高考复习《直线与椭圆的位置关系》课时作业9.5 第二课时

这是一份高考复习《直线与椭圆的位置关系》课时作业9.5 第二课时，共10页。

1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数是( )
A．至多为1 B．2
C．1 D．0
B 由题意知，eq \f(4,\r(m2＋n2))>2，即eq \r(m2＋n2)<2，
∴点P(m，n)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的内部，故所求交点个数是2.
2．过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(5,4) D.eq \f(10,3)
B 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,y＝2x－2，)) 解得交点坐标为(0，－2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(4,3)))，
不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝eq \f(4,3)，
∴S△OAB＝eq \f(1,2)·|OF|·|yA－yB|
＝eq \f(1,2)×1×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－2－\f(4,3)))＝eq \f(5,3)，故选B.
3．(2020·南昌模拟)已知椭圆：eq \f(y2,9)＋x2＝1，过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0
B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆eq \f(y2,9)＋x2＝1上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,1),9)＋xeq \\al(2,1)＝1，,\f(yeq \\al(2,2),9)＋xeq \\al(2,2)＝1，))两式相减得eq \f(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2),9)＋xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＝0，得eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,9)＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得eq \f(y1－y2,9)＋x1－x2＝0，得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－eq \f(1,2)＝－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即9x＋y－5＝0.
4．(2020·皖北名校联考)斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A.eq \f(4\r(5),5) B.eq \f(4\r(10),5)
C.eq \f(8\r(10),5) D.eq \f(8\r(5),5)
B 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线的方程为y＝x＋m，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(8m,5)，x1x2＝eq \f(4（m2－1）,5).
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)m))\s\up12(2)－\f(16（m2－1）,5))
＝eq \f(4\r(2),5)·eq \r(5－m2)，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值eq \f(4\r(10),5)，故选B.
5．从椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
C 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，
kOP＝－eq \f(y0,c)，kAB＝－eq \f(b,a)，由于OP∥AB，
∴－eq \f(y0,c)＝－eq \f(b,a)，y0＝eq \f(bc,a)，
把Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(bc,a)))代入椭圆方程得eq \f(（－c）2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)))\s\up12(2),b2)＝1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).故选C.
6．(2016·全国卷Ⅱ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
A 由题意知过点A的直线l的斜率存在
且不为0，故可设直线l的方程为y＝k(x＋a)，当x＝－c时，y＝k(a－c)，当x＝0时，y＝ka，所以M(－c，k(a－c))，E(0，ka)．如图，设OE的中点为N，则Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(ka,2)))，由于B，M，N三点共线，所以kBN＝kBM，即eq \f(\f(ka,2),－a)＝eq \f(k（a－c）,－c－a)，所以eq \f(1,2)＝eq \f(a－c,a＋c)，即a＝3c，所以e＝eq \f(1,3).故选A.
7．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
D ∵(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(F1O,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \(F1P,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，mn＝2，
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)mn＝1.
8．(2020·衡水调研)与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．
解析 因为所求椭圆与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－1)＝1(a>1)，联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3))⇒(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，
化简得a4－6a2＋5＝0，即a2＝5或a2＝1(舍)．
则a＝eq \r(5).又c＝1，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)
答案 eq \f(\r(5),5)
9．P为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是________．
解析 圆心C(1，0)为椭圆的右焦点，
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))
＝(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \(PC2,\s\up6(→))－eq \(CA2,\s\up6(→))＝|eq \(PC,\s\up6(→))|2－1，
显然|eq \(PC,\s\up6(→))|∈[a－c，a＋c]＝[2，4]，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝|eq \(PC,\s\up6(→))|2－1∈[3，15]．
答案 [3，15]
10．(2020·广东惠州三调)设A、B为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于A，B的点P，使得eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
解析 由题意知A(－a，0)，B(a，0)，设P(x，y)，则eq \(PO,\s\up6(→))＝(－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))(a－x，－y)，又eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，∴(a－x)(－x)＋y2＝0，得y2＝ax－x2>0，∴0设f(x)＝(b2－a2)x2＋a3x－a2b2，
∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，
∴只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,0<－\f(a3,2（b2－a2）)解得a2>2b2，
又b2＝a2－c2，∴eq \f(c2,a2)>eq \f(1,2)，又0∴eq \f(\r(2),2)答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
11.
如图，在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3)))，且BF2＝eq \r(2)，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c，0)，F2(c，0)．
(1)因为B(0，b)，所以BF2＝eq \r(b2＋c2)＝a.
又BF2＝eq \r(2)，故a＝eq \r(2).
因为点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3)))在椭圆上，
所以eq \f(\f(16,9),a2)＋eq \f(\f(1,9),b2)＝1，解得b2＝1.故所求椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)因为B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1.
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,c)＋\f(y,b)＝1，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝\f(2a2c,a2＋c2)，,y1＝\f(b（c2－a2）,a2＋c2)，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝0，,y2＝b.))
所以点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2c,a2＋c2)，\f(b（c2－a2）,a2＋c2))).
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2c,a2＋c2)，\f(b（a2－c2）,a2＋c2))).
