贵州省黔东南州八校联盟2022年中考数学一模试卷(word版含答案)

贵州省黔东南州八校联盟2022年中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 一组数据：、、、、的中位数是

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 某校九班在庆祝“建党九十周年”开展的一次学党史知识手抄报活动中，一个由人组成的小组里所有同学均相互传阅自己制作的手抄报，则该小组的同学共传阅

A. 次 B. 次 C. 次 D. 次

5. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是

A.
B.
C.
D.

7. 小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为厘米，高为厘米的圆锥形生日帽，则该扇形薄纸板的圆心角为

A.
B.
C.
D.

8. 用若干个大小相同、棱长为的小正方体搭成一个几何体模型，其三视图如图所示，则搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则关于的不等式的解集为

A.
B.
C.
D. 或
 

10. 如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 的算术平方根为______．
12. 若代数式有意义，则的取值范围是______．
13. 分式方程的解是______．
14. 分解因式：______．
15. 计算：______．
16. 如图，、是的切线，切点分别为、，已知的半径为，，则弦的长为______．
     

17. 如图所示，反比例函数的图象与经过坐标原点的直线相交于、两点，过点作轴的垂线，垂足为，若的面积为，则这个反比例函数的解析式为______．
     

18. 顺次连接一矩形场地的边、、、的中点、、、，得到四边形，为边的中点，点为小明在对角线上走动的位置，若米，米，当的和为最小值时，的长为______ ．

19. 从，，，这四个数中任选两数，分别记作，，那么点在函数图象上的概率是______．
20. 如图，直径为的经过点和点，与轴的正半轴交于点，是轴右侧圆弧上一点，则的值为______．
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

21. 学校举办一项小制作评比活动．作品上交时限为月日至日，组委会把同学们交来的作品按时间顺序每天组成一组，对每一组的作品件数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为：：：：：第三组的件数是．
    请你回答：
    本次活动共有______ 件作品参赛；各组作品件数的众数是______ 件；
    经评比，第四组和第六组分别有件和件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？
    小制作评比结束后，组委会决定从件最优秀的作品、、、中选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示作品、的概率．

四、解答题（本大题共5小题，共50分）

22. 先化简，再求值：，并从，，中选一个你喜欢的数代入求值．
    解不等式组，并用数轴表示解集，写出它的非负整数解．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，已知是的直径，是的弦，弦于点，交于点，过点的直线与的延长线交于点，．
    求证：是的切线；
    当点在劣弧上运动时，其他条件不变，若求证：点是的中点；
    在满足的条件下，，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 义洁中学计划从荣威公司购买、两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块型小黑板比买一块型小黑板多用元．且购买块型小黑板和块型小黑板共需元．
    求购买一块型小黑板、一块型小黑板各需要多少元？
    根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买、两种型号的小黑板共块，要求购买、两种型号小黑板的总费用不超过元．并且购买型小黑板的数量应大于购买、种型号小黑板总数量的请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买、两种型号的小黑板有哪几种方案？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在矩形中，，，是边上的一点，且．
    用尺规在图中作出边上的中点，连接、保留作图痕迹，不写作法；
    如图，在的条体下，判断是否平分，并说明理由；
    如图，在的条件下，连接并廷长交的廷长线于点，连接，不添加辅助线，能否由都经过点的两次变换与组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离

26. 矩形在直角坐标系中的位置如图所示，、两点的坐标分别为、，直线与相交于点，抛物线经过、两点．
    求抛物线的解析式；
    连接，试判断的形状，并说明理由．
    若点是抛物线的对称轴上的一个动点，对称轴与、轴分别交于点、，问：是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：．
分别根据合并同类项法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题考查了合并同类项以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：按从小到大的顺序排列为：，，，，，
根据中位数的定义得；中位数是．
故选：．
根据中位数的定义计算：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查了中位数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
可以变形为：，把已知的式子代入即可求解．
本题考查了代数式的求值，正确把可以变形为：是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：组内的每个同学都把自己的手抄报传给其他同学，因而每份手抄报传阅次．共有份．
则该小组的同学共传阅次．
故选：．
组内的每个同学都把自己的手抄报传给其他同学，因而每份手抄报传阅次．共有份．据此即可求解．
本题主要考查了数字的变化规律，能够在这个传递的过程中理解：每份手抄报传阅次，是解答本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
则原式，
故选：．
利用根与系数的关系求出与的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
在中根据三角形内角和定理得到：．
故选：．
本题主要根据直角三角尺各角的度数、平行线的性质，求出，再根据三角形内角和定理即可求出．
本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
首先利用勾股定理求得圆锥的母线长即展开扇形的半径的长，然后利用圆锥的侧面扇形的弧长公式求得圆心角即可．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
【解答】
解：底面半径为厘米，高为厘米，
圆锥的母线长，
底面半径为，
底面周长，
设该扇形薄纸板的圆心角为，
，
解得，
该扇形薄纸板的圆心角为．
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有个小正方体，第二、三层各有个小正方体，
因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是个．
故选：．
利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数．
此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数与不等式组，此类题可采用“数形结合”的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．先观察图象确定抛物线和一次函数的交点的横坐标，即可求出时，的取值范围．
【解答】
解：由图形可以看出：抛物线和一次函数的交点的横坐标分别为，，
当时，的取值范围正好在两交点之内，即．
故选A．  

