2021-2022学年广东省广州市梓元岗中学中考一模数学试题含解析

这是一份2021-2022学年广东省广州市梓元岗中学中考一模数学试题含解析，共27页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，下列实数中，在2和3之间的是，一元二次方程的根是，下列四个命题，正确的有个，对于数据等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．下列运算正确的是（　　）
A．﹣（a﹣1）＝﹣a﹣1 B．（2a3）2＝4a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a3+a2＝2a5
2．下列说法错误的是（ ）
A．必然事件的概率为1
B．数据1、2、2、3的平均数是2
C．数据5、2、﹣3、0的极差是8
D．如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖
3．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②＝PB•EF；③PF•EF＝2；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④
4．下列实数中，在2和3之间的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，直线MN垂直平分AB交AC于D，连接BD，则△BCD的周长等于（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
6．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为(　　)

A． B． C． D．1
7．一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
8．某春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩






人数






这些运动员跳高成绩的中位数是（　　）
A． B． C． D．
9．下列四个命题，正确的有（　　）个．
①有理数与无理数之和是有理数
②有理数与无理数之和是无理数
③无理数与无理数之和是无理数
④无理数与无理数之积是无理数．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．对于数据：6,3,4,7,6,0,1．下列判断中正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是6，中位数是6 B．这组数据的平均数是6，中位数是7
C．这组数据的平均数是5，中位数是6 D．这组数据的平均数是5，中位数是7
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为，则a的取值范围是_____．
12．瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据，…中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数_____．
13．若反比例函数y＝﹣的图象经过点A(m，3)，则m的值是_____．
14．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．
15．若代数式的值为零，则x=_____．
16． 如图，已知,要使,还需添加一个条件，则可以添加的条件是 ．（只写一个即可，不需要添加辅助线）

17．若，，则代数式的值为__________．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）（问题情境）
张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF．

小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．
[变式探究]
如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF；
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
[结论运用]
如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值；
[迁移拓展]
图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．
19．（5分）如图，是等腰三角形，，.

（1）尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断是否为等腰三角形，并说明理由.
20．（8分）如图，AD是△ABC的中线，过点C作直线CF∥AD．
（问题）如图①，过点D作直线DG∥AB交直线CF于点E，连结AE，求证：AB＝DE．
（探究）如图②，在线段AD上任取一点P，过点P作直线PG∥AB交直线CF于点E，连结AE、BP，探究四边形ABPE是哪类特殊四边形并加以证明．
（应用）在探究的条件下，设PE交AC于点M．若点P是AD的中点，且△APM的面积为1，直接写出四边形ABPE的面积．

21．（10分）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字1，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，1．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y，以此确定点M的坐标（x，y）．请你用画树状图或列表的方法，写出点M所有可能的坐标；求点M（x，y）在函数y=﹣的图象上的概率．
22．（10分）在星期一的第八节课，我校体育老师随机抽取了九年级的总分学生进行体育中考的模拟测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成A、B、C、D、E、F六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表．

　等级
　得分x（分）
　频数（人）
　A
　95＜x≤100
　4
　B
　90＜x≤95
　m
　C
　85＜x≤90
　n
　D
　80＜x≤85
　24
　E
　75＜x≤80
　8
　F
　70＜x≤75
　4
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是　 　．其中m＝　 　，n＝　 ．
（2）扇形统计图中，求E等级对应扇形的圆心角α的度数；
（3）我校九年级共有700名学生，估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数共有多少人？
（4）我校决定从本次抽取的A等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择2名成为学校代表参加全市体能竞赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．
23．（12分）已知，抛物线（为常数）．

（1）抛物线的顶点坐标为( ， )（用含的代数式表示）；
（2）若抛物线经过点且与图象交点的纵坐标为3，请在图1中画出抛物线的简图，并求的函数表达式；
（3）如图2，规矩的四条边分别平行于坐标轴，，若抛物线经过两点，且矩形在其对称轴的左侧，则对角线的最小值是 ．
24．（14分）解不等式 ，并把它的解集表示在数轴上.




