第9题 数学文化中的三角函数与解三角形——【新课标全国卷（理）】2023届高考数学二轮复习考点题号一对一

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 第9题 数学文化中的三角函数与解三角形—【新课标全国卷（理）】2023届高考数学二轮复习考点题号一对一1.在解三角形问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边直接求出三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式，即，其中.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是，这个公式中的应该是(   )A. B. C. D.2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢+矢)，弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为4米的弧田（如图），按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(   )

A.6平方米 B.9平方米 C.12平方米 D.15平方米3.意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达·芬奇的经典之作—《蒙娜丽莎》举世闻名.画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷.某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：cm，cm，cm，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作圆弧，该圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（参考数据）(   )

A. B. C. D.4.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（   ）A.              B.             C.              D.5.“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美的“弦图”.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则等于(   )

A. B. C. D.6.刘徽（约公元225年—295年）是魏晋期间伟大的数学家，是中国古典数学理论的奠基人之一.他提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（即割圆术）蕴含了极限思想.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（图为时的情形），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到的近似值为(   )A. B. C. D.7.20世纪20年代哥伦比亚大学的数学和音乐教授Joseph·Schillinger曾经把纽约时报上的一条商务曲线描述在坐标纸上，然后分成比例合适的小节，选择适当的点进行处理并演奏出来，结果是一首曲调优美的乐曲.他的学生更是推陈出新，创建了用数学作曲，著名歌剧《Porgy and Bess》就是杰作之一.选取五线谱的一段，以时间为横轴，音高为纵轴建立直角坐标系，五线谱中的音符就成为坐标系中的点，将这些点连起来发现该段五线谱可以近似用的图象来表示.若函数的部分图象如图所示，则(   )
 A. B. C. D.8.黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC中，，根据这些信息，可得(   )

A. B. C. D.9.“牵星术”是古代的航海发明之一，在《郑和航海图》中都有记载.如图所示，“牵星术”仪器主要是由牵星板（正方形木板），辅以一条细绳贯穿在木板的中心牵引组成.要确定航船在海上的位置，观察员一手持一块竖直的牵星板，手臂向前伸直，另一手持着线端置于眼前，眼睛瞄准牵星板上下边缘，将下边缘与水平线取平，上边缘与北极星眼线重合，通过测出北极星眼线与水平线的夹角来确定航船在海上的位置（纬度）.某航海观察员手持边长为20 cm的牵星板，绳长70 cm，观察北极星，眼线恰好通过牵星板上边缘，则航船所处的纬度位于区间（参考数据：，，，）(   )
 A. B. C. D.10.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径的大小，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点之间的距离为(   )

A. B.80 C.160 D.11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思为“今有正方形水池边长为1丈(即尺，如图所示)，芦苇生长在水池的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接.问水深、芦苇的长度各是多少?”假设，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④.其中所有正确结论的编号是(   )A.①③      B.①③④      C.①④      D.②③④12.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用，黄金分割比还可以表示成，则(   )A.4 B. C.2 D.13.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓.荡胸生层云，决眦入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再是人们出行的阻碍.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将从点A到D修建的一条隧道，测量员测得数据如图所示（A，B，C，D四点在同一水平面内），则A，D两点间的距离为(   )
 A. B. C. D.
答案以及解析1.答案：C解析：由余弦定理知，所以，所以，故选C.2.答案：B解析：如图，由题意可得，，
在中，可得，，，所以矢，由，可得弦，所以弧田面积（弦×矢+矢²）（平方米）.故选B.
 3.答案：B解析：取，设.
则.
，.
设该圆弧对应的圆心角为，
则，.4.答案：B解析：因为，所以，即，所以，因为，所以，，由余弦定理可得，，所以，则的面积.故选：B.5.答案：D解析：设直角三角形的直角边长为a， ，其中，
则，解得.，.
.6.答案：A解析：将一个单位圆等分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为.因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，所以，所以，所以选A.7.答案：B解析：由图可知，因为，所以，再将点代入，得到，所以，又因为，所以.8.答案：A解析：由题意可知，，且.则.9.答案：C解析：画出示意图如图所示，易知，，则，，由知航船所处的纬度位于区间.故选C.
 10.答案：D解析：在中，，在中，由正弦定理，得在中，，，故选D.11.答案：B解析：设，则.，即水深为12尺，芦苇长为13尺，.由，得（舍去）. .故正确结论的编号为①③④.12.答案：D解析：因为，所以.13.答案：A解析：连接AC，设，则在中，，所以，所以，所以，所以.故选A.