备战中考初中数学导练学案50讲—第33讲投影与视图（讲练版）

备战中考初中数学导练学案50讲

第33讲   投影与视图

【疑难点拨】

1. 判断(画)几何体的三视图：掌握从不同方向看物体的方法和画几何体三视图的要求，通过仔细观察、比较、分析，可选出正确答案

2. 立体图形的展开与折叠常见几何体的展开与折叠：①棱柱的平面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的平面展开图，特别关注正方体的表面展开图；②圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形组成的；③圆锥的平面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的．

3. 画“三视图”原则：(1)正视图和俯视图要长对正；正视图和左视图要高平齐；左视图和俯视图要宽相等；(2)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．

4. 几何体的综合运用：由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问题的关键．这类题是中考热点题型，平时学习中也要注意平面图形和空间图形的转化．

【基础篇】

一、选择题：

1. （2018•江西•3分）如图所示的几何体的左视图为

                    A          B      C           D

2. （2018•北京•2分） 下列几何体中，是圆柱的为

A．  B． C．  D．

3. （2018•江苏扬州•3分）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

4. （2018·湖北省宜昌·3分）如图，是由四个相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

5. （2018年江苏省泰州市•3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（　　）

A． B． C． D．

正方体            四棱锥             圆柱                球

二、填空题：

6. （2018·辽宁大连·3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是      .

7. （2018•青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有　 　种．

8. （2018•齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为   　cm．

三、解答与计算题：

9. 由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的俯视图，如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方形的个数，请画出该几何体的主视图和左视图．

10. 如图所示，观察左图，并在右边的三视图中标出几何体中的相应字母的位置．

【能力篇】

一、选择题：

11. （2018·湖北省武汉·3分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

12. （2018·湖南省常德·3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．

13. （2018·山东临沂·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（　　）

A．12cm2 B．（12+π）cm2 C．6πcm2 D．8πcm2

二、填空题：

14. （2018·山东青岛·3分）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有　  　种．

15. （2018·湖北省孝感·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为　   　cm2．

三、解答与计算题：

16. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在点D处的影长DE＝3米，他沿BD方向行走到点G，DG＝5米，这时他的影长GH＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．

17. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3 m，同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m.

(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；

(2)请你计算DE的长．

18. 一个几何体的三视图如图所示(单位：mm)，你能画出这个几何体的图形吗？并求出其表面积和体积．

【探究篇】

19. 如图，在一座大厦(图中BC所示)前面30m的地面上，有一盏地灯A照射大厦，身高为1.6m的小亮(图中EF所示)站在大厦和灯之间，若小亮从现在所处位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有5m的D处时停下．

(1)请在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦BC上的影子；

(2)请你求出此时小亮的影长．

20. 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长(结果精确到0.01米)．

第33讲   投影与视图

【疑难点拨】

1. 判断(画)几何体的三视图：掌握从不同方向看物体的方法和画几何体三视图的要求，通过仔细观察、比较、分析，可选出正确答案

2. 立体图形的展开与折叠常见几何体的展开与折叠：①棱柱的平面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的平面展开图，特别关注正方体的表面展开图；②圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形组成的；③圆锥的平面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的．

3. 画“三视图”原则：(1)正视图和俯视图要长对正；正视图和左视图要高平齐；左视图和俯视图要宽相等；(2)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．

4. 几何体的综合运用：由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问题的关键．这类题是中考热点题型，平时学习中也要注意平面图形和空间图形的转化．

【基础篇】

一、选择题：

1. （2018•江西•3分）如图所示的几何体的左视图为

                    A          B      C           D

【解析】  本题考察三视图，容易，但注意错误的选项B和C.

2. （2018•北京•2分） 下列几何体中，是圆柱的为

A．  B． C．  D．

【答案】A

【解析】A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为四棱柱，D选项为四棱锥．

【考点】立体图形的认识

3. （2018•江苏扬州•3分）如图所示的几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，

故选：B．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

4. （2018·湖北省宜昌·3分）如图，是由四个相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（　　）

A．         B．       C.D．

【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．

【解答】解：该几何体的主视图为：；左视图为；俯视图为；

故选：C．

【点评】此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．

5. （2018年江苏省泰州市•3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（　　）

A． B． C． D．

正方体            四棱锥             圆柱                球

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．

【解答】解：四棱锥的主视图与俯视图不同．

故选：B．

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．

二、填空题：

6. （2018·辽宁大连·3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是      .