参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
根据去括号法则，积的乘方的性质，完全平方公式，合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、因为﹣（a﹣1）=﹣a+1，故本选项错误；
B、（﹣2a3）2=4a6，正确；
C、因为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
D、因为a3与a2不是同类项，而且是加法，不能运算，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，理清指数的变化是解题的关键．
2、D
【解析】
试题分析：A．概率值反映了事件发生的机会的大小，必然事件是一定发生的事件，所以概率为1，本项正确；
B．数据1、2、2、3的平均数是=2，本项正确；
C．这些数据的极差为5﹣（﹣3）=8，故本项正确；
D．某种游戏活动的中奖率为40%，属于不确定事件，可能中奖，也可能不中奖，故本说法错误，
故选D．
考点：1.概率的意义；2.算术平均数；3.极差；4.随机事件
3、B
【解析】
由条件设AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．
【详解】
解：设AD=x，AB=2x
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB
∴BC=x，CD=2x
∵CP：BP=1：2
∴CP=x，BP=x
∵E为DC的中点，
∴CE=CD=x，
∴tan∠CEP==，tan∠EBC==
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°
∴∠CEB=60°
∴∠PEB=30°
∴∠CEP=∠PEB
∴EP平分∠CEB，故①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，
∴△EBP∽△EFB，
∴
∴BE·BF=EF·BP
∵∠F=∠BEF，
∴BE=BF
∴＝PB·EF，故②正确
∵∠F=30°，
∴PF=2PB=x，
过点E作EG⊥AF于G，

∴∠EGF=90°，
∴EF=2EG=2x
∴PF·EF=x·2x=8x2
2AD2=2×（x）2=6x2，
∴PF·EF≠2AD2，故③错误.
在Rt△ECP中，
∵∠CEP=30°，
∴EP=2PC=x
∵tan∠PAB==
∴∠PAB=30°
∴∠APB=60°
∴∠AOB=90°
在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，
AO=x，PO=x
∴4AO·PO=4×x·x=4x2
又EF·EP=2x·x=4x2
∴EF·EP=4AO·PO．故④正确．
故选，B
【点睛】
本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．
4、C
【解析】
分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.
详解：
A、3<π<4，故本选项不符合题意；
B、1<π−2<2，故本选项不符合题意；
C、2<<3，故本选项符合题意；
D、3<<4，故本选项不符合题意；
故选C.
点睛：本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的范围是解本题的关键.
5、D
【解析】
由AB的垂直平分MN交AC于D，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，又由△CDB的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC，即可求得答案．
【详解】
解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵AB＝AC＝10，
∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝10，
∴△BCD的周长＝AC+BC＝10+6＝16，故选D．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质，比较简单，注意数形结合思想与转化思想的应用．
6、A
【解析】
首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值．
【详解】
取AB的中点M，连接OM，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∴OM∥AD∥BC，OM=AD=×3=，
∴△EFB∽△EOM，
∴，
∵AB=5，BE=AB，
∴BE=2，BM=，
∴EM=+2=，
∴，
∴BF=，
故选A．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．
7、D
【解析】
试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题．原方程可化为：，因此或，所以．故选D．
考点：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法．
8、C
【解析】
根据中位数的定义解答即可．
【详解】
解：在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.1，所以中位数是1.1．
所以这些运动员跳高成绩的中位数是1.1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
9、A
【解析】
解：①有理数与无理数的和一定是有理数，故本小题错误；
②有理数与无理数的和一定是无理数，故本小题正确；
③例如=0，0是有理数，故本小题错误；
④例如（﹣）×=﹣2，﹣2是有理数，故本小题错误．
故选A．
点睛：本题考查的是实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
10、C
【解析】
根据题目中的数据可以按照从小到大的顺序排列，从而可以求得这组数据的平均数和中位数．
【详解】
对于数据：6，3，4，7，6，0，1，
这组数据按照从小到大排列是：0，3，4，6，6，7，1，
这组数据的平均数是： 中位数是6，
故选C.
【点睛】
本题考查了平均数、中位数的求法，解决本题的关键是明确它们的意义才会计算，求平均数是用一组数据的和除以这组数据的个数；中位数的求法分两种情况：把一组数据从小到大排成一列， 正中间如果是一个数，这个数就是中位数，如果正中间是两个数，那中位数是这两个数的平均数.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、．
【解析】
∵(a−3)x>1的解集为x<，
∴不等式两边同时除以(a−3)时不等号的方向改变，
∴a−3<0，
∴a<3.
故答案为a<3.
点睛：本题考查了不等式的性质:在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.本题解不等号时方向改变,所以a-3小于0.
12、．
【解析】
分子的规律依次是：32，42，52，62，72，82，92…，分母的规律是：规律是：5+7=12 12+9=21 21+11=32 32+13=45…，即分子为（n+2）2，分母为n（n+4）．
【详解】
解：由题可知规律，第9个数的分子是（9+2）2=121；
第五个的分母是：32+13=45；第六个的分母是：45+15=60；第七个的分母是：60+17=77；
第八个的分母是：77+19=96；则第九个的分母是：96+21=1．
因而第九个数是：．
故答案为：．
【点睛】
主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
13、﹣2
【解析】
∵反比例函数的图象过点A（m，3），
∴，解得.
14、3.1或4.32或4.2
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=1，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，
∴AB==5，S△ABC=AB•BC=1．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB=AP=3时，如图1所示，
S等腰△ABP=•S△ABC=×1=3.1；
②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，
作△ABC的高BD，则BD=，
∴AD=DP==1.2，
∴AP=2AD=3.1，
∴S等腰△ABP=•S△ABC=×1=4.32；
③当CB=CP=4时，如图3所示，
S等腰△BCP=•S△ABC=×1=4.2；
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.1或4.32或4.2，
故答案为：3.1或4.32或4.2．

