高考复习《导数的应用一》课时作业3.2 第三课时

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1．(2020·天津调研)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于( )
A．－2或2 B．－9或3
C．－1或1 D．－3或1
A ∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.
则当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.
2．若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
D ∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－eq \f(1,2x).
令f(x)＝x－eq \f(1,2x)，∴f′(x)＝1＋2－xln 2＞0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴实数a的取值范围为(－1，＋∞)．
3．(2020·成都诊断)已知a∈R，设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2ax＋2a，x≤1，,x－aln x，x>1.))若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为( )
A．[0，1] B．[0，2]
C．[0，e] D．[1，e]
C 当x≤1时，由f(x)＝x2－2ax＋2a≥0恒成立，且f(x)关于x＝a对称．
所以当a≥1时，f(x)min＝f(1)＝1>0恒成立，
当ax2－2x对任意x∈(0，2)恒成立，从而k≥0，
因此由原不等式，得k0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)2(x－1)对∀x∈(1，2)恒成立．
解 (1)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(x－a,x2).
①a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
②a>0时，f(x)在(a，＋∞)上为增函数，在(0，a) 上为减函数．
(2)证明：法一：∵x∈(1，2)，∴x＋1>0，
∴要证原不等式成立，即证ln x>eq \f(2（x－1）,x＋1)对∀x∈(1，2)恒成立，令g(x)＝ln x－eq \f(2（x－1）,x＋1)，
g′(x)＝eq \f(（x－1）2,（x＋1）2)≥0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴当x∈(1，2)时，g(x)>g(1)＝ln 1－eq \f(2（1－1）,1＋1)＝0，
∴ln x>eq \f(2（x－1）,x＋1)对∀x∈(1，2)恒成立，
∴(x＋1)ln x>2(x－1)对∀x∈(1，2)恒成立．
法二：令F(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)，
F′(x)＝ln x＋eq \f(x＋1,x)－2＝ln x－eq \f(x－1,x).
令φ(x)＝ln x－eq \f(x－1,x)，由(1)知a＝1时，
φ(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
∵x∈(1，2)，则φ(x)在(1，2)为增函数，φ(x)>φ(1)＝0，
即x∈(1，2)，F′(x)>0，∴F(x)在(1，2)上为增函数，
∴F(x)>F(1)＝0，
∴(x＋1)ln x>2(x－1)对∀x∈(1，2)恒成立．
[技能过关提升]
13．(2020·中山一中测试)已知a，b∈R，直线y＝ax＋b＋eq \f(π,2)与函数f(x)＝tan x的图象在x＝－eq \f(π,4)处相切，设g(x)＝ex＋bx2＋a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g(x)≤m2－2恒成立，则实数m有( )
A．最大值e B．最大值e＋1
C．最小值－e D．最小值e
B 由f′(x)＝eq \f(1,cs2x)，可得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝2，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－1，所以直线y＝ax＋b＋eq \f(π,2)与函数f(x)＝tan x的图象的切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－1))，因此a＝2，b＝－1，g(x)＝ex－x2＋2，所以当x∈[1，2]时，g′(x)＝ex－2x>0，g(x)＝ex－x2＋2单调递增，所以g(x)min＝e＋1，g(x)max＝e2－2.所以e≤m≤e＋1或m≤－e.
14．(2020·全国名校联考)已知函数f(x)＝3ln x－eq \f(1,2)x2＋2x－3ln 3－eq \f(3,2)，则方程f(x)＝0的解的个数是________．
解析 因为f(x)＝3ln x－eq \f(1,2)x2＋2x－3ln 3－eq \f(3,2)，
所以f′(x)＝eq \f(3,x)－x＋2＝eq \f(－x2＋2x＋3,x)＝eq \f(（－x＋3）（x＋1）,x)，
当x∈(0，3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(3，＋∞)时，f′(x)