备战中考初中数学导练学案50讲—第46讲二次函数与四边形的综合（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第46讲 二次函数与四边形的综合
【疑难点拨】
有关平行四边形的存在性问题
(1)已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。

(2)已知两个定点，两个动点的情况
已知点C(0,2), B(4,0)，点A为X轴上一个动点，试在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形（画出草图即可）
分以下几种情况：（1）以BC为对角线，BE为边；（2）以CE为对角线，BC为边；（3）以BE为对角线，BC为边；

(3)方法归纳：
先分类；（按对角线和边）
再画图；（画草图，确定目标点的大概位置）
后计算。（可利用三角形全等性质和平行四边形性质，准确求点的坐标）
【基础篇】
1. （2017山东泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（　　）

A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
2. 如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（　　）

A．m B．6m C．15m D．m
3. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为21m，则能建成的饲养室总占地面积最大为___m2．

4. 如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三顶点A,B,C,则ac的值是　　　　　.

5. 如图,四边形ABCD是矩形,A,B两点在x轴的正半轴上,C,D两点在抛物线y=-x2+6x上,设OA=m(0
6. 如图，抛物线 与 轴的一个交点A在点（－2，0）和（1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则 的取值范围是________．

7. 如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值．

8. 如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c 恰好经过x轴上A，B两点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？

9. (2017湖北咸宁)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．

10. （2017青海西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想△EDB的形状并加以证明；
（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．




【能力篇】
11. 我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：
（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；
（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；
（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．





12. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.[来源:学科网ZXXK]
(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．
(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．
②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？请说明理由．




13. （2017山东临沂）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【



14. （2018·云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．




15. （2018·辽宁省抚顺市）（14.00分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．





16. （2017•新疆）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）试求A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．


















17. （2017山东泰安）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．





18. （2017甘肃天水）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．


【探究篇】
19. （2017.湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．







20. （2017山东聊城）如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；
（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
















第46讲 二次函数与四边形的综合
【疑难点拨】
有关平行四边形的存在性问题
(1)已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。

(2)已知两个定点，两个动点的情况
已知点C(0,2), B(4,0)，点A为X轴上一个动点，试在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形（画出草图即可）
分以下几种情况：（1）以BC为对角线，BE为边；（2）以CE为对角线，BC为边；（3）以BE为对角线，BC为边；

(3)方法归纳：
先分类；（按对角线和边）
再画图；（画草图，确定目标点的大概位置）
后计算。（可利用三角形全等性质和平行四边形性质，准确求点的坐标）
【基础篇】
1. （2017山东泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（　　）

A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
【考点】H7：二次函数的最值．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC==6cm．
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，
∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ=AC•BC﹣PC•CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，
∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．
故选C．
2. 如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（　　）

A．m B．6m C．15m D．m
【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．思路是：长方形的面积=大三角形的面积﹣两个小三角形的面积．
【解答】解：根据题意得：y=30﹣（5﹣x）﹣x（12﹣），
整理得y=﹣x2+12x，
=﹣[x2﹣5x+（）2﹣]，
=﹣（x﹣）2+15，
∵
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．
故选：D．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单
3. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为21m，则能建成的饲养室总占地面积最大为___m2．

【解析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为21+3-3x=24-3x．
则总面积S=x（24-3x）=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，故饲养室的最大面积为48平方米．
故答案为：48．
4. 如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三顶点A,B,C,则ac的值是　　　　　.

【解析】设A点坐标为(0,2m),则C点坐标为(m,m),
故2m=a·02+c,m=am2+c,即am=-1.
又因为c=2m,所以a·c2=-1,ac=-2.
5. 如图,四边形ABCD是矩形,A,B两点在x轴的正半轴上,C,D两点在抛物线y=-x2+6x上,设OA=m(0
【解析】由OA=m可知点D的横坐标为m,
又∵点D在抛物线
y=-x2+6x上,

∴点D的纵坐标为-m2+6m,即AD=-m2+6m;
当y=0时,-x2+6x=0,解得x1=0,x2=6,
∴抛物线与x轴另一个交点E的坐标为(6,0),
∴OE=6,∵OA=m,
由抛物线的对称性可知BE=m,
∴AB=6-2m.
∴矩形ABCD的周长l=2(AD+AB)=2(-m2+6m+6-2m)=-2m2+8m+12.
6. 如图，抛物线 与 轴的一个交点A在点（－2，0）和（1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则 的取值范围是________．