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
15、3
【解析】
由题意得，=0，解得：x=3，经检验的x=3是原方程的根．
16、可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．
【解析】
由AB=BC结合图形可知这两个三角形有两组边对应相等，添加一组边利用SSS证明全等，也可以添加一对夹角相等，利用SAS证明全等，据此即可得答案.
【详解】
.可添∠ABD=∠CBD或AD=CD，
①∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②AD=CD，
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
故答案为∠ABD=∠CBD或AD=CD．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，结合图形与已知条件灵活应用全等三角形的判定方法是解题的关键. 熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．
17、-12
【解析】
分析：对所求代数式进行因式分解，把，，代入即可求解.
详解：，，
，
故答案为：
点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、小军的证明：见解析；小俊的证明：见解析；[变式探究]见解析；[结论运用]PG+PH的值为1；[迁移拓展]（6+2）dm
【解析】
小军的证明：连接AP，利用面积法即可证得；
小俊的证明：过点P作PG⊥CF，先证明四边形PDFG为矩形，再证明△PGC≌△CEP，即可得到答案；
[变式探究]小军的证明思路：连接AP，根据S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，即可得到答案；
小俊的证明思路：过点C，作CG⊥DP，先证明四边形CFDG是矩形，再证明△CGP≌△CEP即可得到答案；
[结论运用] 过点E作EQ⊥BC，先根据矩形的性质求出BF，根据翻折及勾股定理求出DC，证得四边形EQCD是矩形，得出BE＝BF即可得到答案；
[迁移拓展]延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，证明△ADE∽△BCE得到FA=FB，设DH＝x，利用勾股定理求出x得到BH＝6，再根据∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点即可得到答案.
【详解】
小军的证明：
连接AP，如图②

