2020-2021学年7 长方形和正方形四边形课后复习题

这是一份2020-2021学年7 长方形和正方形四边形课后复习题，共10页。
1.将一个n边形变成(n+2)边形,内角和将(D)
A.减少180°B.增加180°
C.减少360°D.增加360°
2.若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是(A)
A.35B.20
C.10D.7
【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°,∴144n=180×(n-2),解得n=10,∴这个正n边形的所有对角线的条数是n(n-3)2=10×(10-3)2=35.
3.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为(B)
A.50°B.40°C.30°D.20°
【解析】∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,∴∠BCA=180°-60°-80°=40°.∵对角线AC与BD相交于点O,E是CD的中点,∴EO是△DBC的中位线,∴EO∥BC,∴∠1=∠ACB=40°.
4.(2019·宣城模拟)如图,在▱ABCD中,∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E,且BE=4,CE=3,则AB的长是(A)
A.52B.3C.4D.5
【解析】∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,∴∠EBC+∠ECB=90°,∴∠BEC=90°,∴BC=BE2+CE2=42+32=5,∴AD=BC=5.∵AD∥BC,∴∠EBC=∠AEB.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE.同理DC=DE.∵AB=CD,∴AB=12AD=52.
5.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,请你添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形,你添加的条件是 OB=OD(答案不唯一,合理即可) .
6.如图,在▱ABCD中,按以下步骤作图:①以点A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以点M,N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线AP交边CD于点Q.若DQ=2QC,BC=3,则▱ABCD的周长为 15 .
【解析】由作图知,AQ是∠BAD的平分线,∴∠DAQ=∠BAQ.在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠DQA=∠BAQ,∴∠DQA=∠DAQ,∴DA=DQ.∵DQ=2QC,BC=3,∴DQ=3,QC=32,∴CD=92,∴▱ABCD的周长为2(BC+CD)=2×3+92=15.
7.如图,在▱ABCD中,过对角线BD上一点P作EF∥BC,GH∥AB,且CG=2BG,S△BPG=1,则S▱AEPH= 4 .
【解析】∵EF∥BC,GH∥AB,∴四边形HPFD,BEPG是平行四边形,∴S△BPG=S△BPE=1,S△DPH=S△DPF.同理S△ABD=S△CBD,∴S▱AEPH=S▱CFPG.∵S▱BEPG=2,CG=2BG,∴S▱CFPG=2S▱BEPG=4,∴S▱AEPH=4.
8.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,DE∥AB交直线AC于点E.若AC=7,DE=5,则DF= 2或12 .
【解析】①如图1,当点D在线段BC上时,∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF为平行四边形,∴DF=AE,∠B=∠CDE,又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠CDE=∠C,∴CE=DE=5,∴DF=AE=AC-CE=2;②如图2,当点D在BC的延长线上时,同法可证DE=AF=5,FB=FD.∵AB=AC=7,∴DF=FB=5+7=12.综上所述,DF的值为2或12.
9.(9分)如图,在▱ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点F,BE平分∠ABC,交AD于点E.
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;
(2)若∠AEB=68°,求∠C的度数.
解:(1)在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE.
又∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE.同理CF=CD.
又∵AB=CD,∴CF=AE,∴BF=DE,
∴四边形BFDE是平行四边形.
(2)由(1)知∠AEB=∠ABE,∴∠A=180°-2∠AEB=44°,
∴∠C=∠A=44°.
10.(10分)(2019·合肥长丰模拟)如图1,在平行四边形ABCD中(AB>BC),AE⊥BC,垂足为E,DF⊥BC所在的直线,垂足为F.
(1)求证:BE=CF;
(2)如图2,作∠ADC的平分线交边AB于点M,与AE交于点N,且AE=AD.求证:CD=CF+AN.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC.
又∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴AE=DF(平行线之间的垂直距离处处相等),
∴Rt△ABE≌Rt△DCF,∴BE=CF.
(2)如图,延长CF到点G,使得FG=AN.
由(1)知AE=DF,
又∵AE=AD,∴AD=DF.
∴△ADN≌△FDG(SAS),
∴∠1=∠6=α,∠7=∠G.
∵Rt△ABE≌Rt△DCF,∴∠3=∠4=β.
∵DM平分∠ADC,∴∠1=∠2=α.
∵AB∥CD,∴∠5=∠2=α.
在△AMN中,∠7=∠4+∠5=α+β,
又∵∠CDG=∠3+∠6=α+β,
∴∠CDG=∠G,∴CD=CG.
而CG=CF+FG=CF+AN,∴CD=CF+AN.
[名师预测]
1.若一个多边形的内角和是其外角和的5倍,则这个多边形的边数是(A)
A.12B.10C.8D.6
【解析】设多边形的边数为n,根据题意得(n-2)·180°=5×360°,解得n=12,则这个多边形的边数是12.
