七年级上册认识三角形学案

一．教学目标

1．进一步认识三角形的概念及基本要素，会用字母表示三角形

2．了解三角形的分类，理解三角形的性质

3.了解三角形的角平分线,中线,高的定义,会作出三角形的角平分线,中线,高。

二．知识梳理

1.三角形的定义:

__________________________________________________________________________称为三角形.

2.小组合作并归纳三角形的基本元素：

         顶点：    用大写字母表示.例如：A ， B，  C

归纳：  （内）角      用一个大写字母或三个大写字母表示.

  例如：∠A,∠ABC

              边      用两个大写字母或一个小写字母表示.

  例如：BC ， a

注意：在表示的时候要注意角与边的对应.

∠A←→a边（BC）  ∠B←→b边（AC）  ∠C←→c边（AB）

以A、B、C为顶点的三角形可以表示为△ABC，或△ACB或△BAC.

3.三角形的分类

（1）按角分：三角形

（2）按边分：三角形

3.从长度分别为3cm、4cm、5cm、6cm和9cm的小木棒中任意取3根，能否搭成一个三角形？请试一试.

通过上面操作，你发现三角形三边之间有怎样的关系？

 _____________________________________________________________

4. 如何根据基本事实“两点之间线段最短”，说明三角形三边之间的关系？

结论：三角形的任意两边之和大于第三边.

5.三角形的高

（1）操作：过点A做BC的垂线，垂足为D线，垂足为D，

我们就将线段AD称为△ABC的高

（2）定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点与垂足之间的线段称为三角形的高

注：1）三角形的高必为线段 

2）三角形的高必过顶点垂直于对边

    3）三角形有三条高

为了将这三条高加以区别，我们把AD称为BC边上的高

6.三角形的角平分线

（1）操作：△ABC，作∠A的平分线AD交BC与点E，线段AE就称为△ABC的角平分线

（2） 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段称为三角形的角平分线

注：(1）三角形的角平分线必为线段，而一个角的角平分线为一条射线

     (2）三角形的角平分线必过顶点平分三角形的一内角

     如上所示，△ABC的角平分线AE平分∠A，即∠BAE=∠CAE=∠BAC

     (3）三角形有三条角平分线

为了将这三条角平分线加以区别，我们把AE称为∠BAC的角平分线

7.中线

（1）操作：如右所示，取BC的中点F，连结AF，那么线段AF就

称为△ABC的中线

（2）定义：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。如上所示，线段AF就是△ABC的中线

（3）注： 1）三角形的中线必为线段

          2）三角形的中线必平分对边

如上所示，线段AF是△ABC的中线， 必有：BF=CF=BC

         3）三角形有三条中线

三．典例精讲

例1.图中共有_______个三角形,把它们分别表示________________________________________

      并用量角器检验锐角三角形是___________________,直角三角形是__________________，

      钝角三角形是__________________________．

例2.下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形吗？

 3cm、  4cm、  5cm    （     ）   

  8cm、  7cm、 15cm   （     ）

 5cm、  5cm、 11cm     (     )

例3．已知三角形的两边长分别为5cm和2cm。

  （1）如果这个三角形的第三边是偶数，求它的第三边的长以及它的周长；

 （2）如果这个三角形的周长为偶数，求它的第三边的长以及它的周长；

（3）如果这个三角形的周长为奇数，求它的第三边的长以及它的周长。

例4.如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的角平分线，填空：

∵AF是△ABC的高，∴∠       =∠       =900；

∵AD 是△ABC的中线，∴       =       =       ；

∵AE是△ADC的角平分线，∴∠     =∠     =∠      .

例5.根据所给图形填空：

（1）在ΔABC中，BC边上的高是________.[来源:学&科&网]

（2）在ΔAEC中，AE边上的高是________.

（3）在ΔFEC中，EC边上的高是________.

四．课堂练习

1.下列线段中，不能构成三角形的是 （　）

（Ａ）２，４，５　（Ｂ）１８，９，８ （Ｃ）６，８，８　（Ｄ）７，１０，１５

２.以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是　　（　　）

（Ａ）1cm、2cm、3cm   （Ｂ）2cm、 2cm、 1cm

（Ｃ）1cm、3cm、1cm   （Ｄ）2cm、 2cm、 5cm

3.填空

（1）若等腰三角形的两边长分别是４，１０，则三角形的周长是___________

（2）等腰三角形的一边长为3㎝，另一边长是5㎝，则它的第三边长为             .

（3）一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是           cm.

4. 如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”，以这5个格点中的任意3点为顶点，一共可以画多少个三角形？其中，哪些是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形？哪些是等腰三角形？

5.已知等腰三角形的周长为14cm，底边与腰的比为3：2，求各边长。

6.下面说法错误的是    (　　)

A．三角形的三条角平分线交于一点   B．三角形的三条中线交于一点

C．三角形的三条高交于一点        D．三角形的三条高所在的直线交于一点

7.要求画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（    ）

8.在△ABC中，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、C、F、E，则_____是△ABC中BC边上的高，______是△ABC中AB边上的高，______是△ABC中AC边上的高，CF是△ABC的高，也是△_______、△_______、△_______、△_______的高．

9.是的边上的中线，已知=5cm，=3cm，求与的周长之差。

10..△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数。

11.△ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，那么∠D＝_____．

12.△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D，则∠BDC＝_____．

五．课后练习

一．选择题（共8小题）

1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）

A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm

C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm

2．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（　　）

A．6          B．3         C．2            D．11

3．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　）

A．5，5，10   B．4，5，6  C．4，4，4     D．3，4，5

4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　）

A．2           B．          C．            D．3

6．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．3            B．4          C．5            D．6

7．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）

A．           B． 

C．      D．

8．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（　　）

A．点M在AB上   B．点M在BC的中点处

C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远

D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远

二．填空题（共7小题）

9．各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有　　个．

10．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为　　．

11．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为　　（只需填一个整数）

12．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为　　．

13．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是　　．

14．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为　　．

15．由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）

（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是　　米．

（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是　　米．

三．解答题（共5小题）

16．如图，已知△ABC．

（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．

17．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；

①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；

②符合①要求的线段必须全部画出；

图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；

图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；

（1）当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为　　个；

（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？

（3）当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？

18．探索：

在如图1至图3中，△ABC的面积为a．

（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=　　（用含a的代数式表示）；

（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=　　（用含a的代数式表示），并写出理由；

（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=　　（用含a的代数式表示）．

发现：

像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的　　倍．

应用：

去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？

19．在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：

（1）4根火柴能搭成三角形吗？

（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．

20．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：

（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；

（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；

…

现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）

问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．

问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．

问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．

问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．