2022年中考数学三轮复习：矩形的性质

这是一份2022年中考数学三轮复习：矩形的性质，共21页。

A．2.2cmB．2.3cmC．2.4cmD．2.5cm
2．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（ ）
A．1B．C．2D．4
4．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10B．12C．16D．18
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（ ）
A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）
6．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为（ ）
A．5B．4C．D．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为（ ）
A．1B．2C．D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（ ）
A．B．4C．4.5D．5
10．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
二．填空题（共8小题）
11．如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 ．
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F、G分别在BC、AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，则EF的长为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝ cm．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝ ．
16．已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 ．
18．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 ．
三．解答题（共3小题）
19．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
20．如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．
（1）求证：四边形BFED是平行四边形；
（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．
21．如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
2022年中考数学三轮复习：矩形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（ ）
A．2.2cmB．2.3cmC．2.4cmD．2.5cm
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），
∴BD＝10cm，DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝2.5cm，
故选：D．
2．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得，
GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴，
∵，
∴，
∵BC＝3，
∴GB＝，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝＝，
∴tanα的值为，
故选：A．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（ ）
A．1B．C．2D．4
【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴，＝
∵G、H分别是AC的三等分点
∴，＝
∴
∴EG∥BC
∴，且BC＝6
∴EG＝2，
同理可得HF∥AD，HF＝2
∴四边形EHFG为平行四边形，且EG和HF间距离为1
∴S四边形EHFG＝2×1＝2，
故选：C．
4．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10B．12C．16D．18
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（ ）
A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）
【解答】解：方法一：
过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，
由题意可得：∠C1NO＝∠A1MO＝90°，
∠1＝∠2＝∠3，
则△A1OM∽△OC1N，
∵OA＝5，OC＝3，
∴OA1＝5，A1M＝3，
∴OM＝4，
∴设NO＝3x，则NC1＝4x，OC1＝3，
则（3x）2+（4x）2＝9，
解得：x＝±（负数舍去），
则NO＝，NC1＝，
故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．
故选：A．
方法二：
设旋转角为α，
过C1作C1P⊥y轴于P，过A1作A1Q⊥x轴于Q，
由题意知：|A1Q|＝3，|A1O|＝5，
∴|OQ|＝4，
∴sinα＝，csα＝，
又|OC1|＝3，
∴|PC1|＝|OC1|•sinα＝，
|OP|＝|OC1|•csα＝，
∴C1（﹣，），
故选：A．
6．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为（ ）
A．5B．4C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM＝3，
∴DC＝6，
∵AD＝BC＝10，
∴AC＝＝2，
∵∠ABC＝90°，AO＝CO，
∴BO＝AC＝，
故选：D．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为（ ）
A．1B．2C．D．
【解答】解：∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，
∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，
∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°，
∴OF＝CF，
又∵Rt△BOF中，BO＝BD＝AC＝，
∴OF＝tan30°×BO＝1，
∴CF＝1，
故选：A．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∠D＝90°，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝，
∵S△ABE＝S矩形ABCD＝3＝•AE•BF，
∴BF＝．
故选：B．
9．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（ ）
A．B．4C．4.5D．5
【解答】解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，
∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，
∴AD＝BC＝6，C′D＝3．
在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，
∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32，
解得：x＝5．
故选：D．
10．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【解答】解：过点D作DE∥a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，
∵a∥b，
∴DE∥a∥b，
∴∠4＝∠3＝30°，∠2＝∠5，
∴∠2＝90°﹣30°＝60°．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 +1 ．
【解答】解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，
∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，
∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，
∵点H是AD的中点，
∴AH＝DH＝1，
∴CH＝＝＝，
∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，
∴OH＝AD＝1，
在△OCH中，CO＜OH+CH，
当点H在OC上时，CO＝OH+CH，
∴CO的最大值为OH+CH＝+1，
故答案为：+1．
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F、G分别在BC、AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，则EF的长为 ．
【解答】解：∵DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
∴AB＝，
∴AD+BE＝AB﹣DE＝，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ADG和△BEF中，
，
∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD＝BE＝，
在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，
即，
解得：x＝或﹣（舍），
∴EF＝，
故答案为：．
13．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝ 6 cm．
【解答】解：∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，EF＝4cm，
∴AD＝2EF＝8cm，
∵∠EAD＝30°，
∴AE＝AD•cs30°＝8×＝4cm，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠BEA＝∠EAD＝30°，
在Rt△ABE中，
BE＝AE•cs∠BEA＝4×cs30°＝4×＝6（cm），
故答案为：6．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，
又∵BC＝2AF，
∵AF＝BE，
在Rt△AFO和Rt△BEO中，
，
∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），
∴∠AOF＝∠BOE，
∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，
又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE＝60°，
∵OB＝OD＝6，
∴BE＝OB•sin60°＝6×＝3，
故答案为：3．
15．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝ ．
【解答】解：∵点E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEG中，
，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF＝EG，AF＝DG＝，
∵CE⊥EF，
∴CF＝CG＝5，
∵∠G＝∠G，∠EDG＝∠CEG＝90°，
∴△EDG∽△CEG，
∴，
∴EG2＝DG•CG＝，
∴EG＝＝EF，
故答案为．
16．已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是 或 ．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，
∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E'在AB上时，
∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2，
∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4，
∴AE'＝，
∴DE'＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
故答案为：或．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 ．
【解答】解：∵当点P从点A运动到点D时，PQ＝PA，
∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，
∵矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠Q＝90°．
∴∠ADB＝∠DBC＝∠ODB＝∠OBQ＝30°，
∴∠ABQ＝120°，
由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，S△ABD＝S△BQD，
∴S阴影部分＝S四边形ABQD﹣S扇形ABQ＝2S△ABD﹣S扇形ABQ，
＝S矩形ABCD﹣S扇形ABQ＝1×﹣．
故答案为：﹣．
18．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 （0，） ．
【解答】解：过D作DE⊥AC于E，
∵四边形ABCO是矩形，B（4，3），
∴OC＝AB＝3，OA＝BC＝4，∠COA＝90°，
∵AD平分∠OAC，
∴OD＝DE，
由勾股定理得：OA2＝AD2﹣OD2，AE2＝AD2﹣DE2，
∴OA＝AE＝4，
由勾股定理得：AC＝＝5，
在Rt△DEC中，DE2+EC2＝CD2，
即OD2+（5﹣4）2＝（3﹣OD）2，
解得：OD＝，
所以D的坐标为（0，），
故答案为：（0，）．
三．解答题（共3小题）
19．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
20．如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．
（1）求证：四边形BFED是平行四边形；
（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
又∵DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DB∥EF，
∴∠ABD＝∠F，
∴tan∠ABD＝tanF＝，
∴，
又∵BF＝2，
∴BG＝．
21．如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC、AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，
∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠BDC，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴BE∥DF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠EDB＝90°﹣∠ABD＝30°，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，
∴EB＝ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形.