高考复习《直线参数方程》课时作业14.1 第二课时

这是一份高考复习《直线参数方程》课时作业14.1 第二课时，共8页。

1．(2020·保定模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2eq \r(3)sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
解 (1)由ρ＝2eq \r(3)sin θ，得ρ2＝2eq \r(3)ρsin θ，
所以x2＋y2＝2eq \r(3)y，
所以⊙C的直角坐标方程为x2＋(y－eq \r(3))2＝3.
(2)设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(1,2)t，\f(\r(3),2)t))，又C(0，eq \r(3))，
则|PC|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(1,2)t))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)t－\r(3)))\s\up12(2))＝eq \r(t2＋12)，
故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为(3，0)．
2．(2020·湖南雅礼中学、河南省实验中学联考)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α(α为常数)的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cs θ.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与C交于A、B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
解 (1)∵倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，
∴直线l的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2＋tcs α，,y＝－4＋tsin α))(t是参数)．
∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cs θ，
∴曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，
得t2sin2α－(2cs α＋8sin α)t＋20＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
∴t1t2＝eq \f(20,sin2α)，
根据直线参数方程中参数的几何意义，
得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝eq \f(20,sin2α)＝40，
又α∈[0，π)，故α＝eq \f(π,4)或α＝eq \f(3π,4)，
又∵Δ＝(2cs α＋8sin α)2－80sin2α＞0，∴α＝eq \f(π,4).
3．在直角坐标系xOy中，直线l过点P(0，1)且斜率为1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋2cs θ.
(1)求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C的交点为A、B，求|PA|＋|PB|的值．
解 (1)直线l的普通方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)
∵ρ＝2sin θ＋2cs θ，
∴曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)将直线的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)代入曲线方程(x－1)2＋(y－2)2＝2
得t2－eq \r(2)t－1＝0
∴t1＋t2＝eq \r(2)，t1·t2＝－1<0
∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|
＝eq \r(（t1＋t2）2－4t1t2)＝eq \r(6).
4．(2020·贵阳质检)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝kt))(t为参数)，直线l2的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2＋m，,y＝\f(m,k)))(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cs θ＋sin θ)－eq \r(2)＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
解 (1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝eq \f(1,k)(x＋2)．
设P(x，y)，由题设得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－2），,y＝\f(1,k)（x＋2），))
消去k得x2－y2＝4(y≠0)，
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cs2θ－sin2θ)
＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ2（cs2θ－sin2θ）＝4，,ρ（cs θ＋sin θ）－\r(2)＝0，))
得cs θ－sin θ＝2(cs θ＋sin θ)．
故tan θ＝－eq \f(1,3)，从而cs2θ＝eq \f(9,10)，sin2θ＝eq \f(1,10).
代入ρ2(cs2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
所以交点M的极径为eq \r(5).
5．已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1－\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6))).
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))的公共点，求eq \r(3)x＋y的取值范围．
解 (1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))，
所以ρ2＝4ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝4ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin θ－\f(1,2)cs θ)).
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2eq \r(3)y－2x，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2eq \r(3)y＝0.
(2)设z＝eq \r(3)x＋y，
由圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2eq \r(3)y＝0，
得(x＋1)2＋(y－eq \r(3))2＝4，
所以圆C的圆心是(－1，eq \r(3))，半径是2.
将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1－\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))代入到z＝eq \r(3)x＋y，得z＝－t.
又直线l过C(－1，eq \r(3))，圆C的半径是2，
所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，
即eq \r(3)x＋y的取值范围是[－2，2]．
6．(2020·闽粤赣三省十校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝3eq \r(2).
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若M是曲线C1上的一点，N是曲线C2上的一点，求|MN|的最小值．
解 (1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ，,y＝3sin θ))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs θ＝\f(x,4)，①,sin θ＝\f(y,3)，②))
①2＋②2得cs2θ＋sin2θ＝eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)，
所以曲线C1的普通方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，
曲线C2的极坐标方程ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝3eq \r(2)，
即ρsin θ＋ρcs θ－6＝0，
所以曲线C2的直角坐标方程为x＋y－6＝0.
(2)结合题意得，|MN|的最小值是椭圆上动点M到直线x＋y－6＝0的距离的最小值．
设点M(4cs θ，3sin θ)，M到直线的距离为h.