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴AB×CF＝AB×PD+AC×PE，
∵AB＝AC，
∴CF＝PD+PE．
小俊的证明：
过点P作PG⊥CF，如图2，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，
∴∠CFD＝∠FDG＝∠FGP＝90°，
∴四边形PDFG为矩形，
∴DP＝FG，∠DPG＝90°，
∴∠CGP＝90°，
∵PE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∴∠PGC＝∠CEP，
∵∠BDP＝∠DPG＝90°，
∴PG∥AB，
∴∠GPC＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠GPC＝∠ECP，
在△PGC和△CEP中
，
∴△PGC≌△CEP，
∴CG＝PE，
∴CF＝CG+FG＝PE+PD；
[变式探究]
小军的证明思路：连接AP，如图③，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，
∴AB×CF＝AB×PD﹣AC×PE，
∵AB＝AC，
∴CF＝PD﹣PE；
小俊的证明思路：
过点C，作CG⊥DP，如图③，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，
∴∠CFD＝∠FDG＝∠DGC＝90°，
∴CF＝GD，∠DGC＝90°，四边形CFDG是矩形，
∵PE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∴∠CGP＝∠CEP，
∵CG⊥DP，AB⊥DP，
∴∠CGP＝∠BDP＝90°，
∴CG∥AB，
∴∠GCP＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠PCE，
∴∠GCP＝∠ECP，
在△CGP和△CEP中，
，
∴△CGP≌△CEP，
∴PG＝PE，
∴CF＝DG＝DP﹣PG＝DP﹣PE．
[结论运用]
如图④

过点E作EQ⊥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°，
∵AD＝8，CF＝3，
∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，
由折叠得DF＝BF，∠BEF＝∠DEF，
∴DF＝5，
∵∠C＝90°，
∴DC＝＝1，
∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，
∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC，
∴四边形EQCD是矩形，
∴EQ＝DC＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
∵∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
由问题情景中的结论可得：PG+PH＝EQ，
∴PG+PH＝1．
∴PG+PH的值为1．
[迁移拓展]
延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，如图⑤，

∵AD×CE＝DE×BC，
∴，
∵ED⊥AD，EC⊥CB，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴△ADE∽△BCE，
∴∠A＝∠CBE，
∴FA＝FB，
由问题情景中的结论可得：ED+EC＝BH，
设DH＝x，
∴AH＝AD+DH＝3+x，
∵BH⊥AF，
∴∠BHA＝90°，
∴BH2＝BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，
∵AB＝2，AD＝3，BD＝，
∴（）2﹣x2＝（2）2﹣（3+x）2，
∴x＝1，
∴BH2＝BD2﹣DH2＝37﹣1＝36，
∴BH＝6，
∴ED+EC＝6，
∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点，
∴DM＝EM＝AE，CN＝EN＝BE，
∴△DEM与△CEN的周长之和
＝DE+DM+EM+CN+EN+EC
＝DE+AE+BE+EC
＝DE+AB+EC
＝DE+EC+AB
＝6+2，
∴△DEM与△CEN的周长之和（6+2）dm．
【点睛】
此题是一道综合题,考查三角形全等的判定及性质,勾股定理,矩形的性质定理,三角形的相似的判定及性质定理,翻折的性质,根据题中小军和小俊的思路进行证明,故正确理解题意由此进行后面的证明是解题的关键.
19、（1）作图见解析 （2）为等腰三角形
【解析】
（1）作角平分线，以B点为圆心，任意长为半径，画圆弧；交直线AB于1点，直线BC于2点，再以2点为圆心，任意长为半径，画圆弧，再以1点为圆心，任意长为半径，画圆弧，相交于3点，连接3点和O点，直线3O即是已知角AOB的对称中心线.
（2）分别求出的三个角，看是否有两个角相等，进而判断是否为等腰三角形.
【详解】
（1）具体如下：

（2）在等腰中，，BD为∠ABC的平分线，故，，那么在中，
∵
∴是否为等腰三角形.
【点睛】
本题考查角平分线的作法，以及判定等腰三角形的方法.熟悉了解角平分线的定义以及等腰三角形的判定方法是解题的关键所在.
20、【问题】：详见解析；【探究】：四边形ABPE是平行四边形，理由详见解析；【应用】：8.
【解析】
（1）先根据平行线的性质和等量代换得出∠1＝∠3，再利用中线性质得到BD＝DC，证明△ABD≌△EDC，从而证明AB＝DE（2）方法一：过点D作DN∥PE交直线CF于点N，由平行线性质得出四边形PDNE是平行四边形，从而得到四边形ABPE是平行四边形.方法二: 延长BP交直线CF于点N，根据平行线的性质结合等量代换证明△ABP≌△EPN，
从而证明四边形ABPE是平行四边形（3）延长BP交CF于H，根据平行四边形的性质结合三角形的面积公式求解即可.
【详解】
证明：如图①