【解析】
观察图形发现，抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标在第一象限，∵
∴b＞0，
而抛物线与y轴的交点在y轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故答案为：＜
7. 如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值．

解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，
∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0＜x≤4)　
(2)由(1)知：y＝－x2＋9x，∴y＝－(x－)2＋，
∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，
∴当x＝4时，y最大值＝20，
即△PBQ的最大面积是20 cm2
8. 如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c 恰好经过x轴上A，B两点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？

解：(1)A，B，C的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2，)　
(2)y＝－(x－2)2＋　
(3)设抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋k，代入D(0，)，
可得k＝5，平移后的抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋5，
∴平移了5－＝4个单位
9. (2017湖北咸宁)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由条件可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得D点坐标；
（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长．
【解答】解：
（1）∵OB=OC=6，
∴B（6，0），C（0，﹣6），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6，
∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，
∴点D的坐标为（2，﹣8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x， x2﹣2x﹣6），则FG=|x2﹣2x﹣6|，
在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，
∴A（﹣2，0），
∴OA=2，则AG=x+2，
∵B（6，0），D（2，﹣8），
∴BE=6﹣2=4，DE=8，
当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，
∴△FAG∽△BDE，
∴=，即==，
当点F在x轴上方时，则有=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7，）；
当点F在x轴上方时，则有=﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣）；
综上可知F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；
（3）∵点P在x轴上，
∴由菱形的对称性可知P（2，0），
如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，

∵PQ=MN，
∴MT=2PT，
设PT=n，则MT=2n，
∴M（2+2n，n），
∵M在抛物线上，
∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=，
∴MN=2MT=4n=+1；
当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n），
∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=（舍去），
∴MN=2MT=4n=﹣1；
综上可知菱形对角线MN的长为+1或﹣1．
10. （2017青海西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想△EDB的形状并加以证明；
（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由B、D、E的坐标可分别求得DE、BD和BE的长，再利用勾股定理的逆定理可进行判断；
（3）由B、E的坐标可先求得直线BE的解析式，则可求得F点的坐标，当AF为边时，则有FM∥AN且FM=AN，则可求得M点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标；当AF为对角线时，由A、F的坐标可求得平行四边形的对称中心，可设出M点坐标，则可表示出N点坐标，再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程，可求得M点坐标．
【解答】解：（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴A（4，0），C（0，3），
∵抛物线经过O、A两点，
∴抛物线顶点坐标为（2，3），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
把A点坐标代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x；
（2）△EDB为等腰直角三角形．
证明：由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），
∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，
∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，
∴△EDB为等腰直角三角形；
（3）存在．理由如下：
设直线BE解析式为y=kx+b，
把B、E坐标代入可得，解得，
∴直线BE解析式为y=x+1，
当x=2时，y=2，
∴F（2，2），
①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，
∴点M的纵坐标为2或﹣2，
在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
∴M点坐标为（，2）；
在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
∴M点坐标为（，﹣2）；
②当AF为平行四边形的对角线时，
∵A（4，0），F（2，2），
∴线段AF的中点为（3，1），即平行四边形的对称中心为（3，1），
设M（t，﹣ t2+3t），N（x，0），
则﹣t2+3t=2，解得t=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴t=，
∴M点坐标为（，2）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（，2）或（，﹣2）．
【能力篇】
11. 我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：
（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；
（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；
（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）把点（﹣2，0）和（﹣1，3）分别代入y=ax2+bx，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据二次函数的性质，得出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（﹣，﹣），把顶点坐标代入y=﹣2x，得出﹣=﹣2×（﹣），即可求出b的值；
（3）由于这组抛物线的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，根据（2）的结论可知，b=4或b=0．①当b=0时，不合题意舍去；②当b=﹣4时，抛物线的表达式为y=ax2﹣4x．由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（﹣n，2n），则Dn（﹣3n，2n），因为以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），根据﹣=﹣n﹣k，得出a==﹣，即第n+k条抛物线的表达式为y=﹣x2﹣4x，根据Dn（﹣3n，2n）在第n+k条抛物线上，得到2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，进而求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点（﹣2，0）和（﹣1，3），
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y=﹣3x2﹣6x；
（2）∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（﹣，﹣），且该点在直线y=﹣2x上，
∴﹣=﹣2×（﹣），
∵a≠0，∴﹣b2=4b，
解得b1=﹣4，b2=0；
（3）这组抛物线的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，
由（2）可知，b=4或b=0．
①当b=0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去；
②当b=﹣4时，抛物线的表达式为y=ax2﹣4x．
由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（﹣n，2n），则Dn（﹣3n，2n），
∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），
∴﹣=﹣n﹣k，∴a==﹣，
∴第n+k条抛物线的表达式为y=﹣x2﹣4x，
∵Dn（﹣3n，2n）在第n+k条抛物线上，
∴2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，
∵n，k为正整数，且n≤12，
∴n1=5，n2=10．
当n=5时，k=4，n+k=9；
当n=10时，k=8，n+k=18＞12（舍去），
∴D5（﹣15，10），
∴正方形的边长是10．
12. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.[来源:学科网ZXXK]
(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．
(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．
②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？请说明理由．

