高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.2 直线的方程教学设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.2 直线的方程教学设计，共11页。教案主要包含了直线的两点式方程，直线的截距式方程，直线方程的灵活应用等内容，欢迎下载使用。

导语
某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧的P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短．
在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？
一、直线的两点式方程
问题1 我们知道已知两点也可以确定一条直线，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？
提示 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
知识梳理
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，叫作直线的两点式方程．
注意点：
(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．
例1 (1)过(1,2)，(5,3)的直线方程是( )
A.eq \f(y－2,5－1)＝eq \f(x－1,3－1) B.eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1)
C.eq \f(y－1,5－1)＝eq \f(x－3,5－3) D.eq \f(x－2,5－2)＝eq \f(y－3,2－3)
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点(－1,0)，(1,4)，则直线l的两点式方程是______________．
答案 (1)B (2)eq \f(y－0,4－0)＝eq \f(x＋1,1＋1)
解析 (1)直线过(1,2)，(5,3)，
所以由两点式得直线的方程为eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1).
(2)根据两点式方程可得eq \f(y－0,4－0)＝eq \f(x＋1,1＋1).
反思感悟 利用两点式求直线的方程
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件．
若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
跟踪训练1 (1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为____________．
答案 4x＋5y＋3＝0
解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
所以eq \f(y－1,－3－1)＝eq \f(x－－2,3－－2)，即eq \f(y－1,－4)＝eq \f(x＋2,5)，
化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．
解 由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－1,m－1)，即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
二、直线的截距式方程
问题2 若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？
提示 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.
知识梳理
方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程．
注意点：
(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程．
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．
(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．
(4)过原点的直线的横、纵截距都为零．
例2 求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1.又l过点A(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为eq \f(x,－1)＋eq \f(y,1)＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
延伸探究
1．若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，
设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，
又l过点A(－3，－4)，所以eq \f(－3,a)＋eq \f(－4,－a)＝1，解得a＝1.
所以直线l的方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,－1)＝1，即x－y－1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，解得k＝eq \f(4,3).
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2．若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
解 (1)当截距不为0时，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
又l过点(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，解得a＝7，
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，
所以直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
反思感悟 截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式方程的逆向应用．
跟踪训练2 直线l过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．
解 设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，
由题意知，a＋b＋eq \r(a2＋b2)＝12.
所以eq \r(a2＋b2)＝12－a－b.
两边平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0.①
又因为直线l过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)).
所以eq \f(4,3a)＋eq \f(2,b)＝1，整理得3ab＝6a＋4b.②
由①②，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\f(9,2)，,a＝\f(12,5)，))
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
三、直线方程的灵活应用
例3 过点P(1,4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点．
(1)若△ABO的面积为9，求直线l的方程；
(2)若△ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程．
解 设A(a,0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，
则由直线的截距式方程得直线l的方程为
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.
将P(1,4)代入直线l的方程，得eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝1.(*)
(1)依题意得，eq \f(1,2)ab＝9，
即ab＝18，
由(*)式得，b＋4a＝ab＝18，从而b＝18－4a，
∴a(18－4a)＝18，整理得，2a2－9a＋9＝0，
解得a1＝3，a2＝eq \f(3,2)，则b1＝6，b2＝12.因此直线l的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,6)＝1或eq \f(x,\f(3,2))＋eq \f(y,12)＝1，整理得，2x＋y－6＝0或8x＋y－12＝0.
(2)S＝eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)abeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))2＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8＋\f(b,a)＋\f(16a,b)))≥eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8＋2\r(\f(b,a)·\f(16a,b))))＝eq \f(1,2)×(8＋8)＝8，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(16a,b)，即a＝2，b＝8时取等号，因此S的最小值为8，且此时直线l的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,8)＝1，即4x＋y－8＝0.
反思感悟 直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
跟踪训练3 一束光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(－1,6)，分别求入射光线和反射光线所在直线的方程．
解 易知点A(3,2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)．由已知可得反射光线所在直线为直线A′B，其方程为eq \f(y－6,－2－6)＝eq \f(x＋1,3＋1)，即2x＋y－4＝0.
点B(－1,6)关于x轴的对称点为B′(－1，－6)．由已知可得入射光线所在直线为直线AB′，其方程为eq \f(y＋6,2＋6)＝eq \f(x＋1,3＋1)，即2x－y－4＝0.
故入射光线所在直线的方程为2x－y－4＝0，反射光线所在直线的方程为2x＋y－4＝0.
1．知识清单：
(1)直线的两点式方程．
(2)直线的截距式方程．
2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解．
1．在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
A.eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1 B.eq \f(x,3)＋eq \f(y,－4)＝1
C.eq \f(x,－3)－eq \f(y,4)＝1 D.eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1
答案 A
2．过点(1,2)，(5,3)的直线方程是( )
A.eq \f(y－2,5－1)＝eq \f(x－1,3－1) B.eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1)
C.eq \f(y－1,5－1)＝eq \f(x－3,2－3) D.eq \f(x－2,5－2)＝eq \f(y－3,1－3)
答案 B
解析 ∵所求直线过点(1,2)，(5,3)，
∴所求直线方程是eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1).