是的中线，



（或证明四边形ABDE是平行四边形，从而得到）
【探究】
四边形ABPE是平行四边形．
方法一：如图②，
证明：过点D作交直线于点，


∴四边形是平行四边形，

∵由问题结论可得

∴四边形是平行四边形．
方法二：如图③，

证明：延长BP交直线CF于点N，





∵是的中线，



∴四边形是平行四边形．
【应用】
如图④，延长BP交CF于H．

由上面可知，四边形是平行四边形，


∴四边形APHE是平行四边形，







，



【点睛】
此题重点考查学生对平行线性质，平行四边形性质的综合应用能力，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
21、（1）树状图见解析，则点M所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）画出树状图，可求得所有等可能的结果；（2）由点M（x，y）在函数y=﹣的图象上的有：（1，﹣2），（2，﹣1），直接利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：（1）树状图如下图：

则点M所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，1）；（2）∵点M（x，y）在函数y=﹣的图象上的有：（1，﹣2），（2，﹣1），
∴点M（x，y）在函数y=﹣的图象上的概率为：．
考点：列表法或树状图法求概率.
22、（1）80，12，28；（2）36°；（3）140人；（4）
【解析】
（1）用D组的频数除以它所占的百分比得到样本容量；用样本容量乘以B组所占的百分比得到m的值，然后用样本容量分别减去其它各组的频数即可得到n的值；
（2）用E组所占的百分比乘以360°得到α的值；
（3）利用样本估计整体，用700乘以A、B两组的频率和可估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
（1）24÷30%=80，
所以样本容量为80；
m=80×15%=12，n=80﹣12﹣4﹣24﹣8﹣4=28；
故答案为80，12，28；
（2）E等级对应扇形的圆心角α的度数=×360°=36°；
（3）700×=140，
所以估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数共有140人；
（4）画树状图如下：

共12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲和乙的结果数为2，
所以恰好抽到甲和乙的概率=．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
23、（1）；（2）图象见解析，或；（3）
【解析】
（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据抛物线经过点M，用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出图象，然后将纵坐标3代入抛物线的解析式中，求出横坐标，然后将点再代入反比例函数的表达式中即可求出反比例函数的表示式；
（3）设出A的坐标，表示出C,D的坐标，得到CD的长度，根据题意找到CD的最小值，因为AD的长度不变，所以当CD最小时，对角线AC最小，则答案可求．
【详解】
解：（1），
抛物线的顶点的坐标为．
故答案为：
（2）将代入抛物线的解析式得：
解得：，
抛物线的解析式为．
抛物线的大致图象如图所示：

将代入得：
，
解得：或
抛物线与反比例函数图象的交点坐标为或．
将代入得：，
．
将代入得：，
．
综上所述，反比例函数的表达式为或．
（3）设点的坐标为，
则点的坐标为，
的坐标为．

的长随的增大而减小．
矩形在其对称轴的左侧，抛物线的对称轴为，


当时，的长有最小值，的最小值．
的长度不变，
当最小时，有最小值．
的最小值
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数，反比例函数与几何综合，掌握二次函数，反比例函数的图象与性质是解题的关键．
24、x＜5；数轴见解析
【解析】
【分析】将（x-2）当做一个整体，先移项，然后再按解一元一次不等式的一般步骤进行求解，求得解集后在数轴上表示即可.
【详解】移项，得 ，
去分母，得 ，
移项，得，
∴不等式的解集为，
在数轴上表示如图所示：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的特点选择恰当的方法进行求解是关键.