2.如图,两张宽度分别为1和2的方形纸条交叉放置,重叠部分为四边形ABCD.若AB+BC=6,则四边形ABCD的面积是(A)
A.4B.2C.8D.6
【解析】依题意得AB∥CD,AD∥BC,则四边形ABCD是平行四边形.如图,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∴AE=1,AF=2,∴BC·AE=AB·AF,∴BC=2AB.又∵AB+BC=6,∴AB=2,BC=4,∴四边形ABCD的面积=2×2=4.
3.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点,给出下列结论:①BE⊥AC;②四边形BEFG是平行四边形;③EG=GF;④AE平分∠GEF.其中正确的结论是(B)
A.①②③B.①②④
C.①③④D.②③④
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=DO=12BD,AD=BC,AB=CD,AD∥BC.又∵BD=2AD,∴OB=BC=OD=DA.∵E是OC的中点,∴BE⊥AC,∴①正确;∵E,F分别是OC,OD的中点,∴EF∥CD,EF=12CD.∵G是Rt△ABE斜边AB上的中点,∴GE=12AB=AG=BG,∴EG=EF=AG=BG,无法证明GE=GF,∴③错误;∵BG=EF,BG∥EF∥CD,∴四边形BEFG是平行四边形,∴②正确;∵EF∥CD∥AB,∴∠BAC=∠ACD=∠AEF.∵AG=GE,∴∠GAE=∠AEG,∴∠AEG=∠AEF,∴AE平分∠GEF,∴④正确.
4.如图,在▱ABCD中,AB=3,BC=5,对角线AC,BD相交于点O.过点O作OE⊥AC,交AD于点E.连接CE,则△CDE的周长为 8 .
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=CO,AD=BC,CD=AB.又∵OE⊥AC,∴CE=AE,∴△CDE的周长为CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8.
5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有▱ADCE中,DE的最小值是 3 .
【解析】∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∴BC⊥AB.∵四边形ADCE是平行四边形,∴OD=OE,OA=OC,∴当OD取最小值时,线段DE最短,此时OD⊥BC,∴OD∥AB.又∵O是AC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=12AB=1.5,∴DE=2OD=3.
6.如图,在▱ABCD中,∠ABC,∠BCD的平分线BE,CF分别与AD相交于点E,F,BE与CF相交于点G.
(1)求证:BE⊥CF;
(2)若AB=3,BC=5,CF=2,求BE的长.
解:(1)∵BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,
∴∠CBE=12∠ABC,∠BCF=12∠BCD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠CBE+∠BCF=12(∠ABC+∠BCD)=90°,
∴∠CGB=90°,∴BE⊥CF.
(2)过点E作EP∥FC,交BC的延长线于点P,
∴四边形CPEF是平行四边形.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,
∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB=3.
同理DF=DC=3,∴EF=AE+DF-AD=1,
∴CP=EF=1,EP=CF=2.
又由(1)知BE⊥CF,∴BE⊥EP,
在Rt△BPE中,BE2+EP2=BP2,即BE2+22=62,
解得BE=42.
5.2 矩形、菱形与正方形学用P39
[过关演练] (30分钟 60分)
1.下列命题,其中是真命题的为(D)
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
2.如图,正方形ABCD的边长为1,E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J,则图中阴影部分的面积等于(B)
A.1B.12C.13D.14
3.(2019·阜阳颍泉区模拟)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形OCED的周长为(B)
A.4B.8
C.10D.12
4.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:①FB⊥OC,OM=CM;②△EOB≌△CMB;③四边形EBFD是菱形;④MB∶OE=3∶2.其中正确结论的个数是(C)
A.1B.2
C.3D.4
【解析】连接BD,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AC,BD互相平分.∵O为AC的中点,∴BD也过点O,∴OB=OC.∵∠COB=60°,OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴OB=BC=OC,∠OBC=60°.易证△OBF≌△CBF,∴△OBF与△CBF关于直线BF对称,∴FB⊥OC,OM=CM,故①正确;∵∠OBC=60°,∴∠ABO=30°.∵△OBF≌△CBF,∴∠OBM=∠CBM=30°,∴∠ABO=∠OBF.∵AB∥CD,∴∠OCF=∠OAE.∵OA=OC,易证△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴OB⊥EF,∴四边形EBFD是菱形,故③正确;∵△EOB≌△FOB≌△FCB,∴△EOB与△CMB不全等,故②错误;∵∠OMB=∠BOF=90°,∠OBF=30°,∴MB=OM33,OF=OM32.∵OE=OF,∴MB∶OE=3∶2,故④正确.
5.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= 2 .
6.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.请你添加一个条件 AB=BE(答案不唯一) ,使四边形DBCE是矩形.
7.如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为 16 .
【解析】在矩形ABCD中,CD=AB=x,BC=AD=y,在Rt△BDE中,∠BDE=90°,F为BE的中点,所以DF为△DBE的中线,BF=EF=DF=4,CF=4-BC=4-y,所以x2+(y-4)2=CD2+CF2=DF2=16.