3．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________．
答案 2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，
可设直线方程为eq \f(x,a)－eq \f(y,a)＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
4．过(－1，－1)和(1,3)两点的直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________．
答案 －eq \f(1,2) 1
解析 由已知得直线的方程为eq \f(y－3,－1－3)＝eq \f(x－1,－1－1)，化简得2x－y＋1＝0，令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝－eq \f(1,2)，解得直线在x轴、y轴上的截距分别为－eq \f(1,2)，1.
课时对点练
1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
答案 A
解析 代入两点式得直线方程为eq \f(y－1,4－1)＝eq \f(x＋2,1＋2)，
整理得y＝x＋3.
2．已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
答案 A
解析 显然a≠0.把直线l：ax＋y－2＝0化为eq \f(x,\f(2,a))＋eq \f(y,2)＝1.
∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，
∴eq \f(2,a)＝2，解得a＝1.
3．若直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1过第一、二、三象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案 C
解析 因为直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0.
4．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为( )
A．2 B．－3
C．－27 D．27
答案 D
解析 由两点式得直线方程为eq \f(y－6,5－6)＝eq \f(x＋3,2＋3)，即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27.
5．下列说法正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
答案 D
解析 选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点P0(x0，y0)的直线不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；
选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点A(0，b)的直线不可以用方程y＝kx＋b表示；
选项C不正确，当直线与x轴平行或者与y轴平行时，虽然不经过原点但不可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示；
选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．
6．经过点P(－1,2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
答案 D
解析 直线l经过原点时，可得直线方程为y＝－2x.
直线l不经过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
把点P(－1,2)代入可得eq \f(－1,a)＋eq \f(2,b)＝1，
当a＝b时，eq \f(－1,a)＋eq \f(2,a)＝1，
解得a＝1，b＝1，可得方程为x＋y＝1.
当a＝－b时，eq \f(－1,a)－eq \f(2,a)＝1，
解得a＝－3，b＝3，可得方程为y－x＝3.
综上可得，满足条件的直线的条数为3.
7．若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为_____________．
答案 eq \f(x,2)＋y＝1或eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝1
解析 设直线l在y轴上的截距为a(a≠0)，
则在x轴上的截距为a＋1(a≠－1)，
则l的方程为eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1，
代入点A(6，－2)得eq \f(6,a＋1)－eq \f(2,a)＝1，
即a2－3a＋2＝0，∴a＝2或a＝1，
∴直线l的方程为eq \f(x,2)＋y＝1或eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝1.
8．过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当OA＋OB取最小值时，直线l的方程为____________________．
答案 x＋2y－6＝0
解析 设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)．
由P点在直线l上，得eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1，
∴OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq \f(4b,a)＋eq \f(a,b)≥5＋2eq \r(\f(4b,a)·\f(a,b))＝9.
当且仅当eq \f(4b,a)＝eq \f(a,b)，即a＝6，b＝3时取“＝”．
∴直线l的方程为eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1，即x＋2y－6＝0.
9．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．
解 由两点式可得直线AB：eq \f(y－0,－3－0)＝eq \f(x＋5,3＋5)，即3x＋8y＋15＝0.
同理可得直线BC：5x＋3y－6＝0，直线AC：2x－5y＋10＝0.
10．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
解 设直线的截距式方程为eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1，
则eq \f(6,a＋1)＋eq \f(－2,a)＝1，
解得a＝2或a＝1，
则直线的截距式方程是eq \f(x,2＋1)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,1＋1)＋eq \f(y,1)＝1，
即eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,2)＋y＝1.
11．(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
A．x＋y＝5
B．x－y＝5
C．x－4y＝0
D．x＋4y＝0
答案 AC
解析 当直线过点(0,0)时，直线方程为y＝eq \f(1,4)x，
即x－4y＝0；
当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1.
把(4,1)代入，解得a＝5，所以直线方程为x＋y＝5.
综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0.
12．已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为( )
A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0
C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0
答案 D
解析 由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，则所求直线方程为eq \f(y－0,4－0)＝eq \f(x＋4,4＋4)，即x－2y＋4＝0.
13．直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝1与eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
答案 B
解析 易知直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝1的斜率为eq \f(n,m)，直线eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝1的斜率为eq \f(m,n)，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足．
14．已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为________________．
答案 3x－2y＝0或x＋2y－8＝0
解析 若l在坐标轴上的截距均为0，即l过原点，满足题意，此时l的方程为y＝eq \f(3,2)x，即3x－2y＝0.当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，则l的方程为eq \f(x,2b)＋eq \f(y,b)＝1，把(2,3)代入，解得b＝4，所以l的方程为x＋2y－8＝0.综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.
15．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
答案 3
解析 直线AB的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，
则x＝3－eq \f(3,4)y，
∴xy＝3y－eq \f(3,4)y2＝eq \f(3,4)(－y2＋4y)
＝eq \f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))时，xy取得最大值3.
16．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．
解 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.
若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，
则直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，即x＋y－a＝0.
∵eq \f(1,2)|a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6.
∴直线l的方程为x＋y±6＝0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，
故直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y－a＝0.
∵eq \f(1,2)|－a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6，∴直线的方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.