解：(1)联立
解得
∴B点坐标为(－1，1)．
又C点为B点关于原点的对称点，
∴C点坐标为(1，－1)．
∵直线y＝－2x－1与y轴交于点A，
∴A点坐标为(0，－1)．
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，
把A，B，C三点的坐标分别代入，得解得
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－1.
(2)①连接PQ.
由题易知PQ与BC交于原点O.当四边形PBQC为菱形时，PQ⊥BC，
∵直线BC对应的函数表达式为y＝－x，
∴直线PQ对应的函数表达式为y＝x.
联立
解得或
∴P点坐标为(1－，1－)或(1＋，1＋)．
②当t＝0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：
如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，过P作x轴的垂线，交直线BC于点E，
则S四边形PBQC＝2S△PBC＝2×BC·PD＝BC·PD.
∵线段BC的长固定不变，
∴当PD最大时，四边形PBQC的面积最大．
又∠PED＝∠AOC(固定不变)，
∴当PE最大时，PD也最大．
∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，
∴P点坐标为(t，t2－t－1)，
E点坐标为(t，－t)．
∴PE＝－t－(t2－t－1)＝－t2＋1.
∴当t＝0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．

13. （2017山东临沂）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）待定系数法即可得到结论；
（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m即可得到结论；
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．
【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），
∴OC=3，
∵OC=3OB，
∴OB=1，
∴B（﹣1，0），
把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，
∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），
∴AF∥x轴，
∴F（﹣1，﹣3），
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），
①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，
则△ABF≌△NME，
∴NE=AF=3，ME=BF=3，
∴|a﹣1|=3，
∴a=3或a=﹣2，
∴M（4，5）或（﹣2，11）；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
∴M（0，﹣3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
14. （2018·云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，
解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
∴=．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴=，=，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴=，=，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
15. （2018·辽宁省抚顺市）（14.00分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【分析】（1）利用待定系数法即可；
（2）①分别用t表示PE.PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；
②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．
【解答】解：（1）由已知，B点横坐标为3
∵A.B在y=x+1上
∴A（﹣1，0），B（3，4）
把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得

解得

∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4
（2）①过点P作PE⊥x轴于点E

∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度
∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0）
∴EQ=4﹣3t，PE=t
∵∠PQE+∠NQC=90°
∠PQE+∠EPQ=90°
∴∠EPQ=∠NQC
∴△PQE∽△QNC
∴
∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2
∵PQ2=PE2+EQ2
∴S=2（）2=20t2﹣36t+18
当t=时，
S最小=20×（）2﹣36×+18=
②由①点C坐标为（3﹣2t，0）P（﹣1+t，t）
∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QO=8﹣6t
∴N点坐标为（3，8﹣6t）
由矩形对角线互相平分
∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）
当M在抛物线上时
8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4
解得t=
当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2
当N在抛物线上时，8﹣6t=4
∴t=
综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，解答时应注意数形结合和分类讨论的数学思想．
16. （2017•新疆）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）试求A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；
（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；
②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；
（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．
【解答】解：（1）当y=0时，0=﹣x2+x+2，
解得：x1=﹣1，x2=4，
则A（﹣1，0），B（4，0），
当x=0时，y=2，
故C（0，2）；
（2）①过点D作DE⊥x轴于点E，
∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，
∴D（3，﹣2）；
②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴AC=BD，AD=BC，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵AC==，BC==2，
AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ADBC是矩形；
（3）由题意可得：BD=，AD=2，
则=，
当△BMP∽△ADB时，
==，
可得：BM=2.5，
则PM=1.25，
故P（1.5，1.25），
当△BMP1∽△ABD时，
P1（1.5，﹣1.25），
当△BMP2∽△BDA时，
可得：P2（1.5，5），
当△BMP3∽△BDA时，
可得：P3（1.5，﹣5），
综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．

