七年级上册7.5多边形的内角和与外角和学案

这是一份七年级上册7.5多边形的内角和与外角和学案，共6页。学案主要包含了典例精讲等内容，欢迎下载使用。

2.掌握多边形的内角和与外角和
3.经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，进一步发展学生说理能力和简单的推理能力
4.通过师生共同活动，的发散性思维，培养学生的创新精神
二．知识梳理
1.前面我们学过平行线的性质，两直线平行， 相等， 相等， 互补。
用平行的有关知识来说明三角形的内角和，
如右图，已知MN为平行于BC的一条直线，那么
∠MAB=∠ABC ∠NAC=∠ACB
∠ABC+∠BAC+∠ACB=∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°
可知三角形三个内角的和是 度。
认识多边形、正多边形、多边形的对角线、多边形的内角和外角。
①多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形（展示几种不规则多边形）
②正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（展示几种正多边形）
③多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线
④多边形的内角：在多边形的内部，多边形的一边与另一边组成的角
⑤多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
（根据图示进行讲解）
3.三角形的内角和是180°，你知道四边形的内角和吗？多边形的内角和如何计算呢？
问题1：计算长方形的内角和，梯形的呢？平行四边形的呢？方法是什么？
如上图，画一条对角线，将四边形分为两个三角形，由三角形内角和是180°，可得四边形内角和为2×180°＝360°
问题2：能否通过此方法计算五边形、六边形、七边形、……、n边形的内角和呢？你得出了什么？
多边形的内角和的探究：求下列多边形的内角和，并完成表格
(1)从四边形的一个顶点出发可以引______条对角线，把多边形分成______个三角形，四边形共有______条对角线．
(2)从五边形的一个顶点出发可以引______条对角线，把多边形分成______个三角形，五边形共有______条对角线．
(3)从六边形的一个顶点出发可以引______条对角线，把多边形分成______个三角形，六边形共有______条对角线．
(4)从七边形的一个顶点出发可以引______条对角线，把多边形分成______个三角形，七边形共有______条对角线．
(5)从n边形的一个顶点出发可以引______条对角线，将n边形分成______个三角形，共有______条对角线．
由此可知：n边形的内角和等于（ ）×180°（公式）
例1 求八边形的内角和?
解：（n-2）×180°＝（8－2）×180°＝1080°
例2 （1）一个多边形的内角和是是2340°，求它的边数?
（2）一个正多边形的一个内角是150°，你知道它是几边形吗？
解：（1）设多边形边数为n，
则有（n-2）×180°＝2340°
解得n＝15；
（2）因为正多边形各个内角都相等，设这个多边形为n边形，
则有（n-2）×180°＝150°×n，
解得n＝12，
即此多边形为十二边形
4.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。
多边形的外角：多边形的一边与另一边的延长线所组成的角。

如图，∠CBF即为五边形ABCDE的一个外角。
思考：三角形有多少个外角？四边形呢？五边形呢？n边形呢？
多边形每一顶点处有两个外角，这两个角是对顶角，n边形就有2n个外角。
多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
注：多边形的外角和并不是所有外角的和。
拿出一张纸，在上面画出三角形和四边形，并在每一顶点处分别画出它们的一个外角，然后依次剪下三角形的三个外角，让顶点重合把它们拼在一起，你发现了什么？四边形呢？你知道为什么吗？


由学生自己试着推导，有困难的可借助课本P32的内容，完成课本做一做的内容。
猜想：n边形的外角和？
结论：任意多边形的外角和是360°。
例题： （1）如图，∠ADC是_______的外角，∠AOC是___________的外角，
△AEC的外角是________．
（2）已知四边形的四个外角(每个顶点处分别取一个)的度数比为
（1）题图
1∶2∶3∶4，求该四边形各外角的度数．
三、典例精讲
（1）一个正多边形每个外角都是60°，求这个多边形的边数？
解：360°÷60°＝6，这是个正六边形。
一个正多边形每个内角都是135°，求这个多边形的边数？
解：正多边形的每个内角都是135°，则每个外角都是180°－135°＝45°，360°÷45°＝8，故这是个正八边形。
一个正多边形的每一个内角都比相邻的外角大36°，求这个正多边形的边数？
解：设一个外角为x°，则内角为（x＋36）°,因为多边形的外角与相邻的内角互补，所以x＋x＋36＝180，解得x＝72，360÷72＝5，即这是个正五边形。
（分析：正多边形的每个内角都相等，每个外角也都相等，而多边形的外角和是360°）
（4）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=140°，∠C=165°．
①求∠B的度数？
②要使AB∥DE，那么∠D=________．
（结论：多边形每增加一条边（或一个角），内角和增加180°，外角和不变。）
提炼总结：
1、三角形外角和的特点是： 。
2、多边形内角和、外角和的之间相互关系以及它们两者是如何转化的？

课堂练习
1、四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（ ）
A．80° B．90° C．170° D．20°
2、一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3、内角和等于外角和2倍的多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4、六边形的内角和等于_______度．
5、正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．
6、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7、若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.8
8、下列角度中,不能成为多边形内角和的是( )
A.600° B.720° C.900° D.1080°
9、若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( )
八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形
10、一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和.
11、已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数。
12、∠A+∠B+∠C+∠D＋∠E＋∠F+∠G=_______．
13、如图在△ABC中，D是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，且∠EDC=50°，则∠A的度数为多少？
课后练习
1.五边形的内角和等于______度.
2.十边形的对角线有_____条.
3.正十五边形的每一个内角等于_______度.
4.内角和是1620°的多边形的边数是________.
5.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( )
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
6.用下列两种正多边形能拼地板的是( )
A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形
C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形
7.对于一个多边形的内角和可能是（ ）
A、810° B、540° C、180° D、605°
一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数。
9.一个多边形的每一个内角都等于144°，求它的边数？
10.如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数比是2：3：4，那么这三个内角的度数分别是多少？
11.已知九边形中，除了一个内角外，其余各内角之和是1205°，求该内角？
12.一个正多边形的每个内角比相邻的外角大36°，求这个正多边形的边数？
13.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的2/3 , 求这个多边形的边数及内角和。
14.一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数？
15.已知一多边形的每一个内角都相等，它的外角等于内角的，求这个多边形的边数？
16.一多边形内角和为2340°，若每一个内角都相等，求每个外角的度数。
17.如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A=120°，∠B=80°，则∠C的度数是多少，∠D的度数是多少？
18.如图，已知DC是△ABC中∠ACB的外角平分线，说明为什么∠BAC＞∠B。
19.根据图填空：
（1）∠1＝∠C＋______，∠2＝∠B＋______；
（2）∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝______＋∠1＋∠2＝______。
想一想，这个结论对任意的五角星是否成立？
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
分成的三角形个数
1
2
3
…
多边形的内角和
180°
180°×2
180°×3
…