高考复习《椭圆的定义》课时作业9.5 第一课时

这是一份高考复习《椭圆的定义》课时作业9.5 第一课时，共9页。
1．(2019·张家口调研)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1的焦点坐标为( )
A．(±3，0) B．(0，±3)
C．(±9，0) D．(0，±9)
B 根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3)．
2．(2020·开封模拟)曲线C1：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线C2：eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k0，,m＋3>0，,5－m≠m＋3，))
解得－30)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，
∴|AB|＝|BF1|＝eq \f(3,2)|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，
∴点A是椭圆的短轴端点，如图．
不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(b,2))).由点B在椭圆上，得eq \f(\f(9,4),a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.故选B.
6．(2020·昆明调研)2018年1月14日
，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③eq \f(c1,a1)a1c2.
其中正确式子的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
D 观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，eq \f(a1－c1,c1)eq \f(c2,a2)，即④式正确，③式不正确．故选D.
7．(2019·全国Ⅲ卷)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析 设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．
因为点M在椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1上，
所以联立方程可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋4）2＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝±\r(15).))
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，eq \r(15))．
答案 (3，eq \r(15))
8．设F2，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0b>0)，
依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝10，,c＝3，))因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|yP|×2c＝eq \f(1,2)×4×6＝12.
12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解 椭圆方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1，m>0.
∵m－eq \f(m,m＋3)＝eq \f(m（m＋2）,m＋3)>0，∴m>eq \f(m,m＋3)，
∴a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3)，c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(\f(m（m＋2）,m＋3)).
由e＝eq \f(\r(3),2)，得 eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1，
∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2).
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))，四个顶点的坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，B2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
[技能过关提升]
13．(2020·湖北重点中学联考)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1，内切圆的半径为( )
A.eq \f(4,3) B．1
C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
D 不防设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，可得A点纵坐标为eq \f(3,2)，故|AB|＝3，所以内切圆半径r＝eq \f(2S,C)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)．故选D.
14．设F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点，椭圆C上存在一点P使得|PF1|－|PF2|＝b，|PF1|·|PF2|＝eq \f(15,8)ab，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)
C 由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，及公式(x＋y)2－(x－y)2＝4xy，可得a与b的关系，进一步可求得离心率e.
由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，结合|PF1|－|PF2|＝b，|PF1|·|PF2|＝eq \f(15,8)ab，可得
4a2－b2＝eq \f(15,2)ab，8a2－15ab－2b2＝0，即(8a＋b)(a－2b)＝0解得a＝－eq \f(b,8)(舍)或a＝2b，所以离心率e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2))))＝eq \f(\r(3),2)，选C.
15．(2020·石家庄模拟)已知椭圆eq \f(x2,tan α)＋eq \f(y2,tan2α＋1)＝1，其中α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则椭圆形状最圆时的焦距为________．
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以tan α>0，且tan αb>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋eq \r(2)，|PF2|＝2－eq \r(2)，求椭圆的标准方程；
(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且eq \f(3,4)≤λ