2021上海市宝山区高三上学期一模数学试题

这是一份2021上海市宝山区高三上学期一模数学试题，共4页。试卷主要包含了可使用符合规定的计算器答题等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
若集合eq A＝(－∞，－3)，B＝(－4，＋∞)，则eq A∩B＝ ．
抛物线eq y2＝6x的准线方程为 ．
已知复数eq z满足eq eq \f(1,z－1)＝i（i为虚数单位），则eq z＝ ．
设向量eq eq \(a,\s\up6(→))＝(1，2)，eq eq \(b,\s\up6(→))＝(2，1)，则eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角的大小为 （结果用反三角函数值
表示）．
已知二项式eq (2x＋eq \f(1,x))\(\s\up5 (6),\s\d1())，则其展开式中的常数项为 ．
若实数eq x，y满足eq \b\lc \{(\a\al(x≥0，,2x－y≤0，,x＋y－3≤0，))则eq z＝2x＋y的最大值为 ．
已知圆锥的底面半径为1，高为eq \r(3)，则该圆锥的侧面展开图的圆心角eq θ的大小为 ．
方程eq cs2x－sinx＝0在区间eq [0，π]上的所有解的和为 ．
已知函数eq f (x)的周期为2，且当eq 0＜x≤1时，eq f (x)＝eq lg\s\d4(4)x，那么eq f ( eq \f(9,2))＝ ．
设数列eq {eq x\s\d3(n)}的前eq n项和为eq S\s\d3(n)，对任意eq n∈eq N\s\ai0(*)，均有eq eq S\s\d3(n)＋eq x\s\d3(n)＝－1，则eq S\s\d3(6)＝ ．
设函数eq f (x)＝a▪sin2x＋b▪cs2x（eq a，b∈ eq R\s\ai10()），给出下列结论：
①当eq a＝0，b＝1时，eq f (x)为偶函数；
②当eq a＝1，b＝0时，eq f (2x)在区间eq (0， eq \f(π,4))上是单调函数；
③当eq a＝eq \r(3)，b＝－1时，eq f (|eq \f(x,2)|)在区间eq (－2π，2π)上恰有3个零点；
④当eq a＝eq \r(3)，b＝1时，设eq f (x)在区间eq [t，t＋eq \f(π,4)]（eq t∈ eq R\s\ai10()）上的最大值为eq φ(t)，最小值为eq ψ(t)，则eq φ(t)－ψ(t)≤2eq \r(2)．
则所有正确结论的序号是 ．
若定义在eq N上的函数eq f (x)、g(x)满足：存在eq eq x\s\d4(0)∈N，使得eq f (eq x\s\d3(0))＜g(eq x\s\d3(0))成立，则称eq f (x)与eq g(x)在eq N上具有性质eq P(f，g)．设函数eq f (x)＝eq \f(eq eq a\(\s\up5 (x),\s\d1())－1,2)与eq g(x)＝eq x\(\s\up5 (3),\s\d1())，其中eq a＞0，已知eq f (x)与eq g(x)在eq N上不具有性质eq P(f，g)，将eq a的最小值记为eq a\s\d3(0)．设有穷数列eq {eq b\(\s\up5(),\s\d2(n))}满足eq b1＝1，eq bn+1＝1+bn（eq n∈eq N\s\ai0(*)，eq n≤504×[eq a\s\d3(0)]），这里[eq a\s\d3(0)]表示不超过eq a\s\d3(0)的最大整数．若去掉eq {eq b\(\s\up5(),\s\d2(n))}中的一项eq b\(\s\up5(),\s\d3(t))后，剩下的所有项之和恰可表为eq m\(\s\up5 (2),\s\d1())（eq m∈eq N\s\ai0(*)），则eq eq b\(\s\up5(),\s\d3(t))＋m的值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
直线eq x＋3y－1＝0的一个法向量可以是 （ ）
（eq A）eq (3，－1) （eq B）eq (3，1) （eq C）eq (1，3) （eq D）eq (－1，3)
“函数eq f (x)＝sin(ωx)（eq x，ω∈R，且eq ω≠0）的最小正周期为2”是“eq ω＝π”的 （ ）
（eq A）充分非必要条件 （eq B）必要非充分条件
（eq C）充要条件 （eq D）既非充分又非必要条件
从eq 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数
的中位数为4的概率为 （ ）
（eq A）eq \f(1,21) （eq B）eq \f(3,21) （eq C）eq \f(5,21) （eq D）eq \f(7,21)
下列结论中错误的是 （ ）
（eq A）存在实数eq x，y满足eq \b\lc \{(\a\al(|x|≤1，,|x＋y|≤1，))并使得eq 4(x＋1)(y＋1)＞9成立；
（eq B）存在实数eq x，y满足eq \b\lc \{(\a\al(|x|≤1，,|x＋y|≤1，))并使得eq 4(x＋1)(y＋1)＝7成立；
（eq C）满足eq \b\lc \{(\a\al(|x|≤1，,|x＋y|≤1，))且使得eq 4(x＋1)(y＋1)＝－9成立的实数eq x，y不存在；
