠问题的时候，找出对应角和对应边是解题的关键．
8. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M，E在AD上，点F在边AB上，并且DM=1，现将△AEF沿着直线EF折叠，使点A落在边CD上的点P处，则当PB+PM的和最小时，ME的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：延长AD到M′，使得DM′=DM=1，连接PM′，如图．

当PB+PM的和最小时，M′、P、B三点共线．
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=2，
∴DC=AB=4，AD=BC=2，AD∥BC，
∴△DPM′∽△CPB，
∴，
∴DP=PC，
∴DP=DC=．
设AE=x，则PE=x，DE=2-x，
在Rt△PDE中，
∵DE2+DP2=PE2，
∴（2-x）2+（）2=x2，
解得：x=，
∴ME=AE-AM=-1=．
故选B．
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质．
二、填空题
9. 分解因式：=_______________________.
【答案】
【解析】
分析：先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可.
详解：
＝ ，
＝.
点睛：本题考查了因式分解的相关知识.熟练应用提公因式法和运用公式法进行因式分解是解题的关键.
10. 函数0中，自变量x的取值范围是____________
【答案】x≥1且x≠2
【解析】
【分析】
根据二次根式的意义可知x-1≥0；且x-20就可以求出x的取值范围．
【详解】解：由题意得，x-1≥0，且x-20
解得x≥1，且x2．
【点睛】主要考查了二次根式的意义：被开方数是非负数．
11. 若3，a，4，5的众数是4，则这组数据的方差是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据众数的定义求出a的值，再根据方差的计算公式进行计算即可．
【详解】解：∵数据3，a，4，5的众数是4，
∴a=4，
∴平均数是（3+4+4+5）÷4=4，
则这组数据的方差为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了众数和方差：众数是一组数据中出现次数最多的数；一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差．
12. 丹东市某小区2017年、2019年商品房每平方米平均价格分别为4800元、5500元，假设2017年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，试列出关于x的方程：_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
2018年商品房每平方米平均价格4800+4800x，2019年商品房每平方米平均价格4800（1+x）+4800(1+x)x，根据题意即可列出方程．
【详解】设商品房每平方米平均价格的年增长率为x，2017年4800元，2018年4800+4800x=4800(1+x)，2019年，用增长率表示为4800（1+x）+4800(1+x)x=4800(1+x)(1+x)=4800(1+x)2，为此列方程为4800（1+x）2=5500．
故答案为：4800（1+x）2=5500．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握列方程的技巧，抓住等量关系，列出所需代数式是解题关键．
13. 如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为_____．

【答案】5π
【解析】
∵∠1=60°，
∴图中扇形的圆心角为300°，
又∵扇形的半径为：，
∴S阴影=.
故答案为.
14. 如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= （k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为________．

【答案】9
【解析】
试题分析：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，得出S矩形AFOD=3，S矩形OEBF=k，根据平行线分线段成比例定理证得AB=2OD，即OE=3OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，

∵AB∥x轴，
∴AF⊥y轴，
∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴AF=OD，BF=OE，
∴AB=DE，
∵点A在双曲线y=上，
∴S矩形AFOD=3，
同理S矩形OEBF=k，
∵AB∥OD，
∴OD:AB=CD:AC=1:2，
∴AB=2OD，
∴DE=2OD，
∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=9，
∴k=9.
故答案是：9.
点睛：本题主要考查反比例函数.解题的关键在于要利用反比例函数的比例系数k的几何意义用面积的形式表达出来.
15. 如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是_____．

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A6B6C6D6的周长．
【详解】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，则周长是原来的；
…
故第n个正方形周长是原来的，
以此类推：第六个正方形A6B6C6D6周长是原来的，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴周长为4，
∴第六个正方形A6B6C6D6周长是．
故答案为．
考点：中点四边形．
16. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①，②，③，④当时，．则正确的个数为______个．

【答案】2
【解析】
【分析】
利用抛物线与x轴的交点个数和判别式的意义对①进行判断；利用x=1时，y=1可对②进行判断；利用x=3时，y=3可对③进行判断；利用函数图象，可知：当时，一次函数图象在二次函数图象上方，可对④进行判断．
【详解】∵抛物线与x轴没有公共点，
∴∆=b2−4ac<0，
即：b2−4c<0，故①错误；
∵当x=1时，y=1，
∴即：，故②错误；
∵当x=3时，y=3，
即：9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0，故③正确；
∵当1 ∴x2+(b−1)x+c<0，故④正确．
∴正确的个数有2个．
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握二次函数系数的几何意义，二次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，是解题的关键．
三、解答题
17. 计算：先化简，再求值：，其中m=tan60°+1
【答案】，
【解析】
【分析】
先根据分式的基本性质和运算法则化简式子，再代入m的值即可求解．
【详解】解：