因为直线F1C的斜率为eq \f(\f(b（a2－c2）,a2＋c2)－0,\f(2a2c,a2＋c2)－（－c）)＝eq \f(b（a2－c2）,3a2c＋c3)，直线AB的斜率为－eq \f(b,c)，且F1C⊥AB，所以eq \f(b（a2－c2）,3a2c＋c3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,c)))＝－1.结合b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝eq \f(1,5).因此e＝eq \f(\r(5),5).
12．(2020·北京东城区模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为eq \f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB的面积的最大值．
解 (1)因为e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，所以a2＝4b2.
又椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2，1)，
所以eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1.所以a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)设l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1))消去y整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
又直线l与椭圆相交，所以Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.
则|AB|＝eq \r(1＋\f(1,4))×eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(5（4－m2）).
点P到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r(1＋\f(1,4)))＝eq \f(2|m|,\r(5)).
所以S△PAB＝eq \f(1,2)d|AB|＝eq \f(1,2)×eq \f(2|m|,\r(5))×eq \r(5（4－m2）)＝eq \r(m2（4－m2）)≤eq \f(m2＋4－m2,2)＝2.
当且仅当m2＝2，即m＝±eq \r(2)时，△PAB的面积取得最大值为2.
[技能过关提升]
13．(2020·江西五校联考)平行四边形ABCD内接于椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1，直线AB的斜率k1＝2，则直线AD的斜率k2等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,4) D．－2
C 设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GO∥AD.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),8)＋\f(yeq \\al(2,1),4)＝1，,\f(xeq \\al(2,2),8)＋\f(yeq \\al(2,2),4)＝1))
两式相减得
eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,8)＝－eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,4)，
整理得eq \f(x1＋x2,2（y1＋y2）)＝－eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－k1＝－2，
即eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq \f(1,4).又Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，
所以kOG＝eq \f(\f(y1＋y2,2)－0,\f(x1＋x2,2)－0)＝－eq \f(1,4)，即k2＝－eq \f(1,4)，故选C.
14．(2019·宣城二模改编)已知F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第二象限内的点，延长PF1交椭圆于点Q，若PF2⊥PQ，且|PF2|＝|PQ|，则椭圆的离心率为________．
解析 连接F2Q，由已知PF2⊥PQ，且|PF2|＝|PQ|，得△F2PQ是等腰直角三角形，设|PF2|＝m，|QF2|＝n，由椭圆的定义得|PF1|＝2a－m，|QF1|＝2a－n，则有2a－m＋2a－n＝m，且n＝eq \r(2)m，∴m＝2(2－eq \r(2))a.
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得，m2＋(2a－m)2＝4c2，即[2(2－eq \r(2))a]2＋[2a－2(2－eq \r(2))a]2＝4c2，
∴4(6－4eq \r(2))a2＋(12－8eq \r(2))a2＝4c2，即(9－6eq \r(2))a2＝c2，
从而e2＝eq \f(c2,a2)＝9－6eq \r(2)，又知0答案 eq \r(6)－eq \r(3)
15．(2020·安庆模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)短轴的端点为P(0，b)，Q(0，－b)，长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的斜率之积等于－eq \f(1,4)，则点P到直线QM的距离为________．
解析 设A(x0，y0)，则B点坐标为(－x0，－y0)，
则eq \f(y0－b,x0)·eq \f(y0－b,－x0)＝－eq \f(1,4)，即eq \f(yeq \\al(2,0)－b2,xeq \\al(2,0))＝－eq \f(1,4)，
由于eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1，则eq \f(yeq \\al(2,0)－b2,xeq \\al(2,0))＝－eq \f(b2,a2)，
故－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，不妨取M(a，0)，则直线QM的方程为bx－ay－ab＝0，则点P到直线QM的距离为
d＝eq \f(|2ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(2·b,\r(1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2)))＝eq \f(4\r(5),5)b.
答案 eq \f(4\r(5),5)b
16．(2020·湖南六校联考)过椭圆eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)上的动点M作圆x2＋y2＝eq \f(b2,2)的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，则△EOF面积的最小值是________．
解析 设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线MP和MQ的方程分别为x1x＋y1y＝eq \f(b2,2)，x2x＋y2y＝eq \f(b2,2).因为点M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y1y0＝eq \f(b2,2)，x2x0＋y2y0＝eq \f(b2,2)，则P，Q两点的坐标满足方程x0x＋y0y＝eq \f(b2,2)，所以直线PQ的方程为x0x＋y0y＝eq \f(b2,2)，可得Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,2x0)，0))和Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(b2,2y0)))，
所以S△EOF＝eq \f(1,2)·|OE||OF|＝eq \f(b4,8|x0y0|)，
因为b2yeq \\al(2,0)＋a2xeq \\al(2,0)＝a2b2，b2yeq \\al(2,0)＋a2xeq \\al(2,0)≥2ab|x0y0|，
所以|x0y0|≤eq \f(ab,2)，所以S△EOF＝eq \f(b4,8|x0y0|)≥eq \f(b3,4a)，
当且仅当b2yeq \\al(2,0)＝a2xeq \\al(2,0)＝eq \f(a2b2,2)时取“＝”，
故△EOF面积的最小值为eq \f(b3,4a).
答案 eq \f(b3,4a)