10.【答案】
 

【解析】解：是边上的中线，
，
，
，，，
，
的值．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据正切函数的定义列式求出的正切值，即为的值．
本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出是解本题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
的算术平方根为．
故答案为：．
首先根据算术平方根的定义计算，再求的算术平方根即可．
此题考查了算术平方根的定义，注意这里的双重概念．
 

12.【答案】且
 

【解析】解：，，
且．
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：方程两边都乘以得，
，
，
解得，
检验：当时，，
所以是分式方程的解，
故原分式方程的解是．
故答案为：．
方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式

；
故答案为：．
先提取公因式，再用平方差公式分解因式，分解因式要彻底．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：

，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：连接，并延长交圆于，连接，
、是的切线，
，
又，
；
又是圆的直径，
，，
，
而，
在中，，
．
故答案为：．
连接，并延长交圆于，连接，、是的切线，由切线长定理知；又，则等腰三角形是等边三角形，则有；所以，是直径；由直径对的圆周角是直角得，则在中，有，进而可知的长．
本题利用了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质，正弦的概念求解．注意本题的解法不唯一．
 

17.【答案】
 

【解析】解：反比例函数的图象关于原点对称，
设点坐标为，则点坐标为，
，
，
．
这个反比例函数的解析式为：．
故答案为：．
根据反比例函数的图象关于原点对称，可求出、两点坐标的关系，设出两点坐标再根据三角形的面积公式即可解答．
本题考查的是反比例函数与正比例函数图象的特点，解答此题的关键是找出、两点坐标的关系，设出两点坐标即可．
 

18.【答案】
 

【解析】解：点、、、分别为矩形的边、、、的中点，
与互相垂直平分，
四边形为菱形，点与点关于对称，
连交于点，连交于、连，如图，
则，即，
当动点运动到点的位置时，的和为最小值．
，，
，，
，
，
，
为等边三角形，
而为的中点，
，，
在中，，
，
，
当的和为最小值时，的长为
故答案为
由点、、、分别为矩形的边、、、的中点，得到与互相垂直平分，则四边形为菱形，点与点关于对称，连交于点，连交于、连，则，即，根据两点之间线段最短得到当动点运动到点的位置时，的和为最小值．由，得，，根据勾股定理计算出，则，，，得到为等边三角形，于是有，根据含的直角三角形三边的关系得到，，由此得到答案．
本题考查了轴对称最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决．也考查了含的直角三角形三边的关系、菱形得性质与判定以及矩形的性质．
 

19.【答案】
 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，点恰好在反比例函数图象上的有：，，，，
点在函数图象上的概率是：．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点恰好在反比例函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】
 

【解析】解：连接，
，
是直径，
即，
点，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，易得是直径，在直角中运用勾股定理求出的长，得出的值，又由圆周角定理，即可求得的值．
此题考查了圆周角定理，勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想的应用．
 

21.【答案】，；
第四组有作品：件，
第六组有作品：件，
第四组的获奖率为：，第六组的获奖率为：；
，
第六组的获奖率较高；

画树状图如下：
，
由树状图可知，所有等可能的结果为种，其中刚好是的有种，
所以刚好展示作品、的概率为：．
 

【解析】

解：由题意可得出，本次活动参赛共有：件，
各组作品件数的众数是；
故答案为：，；
见答案；
见答案．
【分析】
直接利用频数除以频率总数进而得出答案，再利用众的定义求出即可；
利用总数乘以频率频数，进而分别求出获奖概率得出答案；
利用树状图列举出所有可能，进而得出答案．
此题主要考查了频数分布直方图的应用以及众的定义以及树状图法求概率等知识，正确画出树状图是解题关键．  