，
把m=tan60°+1代入可得原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
18. 如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．
（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后△A2B2C2；
（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．

【答案】（1）画图见解析， A1（﹣4，﹣1），B1（﹣2，0）；（2）画图见解析；（3）点C经过的路径长为2π．
【解析】
分析：（1）根据点C移到点C1（-2，-4），可知向下平移了5个单位，分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可解决问题；
（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）利用勾股定理计算CC2，可得半径为2，根据圆的周长公式计算即可．
详解：（1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，

∴A1（-4，-1），B1（-2，0）；
（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作三角形，
（3）点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2为直径的半圆，
由勾股定理得：CC2=，
∴点C经过的路径长：．
点睛：本题考查平移变换、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问
19. “精准扶贫”这是新时期党和国家扶贫工作的精髓和亮点．某校团委随机抽取部分学生，对他们是否了解关于“精准扶贫”的情况进行调查，调查结果有三种：A、了解很多；B、了解一点；C、不了解．团委根据调查的数据进行整理，绘制了尚不完整的统计图如下，图1中C区域的圆心角为36°，请根据统计图中的相关的信息，解答下列问题：
（1）求本次活动共调查了　 　名学生；图1中，B区域圆心角度是　 　；在抽取的学生中调查结果的中位数落在　 　区域里；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有1200名学生，请估算该校不是了解很多的学生人数．

【答案】(1) 200，108°，A ；(2)答案见解析；（3）480人．
【解析】
【分析】
(1)由C区域36°有20人求调查的人数；用调查的人数减去A区域和C区域的人数得B区域的人数，360°乘以B区域的人数除以调查的人数；由中位数的定义求；
(2)根据所求数据正确作图；
(3)A，B区域的人数的和除以调查的人数乘以全校人数．
【详解】解：(1)根据题意得：20÷＝200(名).
则本次共调查了200名学生；
∵B区域的人数为200﹣(120＋20)＝60(名)．
则B区域的圆心角度数为360°×＝108°；
由于第100.101个数据均落在A中，所以在抽查的学生中调查结果的中位数落在A(了解很多)中；
故答案为：200，108°，A ；
(2)补全条形图如下：

(3)1200×＝480，
答：估算该校不是了解很多的学生人数为480人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用及用列表法或画树状图法求概率，从条形统计图和扇形统计图中获取有用的信息是解决这类问题的关键.圆心角的度数＝部分占样本容量的百分比×360°＝部分÷样本容量×360°．
20. 车辆经过丹东高速收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率（请用树状图或列表法等方式给出分析过程）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图或列表即可得到结论．
【详解】解：（1）选择A通道通过的概率是；
（2）所有可能出现的结果如图：

从上面的表格（或树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有16种，且每种结果出现的可能性相同， 其中选择不同通道通过的结果有12种.
∴选择不同通道通过的概率为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
21. 我校为了创建“书香校园”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的 价格比文学类图书平均每本的价格多4元，已知学校用16000元购买的科普类图书的本数与用12000元购买的文学类图书的本数相等．求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
【答案】文学类图书平均每本的价格为12元，科普类图书平均每本的价格为16元．
【解析】
分析：首先设科普类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+4）元，根据题意可得等量关系：用16000元购进的科普类图书的本数=用12000元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
详解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+4）元．
根据题意，得
解得x=12．
经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，
则科普类图书平均每本的价格为12+4=16（元），
答：文学类图书平均每本的价格为12元，科普类图书平均每本的价格为16元．
点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．
22. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠BFD.
(1)求证：FD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，sinF＝，求DF的长．

【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
分析：（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
详解：（1）证明：∵∠CDB＝∠CAB,∠CDB＝∠BFD,
∴∠CAB＝∠BFD,
∴FD∥AC
∵∠AEO＝90° ∴∠FDO＝90°
∴FD是⊙O的切线；
(2)解：∵AE∥FD,AO＝BO＝5,
sinF＝ sin∠ACB＝
∴AB＝10,AC＝8,
∵DO⊥AC ∴AE＝EC＝4,AO＝5
∴EO＝3
∵AE∥DF ∴△AEO∽△FDO
∴＝，∴＝，
∴FD＝.
点睛：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△AEO∽△FDO是解题关键．
23. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，在距离CD的正后方30米的观测点P处，以22°的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A，而在建筑物CD上距离地面3米高的E处，测得教学楼的顶端A的仰角为45°，求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈，tan22°≈）