解：由三视图知这个几何体是三棱柱． C．

7. （2018•青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有　10　种．

【分析】先根据主视图确定每一列最大分别为4，2，3，再根据左视确定每一行最大分别为4，3，2，总和要保证为16，还要保证俯视图有9个位置．

【解答】解：设俯视图有9个位置分别为：

由主视图和左视图知：①第1个位置一定是4，第6个位置一定是3；

②一定有2个2，其余有5个1；

③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2；

根据2的排列不同，这个几何体的搭法共有10种：如下图所示：

故答案为：10．

8. （2018•齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为　4　cm．

【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可．

【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，

由题意可得出：EQ=AB，

∵EF=8cm，∠EFG=45°，

∴EQ=AB=×8=4（cm）．

故答案为：4．

三、解答与计算题：

9. 由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的俯视图，如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方形的个数，请画出该几何体的主视图和左视图．

解：如图所示：
 

10. 如图所示，观察左图，并在右边的三视图中标出几何体中的相应字母的位置．

解：根据题意如图：
 

【能力篇】

一、选择题：

11. （2018·湖北省武汉·3分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．

【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．

所以图中的小正方体最多5块．

故选：C．

【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，

12. （2018·湖南省常德·3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，

故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

13. （2018·山东临沂·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（　　）

A．12cm2 B．（12+π）cm2 C．6πcm2 D．8πcm2

【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．

【解答】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2÷2=1cm，高是3cm．

所以该几何体的侧面积为2π×1×3=6π（cm2）．

故选：C．

【点评】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．

二、填空题：

14. （2018·山东青岛·3分）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有　4　种．

【分析】先根据主视图确定每一列最大分别为4，2，3，再根据左视确定每一行最大分别为4，3，2，总和要保证为16，还要保证俯视图有9个位置．

【解答】解：这个几何体的搭法共有4种：如下图所示：

故答案为：4．

【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的主视图、左视图及小立方块的个数，可知俯视图的列数和行数中的最大数字．

15. （2018·湖北省孝感·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为　16π　cm2．

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．

【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；

根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，

故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）．

故答案为：16π．

【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

三、解答与计算题：

16. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在点D处的影长DE＝3米，他沿BD方向行走到点G，DG＝5米，这时他的影长GH＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．

解：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，

∴＝，即＝①.

∵FG∥AB，∴△HFG∽△HAB，

∴＝，即＝②.

由①②得＝，

解得BD＝7.5，∴＝，解得AB＝7.

答：路灯杆AB的高度为7 m.

17. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3 m，同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m.

(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；

(2)请你计算DE的长．

 [解析] (1)根据平行投影的性质可先连接AC，再过点D作DF∥AC交地面于点F，EF即为所求．

(2)根据平行线的性质可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例即可求出DE的长．

解：(1)DE在阳光下的投影是EF，如图所示．

(2)∵△ABC∽△DEF，AB＝5 m，BC＝3 m，EF＝6 m，

∴＝，即＝，解得DE＝10，

∴DE的长为10 m.

18. 一个几何体的三视图如图所示(单位：mm)，你能画出这个几何体的图形吗？并求出其表面积和体积．

解：该几何体如图所示．(4分)表面积为2×π×＋8π×10＋5×8－π××5＝(92π＋40)(mm2)；(8分)体积为π××10－π××5＝120π(mm3)．(12分)

【探究篇】

19. 如图，在一座大厦(图中BC所示)前面30m的地面上，有一盏地灯A照射大厦，身高为1.6m的小亮(图中EF所示)站在大厦和灯之间，若小亮从现在所处位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有5m的D处时停下．

(1)请在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦BC上的影子；

(2)请你求出此时小亮的影长．

解：(1)如图，DG为小亮的位置，BH为他在地灯照射下投在大厦BC上的影子；

(2)设此时小亮的影长BH为xm.依题意得GD⊥AB，CB⊥AB，

∴∠ADG＝∠ABH＝90°.

又∵∠DAG＝∠BAH，∴△ADG∽△ABH，∴＝.

由题意得AB＝30m，DG＝1.6m，BD＝5m，

∴AD＝AB－BD＝25m，

∴BH＝＝＝1.92(m)．

答：小亮此时的影长是1.92m.

20. 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长(结果精确到0.01米)．

解：∵AC⊥NQ，MN⊥NQ，∴∠CAD＝∠MND＝90°.

又∵∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND，

∴＝，∴＝，∴MN＝9.6米．

∵BE⊥NQ，∴∠EBF＝∠MNF＝90°.又∵∠EFB＝∠MFN，

∴△EFB∽△MFN，∴＝，

∴＝，

∴BE≈1.75米．

答：小军身高BE的长约为1.75米．