（eq D）满足eq \b\lc \{(\a\al(|x|≤1，,|x＋y|≤1，))且使得eq 4(x＋1)(y＋1)＜－9成立的实数eq x，y不存在．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
如图，在长方体eq ABCD－eq A\s\d3(1)eq B\s\d3(1)eq C\s\d3(1)eq D\s\d3(1)中，eq T为eq Deq D\s\d3(1)上一点，已知eq DT＝2，AB＝4，BC＝2，
eq Aeq A\s\d3(1)＝6．
（1）求直线eq TC与平面eq ABCD所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求点eq C\s\d3(1)到平面eq eq A\s\d3(1)T C的距离．
（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
已知函数eq f (x)＝x＋eq \f(m,x－1)（eq m∈R）．
（1）当eq m＝1时，解不等式eq f (x)＋1＞f (x＋1)；
（2）设eq x∈[3，4]，且函数eq y＝f (x)＋3存在零点，求实数eq m的取值范围．
（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
设函数eq f (x)＝sin(ωx＋φ)（eq ω＞0，eq －eq \f(π,2)＜φ＜eq \f(π,2)）最小正周期为eq 2π，且eq f (x)的图象过坐标原点．
（1）求eq eq ω、φ的值；
（2）在eq △ABC中，若eq eq 2f\(\s\up5 ( 2),\s\d3())(B)＋eq 3f\(\s\up5 ( 2),\s\d3())(C)＝2 f (A)▪f (B)▪f (C)＋eq f\(\s\up5 ( 2),\s\d3())(A)，且三边eq a、b、c所对的角依次为eq A、B、C．试求eq \f(b·eq f (B＋C),c)的值．
（本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．
已知eq eq F\s\d2(1)、eq F\s\d2(2)分别为椭圆eq Γ：eq \f(x2, 4)＋y2＝1的左、右焦点，eq M为eq Γ上的一点．
（1）若点eq M的坐标为eq (1，m)（eq m＞0），求eq △eq F\s\d2(1)Meq F\s\d2(2)的面积；
（2）若点eq M的坐标为eq (0，1)，且直线eq y＝kx－eq \f(3,5)（eq k∈R）与eq Γ交于两不同点eq A、B，求证：eq eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))为定值，并求出该定值；
（3）如右图，设点eq M的坐标为eq (s，t)，过坐标原点eq O作圆eq M：eq (x－s)2＋(y－t)2＝r2（其中eq r为定值，eq 0＜r＜1，且eq |s|≠r）的两条切线，分别交eq Γ于点eq P、Q，直线eq OP、OQ的斜率分别记为eq eq k\s\d3(1)、eq k\s\d3(2)．如果eq eq k\s\d3(1)eq k\s\d3(2)为定值．试问：是否存在锐角eq θ，使得eq 2|OP|▪|OQ|＝5▪secθ？若存在，试求出eq θ的一个值；若不存在，请说明理由．
（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．
若有穷数列eq {eq x\s\d3(n)}：eq eq x\s\d4(1)，eq x\s\d4(2)，…，eq x\s\d4(n)满足eq eq x\s\d3(i+1)≥eq x\s\d3(i)＋t，eq eq x\s\d3(i)＞0（这里eq i，n∈eq N\s\ai0(*)，eq n≥3，eq 1≤i≤n－1，常数eq t＞0），则称有穷数列eq {eq x\s\d3(n)}具有性质eq P(t)．
（1）已知有穷数列eq {eq x\s\d3(n)}具有性质eq P(t)（常数eq t≥eq \f(1,2)），且eq |eq x\s\d3(2)－eq x\s\d3(1)|＋|eq x\s\d3(3)－eq x\s\d3(2)|＋…＋|eq x\s\d3(n)－eq x\s\d3(n－1)|≤eq \f(n－1,2)，试求eq t的值；
（2）设eq eq a\s\d3(i+1)＝2|eq a\s\d3(i)+t+2|－|eq a\s\d3(i)+t－2|（eq i，n∈eq N\s\ai0(*)，eq n≥3，eq 1≤i≤n－1，常数eq t＞2），判断有穷数列eq {eq a\s\d3(n)}是否具有性质eq P(t－2)，并说明理由；
（3）若有穷数列eq {eq y\s\d3(n)}：eq eq y\s\d4(1)，eq y\s\d4(2)，…，eq y\s\d4(n)具有性质eq P(1)，其各项的和为eq 2000，将eq eq y\s\d4(1)，eq y\s\d4(2)，…，eq y\s\d4(n)
中的最大值记为A．当eq A∈eq N\s\ai0(*)时，求eq A＋n的最小值．