22.【答案】解：原式

；
和时，原式无意义，
当时，
原式
．
，
由得，
由得，
，
解集表示在数轴上如图：

非负整数解有，，，．
 

【解析】先算括号内的，再分子、分母分解因式约分，化简后将有意义的的值代入即可；
解出每个不等式，再求公共解集即可．
本题考查分式化简求值及解不等式组，解题的关键式掌握分式通分、约分将分式化简及求不等式组解集的方法．
 

23.【答案】证明：连，如图，
，
，
又，
，
而，，
，即，
是的切线；

证明：连，如图，
，即：：，
而，
∽，
，
即，
，即点是的中点；

解：连，如图，
，
，
而，，
，，
在中，，
，
，
，
．
 

【解析】连，由得到，又，则，而，，即可得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
连，由，即：：，根据三角形相似的判定定理得到∽，由其性质得到，然后根据垂径定理即可得到点是的中点；
连，由，根据垂径定理得到，而，，得到，，在中利用勾股定理可计算出，从而得到，然后根据即可求出．
本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质．
 

24.【答案】解：设购买一块型小黑板需要元，一块型为元，
，
，
，
购买型元，型元；

设购买型小黑板块，则购买型小黑板块，
，
，
而为整数，所以为或．
当时，；
当时，．
所以有两种购买方案：方案一购买块，块、
方案二购买块，块．
 

【解析】设购买一块型小黑板需要元，一块型为元，根据，购买一块型小黑板比买一块型小黑板多用元．且购买块型小黑板和块型小黑板共需元可列方程求解．
设购买型小黑板块，则购买型小黑板块，根据需从荣威公司购买、两种型号的小黑板共块，要求购买、两种型号小黑板的总费用不超过元．并且购买型小黑板的数量应大于购买、种型号小黑板总数量的，可列不等式组求解．
本题考查理解题意的能力，关键根据购买黑板块数不同钱数的不同求出购买黑板的钱数，然后要求购买、两种型号小黑板的总费用不超过元．并且购买型小黑板的数量应大于购买、种型号小黑板总数量的，列出不等式组求解．
 

25.【答案】解：依题意作出图形如图所示，

是平分，理由：
四边形是矩形，
，，，
点是的中点，
，
在和中，，
≌，
，
在中，，，
，
，
，
，
平分；

，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
≌，
能由都经过点的两次变换与组成一个等腰三角形，
变换的方法为：将绕点顺时针旋转和重合，沿折叠，沿折叠．
 

【解析】根据作线段的垂直平分线的方法作图即可得出结论；
先求出，进而判断出≌，得出，再用锐角三角函数求出，即可得出结论；
先判断出≌，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，图形的变换，判断出≌是解本题的关键．
 

26.【答案】解：由题意得，点的纵坐标为，
点在直线上，
点的坐标为，
将点、点代入抛物线可得：，
解得：，
故抛物线的解析式为：

点坐标为，点坐标为，
，，，
从而可得，
故可判断是直角三角形．

由图形可得当点和点重合时能满足∽，

此时，，
故可得∽，，
即可得此时点的坐标为．
过点作的垂线交对称轴于点，此时也可满足∽，

由题意可得，点的横坐标为，代入直线方程可得点的纵坐标为，
故可求得，
，
，
∽，
故可得，即，
解得：，
又点的纵坐标，
，
即可得此时点的坐标为．
综上可得存在这样的点，点的坐标为或．
 

【解析】根据题意可得出点的纵坐标为，代入直线解析式可得出点的横坐标，从而将点和点的坐标代入可得出抛物线的解析式．
分别求出、、的长度，继而根据勾股定理的逆定理可判断出是直角三角形．
由图形可得当点和点重合时能满足∽，过点作的垂线交对称轴于点，此时也可满足∽，利用相似的性质分别得出点的坐标即可．
此题考查了二次函数的综合题，解答本题的关键是结合直线解析式求出点的坐标，得出抛物线的解析式，在第三问的解答中要分类讨论，不要漏解．