【点评】此题主要考查了二次函数的综合以及相似三角形的判定与性质等知识，正确分类讨论是解题关键．
17. （2017山东泰安）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；
（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；
（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．
把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，
解得k=4，
则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．
∵B的坐标是（3，0），
∴OB=3，
∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OCB=45°，
过点N作NH⊥y轴，垂足是H．
∵∠NCB=90°，
∴∠NCH=45°，
∴NH=CH，
∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，
设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．
∴a+3=﹣a2+2a+3，
解得a=0（舍去）或a=1，
∴N的坐标是（1，4）；
（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，
设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，
整理，得2t2﹣t=0，
解得t=0或．
∴﹣t2+2t+3的值为3或．
∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．

18. （2017甘肃天水）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
对称轴为直线x==1；
（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），
∴0=﹣k+b，
即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，
∵CD=4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴﹣3﹣=﹣1×4，
∴k=a，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），
则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面积的最大值=﹣a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴﹣a=，
解得a=﹣；
（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，
解得：x1=1，x2=4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一条边，
则易得Q（﹣4，21a），
m=21a+5a=26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，
即a2=，
∵a＜0，
∴a=﹣，
∴P（1，﹣）；
②若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q（2，﹣3a），
m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD=90°，
∴AP2+PD2=AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，
即a2=，
∵a＜0，
∴a=﹣，
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．

【探究篇】
19. （2017.湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；
（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；
（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；
（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，

（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，
∴C（0，﹣5），
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴AB=6，BC=5，
要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，
①当时，
CD=AB=6，
∴D（0，1），
②当时，
∴，
∴CD=，
∴D（0，），
即：D的坐标为（0，1）或（0，）；
（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），
∵CE∥x轴，
∴点E的纵坐标为﹣5，
∵E在抛物线上，
∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，
∴E（4，﹣5），
∴CE=4，
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴直线BC的解析式为y=x﹣5，
∴F（t，t﹣5），
∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+，
∵CE∥x轴，HF∥y轴，
∴CE⊥HF，
∴S四边形CHEF=CE•HF=﹣2（t﹣）2+，
当t=时，四边形CHEF的面积最大为．
（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，
∴K（2，﹣9），
∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），
∵M（4，m）在抛物线上，
∴M（4，﹣5），
∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），
∴直线K'M'的解析式为y=x﹣，
∴P（，0），Q（0，﹣）．

20. （2017山东聊城）如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；
（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；
（2）过P作PC⊥y轴于点C，由条件可求得∠PAC=60°，可设AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；
（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出△PAB的面积，利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】解：
（1）根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+6，
∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，
∴抛物线的顶点坐标为（2，8）；
（2）如图1，过P作PC⊥y轴于点C，

∵OA=OB=6，
∴∠OAB=45°，
∴当∠PAB=75°时，∠PAC=60°，
∴tan∠PAC=，即=，
设AC=m，则PC=m，
∴P（m，6+m），
把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=﹣（m）2+2m+6，解得m=0或m=﹣，
经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去，
∴所求的P点坐标为（4﹣， +）；

（3）当两个支点移动t秒时，则P（t，﹣ t2+2t+6），M（0，6﹣t），

如图2，作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6﹣t，
∴F（t，6﹣t），
∴FP=t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣t2+3t，
∵点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，
∴S△PAB=FP•OE+FP•BE=FP•（OE+BE）=FP•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t，且S△AMB=AM•OB=×t×6=3t，
∴S=S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣t2+12t=﹣（t﹣4）2+24，
∴当t=4时，S有最大值，最大值为24．