则h＝eq \f(|4cs θ＋3sin θ－6|,\r(2))＝eq \f(|5sin （θ＋φ）－6|,\r(2))，
当sin (θ＋φ)＝1时，Hmin＝eq \f(\r(2),2)，
所以|MN|的最小值是eq \f(\r(2),2).
[技能过关提升]
7．(2020·洛阳模拟)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4eq \r(2)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))).现以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2＋\f(1,2)t，,y＝－3＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(－2，－3)，求|PA|·|PB|的值．
解 (1)因为ρ＝4eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝4sin θ＋4cs θ，
所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcs θ，
所以x2＋y2－4x－4y＝0，
即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8；
直线l的普通方程为eq \r(3)x－y＋2eq \r(3)－3＝0.
(2)把直线l的参数方程代入到圆C：
x2＋y2－4x－4y＝0中，得t2－(4＋5eq \r(3))t＋33＝0，
t1，2＝eq \f(4＋5\r(3)±\r(40\r(3)－41),2)，则t1t2＝33.
点P(－2，－3)显然在直线l上．
由直线标准参数方程下t的几何意义知，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝33，所以|PA|·|PB|＝33.
8．(2020·福建福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcsθ－eq \f(π,6)＝2.已知点Q是曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|·|OP|＝4，动点P的轨迹是C2.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为2，eq \f(π,3)，点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值．
解 (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，Q的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)，
则|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝eq \f(2,csθ－\f(π,6))，
由|OQ|·|OP|＝4得C2的极坐标方程为
ρ＝2csθ－eq \f(π,6)(ρ＞0)，
所以ρ＝eq \r(3)cs θ＋sin θ，
两边乘ρ得ρ2＝eq \r(3)ρcs θ＋ρsin θ，
因为ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x，ρsin θ＝y，
所以x2＋y2－eq \r(3)x－y＝0，
所以C2的直角坐标方程为
x－eq \f(\r(3),2)2＋y－eq \f(1,2)2＝1(x2＋y2≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，
由题设及(1)知|OA|＝2，ρB＝2csα－eq \f(π,6)，
于是△AOB的面积S＝eq \f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB
＝2csα－eq \f(π,6)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sinα－\f(π,3)))
＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs α＋\f(1,2)sin α))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α－\f(\r(3),2)cs α))))
＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin2α－\f(3,4)))≤eq \f(3,2)，
当α＝0时，S取得最大值eq \f(3,2).
所以△AOB面积的最大值为eq \f(3,2).
9．(2020·郑州联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cs θ－sin θ)＝1.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程；
(2)已知直线l与y轴交于点M，且与曲线C交于A，B两点，求eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,|MA|)－\f(1,|MB|)))的值．
解 (1)将直线l的极坐标方程ρ(cs θ－sin θ)＝1化为直角坐标方程为x－y－1＝0.
将曲线C的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)化为普通方程为x2＋y2＝9.
(2)由(1)知点M(0，－1)，
故直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝－1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，
代入圆的方程为t2－eq \r(2)t－8＝0，设A，B对应的参数为t1和t2，所以t1＋t2＝eq \r(2)，t1·t2＝－8.
故eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,|MA|)－\f(1,|MB|)))＝eq \f(|t1＋t2,，|t1t2|)＝eq \f(\r(2),8).
10．已知曲线C的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝\r(3)sin φ))(φ为参数，a>0)，直线l的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3＋t，,y＝－1－t))(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的普通方程；
(2)若点A(ρ1，θ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ＋\f(2π,3)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ3，θ＋\f(4π,3)))在曲线C上，求eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＋eq \f(1,|OC|2)的值．
解 (1)直线l的普通方程为x＋y＝2，与x轴的交点为(2，0)．又曲线C的普通方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1，
所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)因为点A(ρ1，θ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ＋\f(2π,3)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ3，θ＋\f(4π,3)))在曲线C上，即点A(ρ1cs θ，ρ1sin θ)，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))，ρ2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))))，
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ3cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(4π,3)))，ρ3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(4π,3)))))在曲线C上，
故eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＋eq \f(1,|OC|2)＝eq \f(1,ρeq \\al(2,1))＋eq \f(1,ρeq \\al(2,2))＋eq \f(1,ρeq \\al(2,3))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs2θ＋cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))＋cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(4π,3)))))＋
eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin2θ＋sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))＋sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(4π,3)))))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1＋cs 2θ,2)＋\f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(4π,3))),2)＋\f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(8π,3))),2)))＋