8.图1是一套七巧板,小靓用该七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形ABCD内,如图2,装饰图中的三角形顶点E,F分别在边AB,BC上,三角形①的边GD在边AD上,则ABBC的值是 2+14 .
【解析】设七巧板的边长为x,则AB=12x+22x,BC=12x+x+12x=2x,所以ABBC=12x+22x2x=2+14.
9.(12分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,对角线AC,BD交于点O,AO=BO,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AB=2,求△OEC的面积.
解:(1)∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADC+∠BCD=180°.
∵∠ABC=∠ADC,∴∠BAD=∠BCD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AO=BO,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.
(2)作OF⊥BC于点F.
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=2,∠BCD=90°,BO=OD,
∴BF=FC,∴OF=12CD=1.
∵DE平分∠ADC,∠ADC=90°,∴∠EDC=45°,
∴在Rt△EDC中,EC=CD=2,
∴△OEC的面积=12·EC·OF=1.
10.(12分)(2019·合肥包河区二模)如图,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时,AF的长度.
解:(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D.
∵AF=CD,∴AF+FC=CD+FC,即AC=DF.
又∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.
(2)AF=75.
提示:连接BE交AD于点O.
在Rt△EFD中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4,
∴DF=32+42=5.
∵四边形EFBC是菱形,
∴BE⊥CF,∴EO=DE·EFDF=125,
∴OF=OC=EF2-EO2=95,∴FC=185,
∴AF=CD=DF-FC=5-185=75.
[名师预测]
1.如图,在△ABC中,点E,D,F分别在边AB,BC,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四个判断中,不正确的是(D)
A.四边形AEDF是平行四边形
B.如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形
C.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形
D.如果AD⊥BC,那么四边形AEDF是菱形
【解析】由DE∥CA,DF∥BA,可得四边形AEDF是平行四边形,故A选项正确;又有∠BAC=90°,可得四边形AEDF是矩形,故B选项正确;如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA,可得∠EAD=∠ADF,∴∠FAD=∠ADF,∴AF=FD,可得四边形AEDF是菱形,故C选项正确;如果AD⊥BC且AB=AC,那么AD平分∠BAC,可得四边形AEDF是菱形,只有AD⊥BC,不能判断四边形AEDF是菱形,故D选项错误.
2.如图,已知正方形ABCD的边长等于5,直线a,b,c分别过A,B,C三点,且a∥b∥c,EF⊥直线c,垂足为F,交直线a于点E.若直线a,b之间的距离为3,则EF=(A)
A.1B.2C.522-3D.5-3
【解析】如图,延长AE交BC于点N,过点B作BM⊥AN于点M,过点N作NH⊥FC于点H.在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,利用勾股定理得AM=4.∵∠BAM+∠ABM=90°,∠NBM+∠ABM=90°,∴∠MBN=∠BAM,∴cs ∠BAM=cs ∠MBN,即3BN=45,解得BN=154,∴CN=BC-BN=54.∵∠HNC=∠MBN,∴cs ∠HNC=cs ∠MBN=45,即NHNC=45,解得NH=1.∵a∥c,EF⊥FC,NH⊥FC,∴EF=NH=1.
3.如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=6,BD=8,P是线段AD上任意一点,且PE⊥BD,垂足为E,PF⊥AC,垂足为F,则4PE+3PF的值是(A)
A.12B.24C.36D.48
【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO=3,BO=DO=4.∵PE⊥BD,PF⊥AC,∴PE∥AC,PF∥BD,∴△AFP∽△AOD,△PED∽△AOD,∴APAD=PFOD,PEAO=PDAD,∴APAD+PDAD=PE3+PF4=1,∴4PE+3PF=12.
4.如图,在菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE.若∠ABC=140°,则∠OED= 20° .
【解析】在菱形ABCD中,∵∠ABC=140°,∴∠DBC=70°.∵DE⊥BC,∴∠BDE=20°.∵O是BD的中点,∴OD=OE,∴∠OED=∠ODE=20°.
5.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为BC边上一点,且CE=2BE.若四边形ABEO的面积为3,则▱ABCD的面积为 9 .
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴S△ABO=S△BOC=14S▱ABCD.在△BOC中,∵CE=2BE,∴S△BOE=13S△BOC=112S▱ABCD,∴S四边形ABEO=13S▱ABCD,▱ABCD的面积为9.
6.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC边的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若AB=5,AC=12,求EF的长.
解:(1)∵AD∥BC,AE∥DC,
∴四边形AECD是平行四边形.
∵∠BAC=90°,E是BC的中点,
∴AE=CE=12BC,
∴四边形AECD是菱形.
(2)过点A作AH⊥BC于点H.
∵∠BAC=90°,AB=5,AC=12,
∴BC=AB2+BC2=13.
∵△ABC的面积=12BC×AH=12AB×AC,
∴AH=5×1213=6013.
∵四边形AECD是菱形,∴CD=CE.
∵S▱AECD=CE·AH=CD·EF,
∴EF=AH=6013.