【答案】18m
【解析】
分析：如图作EF⊥AB于F，则四边形EFBD是矩形．设EF=AF=x米．在Rt△PAB中，AB=x+3，PB=30+x，根据tan22°=，可得=，解方程即可解决问题．
详解：如图，作EF⊥AB于F，则四边形EFBD是矩形．

∵∠AEF=45°，∠AFE=90°，∴∠AEF=∠EAF=45°，∴EF=AF，设EF=AF=x，则BD=EF=x．在Rt△PAB中，∵AB=x+3，PB=30+x，∴tan22°==，解得：x=15，∴AB=x+3=18．
答：教学楼AB的高度约为18m．
点睛：本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24. 某公司去年年初投资1200万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元，按规定，该产品售价不得低于80元/件且不超过160元/件，该产品的年销售量y（万件）与产品售价x（元/件）之间的关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求该公司去年所获利润的最大值；
（3）在去年获利最大的前提下，公司今年重新确定产品的售价，能否使去年和今年共获利1000万元？若能，请求出今年的产品售价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）（80≤x≤160）；（2）去年获利最大为200万元；（3）今年的产品售价定为100元/件时，可使去年和今年共获利1000万元
【解析】
分析：（1）将已知点的坐标代入一次函数的解析式，利用待定系数法确定其函数解析式即可；
（2）表示出有关总利润的二次函数的解析式，配方后即可确定最值；
（3）根据总利润等于1000万元列方程求解即可．
详解：（1）设,则
，解得
∴y与x的函数关系式为（80≤x≤160）
（2）设公司去年获利w万元
则
∵，80≤x≤160,∴当x＝160时，w取最大值200
∴去年获利最大为200万元
（3）根据题意，得

解得，x1＝100，x2＝260
∵80≤x≤160, ∴x＝100
答：今年的产品售价定为100元/件时，可使去年和今年共获利1000万元
点睛：主要考查了二次函数在实际生活中的应用，弄懂题意，根据等量关系，列函数关系式，结合x的取值范围，可求得符合题意的x的值，其中要注意应该在自变量的取值范围内求得最大值．
25. 已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF.

（1）如图1， 当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；
（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）.
【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；
（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF；
（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC= ，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．
试题解析：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE. ∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.
∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF.
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°.
∴DF=CF，且DF⊥CF．
（2）（1）中的结论仍然成立．证明如下：
如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．
∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．
∵AD=DE，∴AD=GB.
∵AC=BC，∴AC-AD="BC-GB." ∴DC=GC．
∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形.
∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF．

（3）如图，延长DF交BA于点H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠ABC=45°.
∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，
∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE. ∴∠DEF=∠HBF．
∵F是BE的中点，∴EF="BF." ∴△DEF≌△HBF. ∴ED=HB.
∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4.
∵AD=1，∴ED=BH=1.∴AH=3.
在Rt△HAD中，由勾股定理，得DH=，
∴DF=，∴CF=.
∴线段CF的长为.

考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理．
26. 如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒 个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求的面积；
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将沿CF折叠得到，当t为何值时，四边形是菱形？

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）；（3）①PF=﹣t2+4t（0≤t≤4），4；②4-
【解析】
【分析】
（1）把点A和点B的坐标代入，利用待定系数法即可求解；
（2）先利用待定系数法求得直线BC的解析式，即可得到点A到直线BC的距离，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）①设P（t，﹣t+4），F（t，﹣t2+3t+4），得到PF的解析式，利用二次函数取最值的方法即可求解；②根据题意分析可得当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴ ，
解得：，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4；
（2）令x=0，则y=4，即点C的坐标为（0，4），
∴．
设直线BC的解析式为y=kx+4，
∵点B的坐标为（4，0），
∴0=4k+4，解得k=﹣1，
∴直线BC解析式为y=﹣x+4 ，
当t=1时，CP=，
点A（﹣1，0）到直线BC的距离，
S△ACP= CP•h= × × =；
（3）①∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，
∴CP= t，OE=t，
设P（t，﹣t+4），F（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）
PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．
当t=时，PF取最大值，最大值为4；
②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，
∴PC=P′C，PF=P′F，
当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF．
∴t=﹣t2+4t，
解得：t1=0（舍去），t2=4﹣．故当t=4-时，四边形PFP′C是菱形．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、菱形的判定、一次函数的图象与性质等内容，掌握数形结合的思想是解题的关键．