高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.2 直线的方程巩固练习

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.2 直线的方程巩固练习，共4页。

1．在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是( )
A.eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1 B.eq \f(x,3)＋eq \f(y,－4)＝1
C.eq \f(x,－3)－eq \f(y,4)＝1 D.eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1
答案：A
2．经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为( )
A．x＝2 B．y＝2
C．x＝3 D．x＝6
解析：选B 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
3．直线eq \f(x,a2)－eq \f(y,b2)＝1在y轴上的截距是( )
A．|b| B．－b2
C．b2 D．±b
解析：选B 令x＝0，得y＝－b2.
4．(多选)下列命题中不正确的是( )
A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示
D．不经过原点的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示
解析：选ABD A中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x＝x0；B中经过定点A(0，b)的直线x＝0无法用y＝kx＋b表示；D中不经过原点但斜率不存在(或斜率为零)的直线不能用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示．只有C正确．故选A、B、D.
5．两条直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝1与eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝1的图象可能是下图中的( )
解析：选B 两直线的方程分别化为y＝eq \f(n,m)x－n，y＝eq \f(m,n)x－m，易知两直线的斜率符号相同．
6．过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是________．
解析：由题意知直线过点(2，0)，
又直线过点(1，3)，由两点式可得，eq \f(y－0,3－0)＝eq \f(x－2,1－2)，
整理得3x＋y－6＝0.
答案：3x＋y－6＝0
7．过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________．
解析：设A(m，0)，B(0，n)，
由P(1，3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6)，
则l的截距式方程是eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1.
答案：eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1
8．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则直线AB的方程是________，m＝________．
解析：由直线方程的两点式，得eq \f(y－（－1）,4－（－1）)＝eq \f(x－2,－3－2)，
即eq \f(y＋1,5)＝eq \f(x－2,－5).
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，即x＋y－1＝0，
∵点P(3，m)在直线AB上，
∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
答案：x＋y－1＝0 －2
9．已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程．
解：(1)由截距式，得边AC所在直线的方程为eq \f(x,－8)＋eq \f(y,4)＝1，即x－2y＋8＝0.
由两点式，得边AB所在直线的方程为eq \f(y－4,6－4)＝eq \f(x－0,－2－0)，
即x＋y－4＝0.
(2)由题意，得点D的坐标为(－4，2)，
由两点式，得BD所在直线的方程为eq \f(y－2,6－2)＝eq \f(x－（－4）,－2－（－4）)，
即2x－y＋10＝0.
10．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
解：法一：设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴eq \f(4,a)＋eq \f(－3,b)＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，∴直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，∴直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上所述，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二：由题意知直线的斜率存在且k≠0，设直线的方程为y＋3＝k(x－4)．
令x＝0，得y＝－4k－3，令y＝0，得x＝eq \f(4k＋3,k).
∵|－4k－3|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4k＋3,k)))，∴k＝－eq \f(3,4)或k＝±1.
当k＝－eq \f(3,4)时，直线的方程为3x＋4y＝0.
当k＝1时，直线的方程为x－y－7＝0.
当k＝－1时，直线的方程为x＋y－1＝0.
综上所述，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
[B级 综合运用]
11．(多选)下列命题不正确的是( )
A．过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程可以写成eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
B．直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线斜率为－1
C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0
D．若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
解析：选ABD 当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，故A错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误．
12．(多选)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围可以是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,5))) B．(－∞，－1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析：选BD 设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C(－3，0)时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝eq \f(1,2)，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
13．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
解析：点A(1，－2)，B(5，6)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y＝eq \f(2,3)x，即2x－3y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＝k，把中点M(3，2)的坐标代入直线的方程，得k＝5，故所求直线的方程是x＋y－5＝0.综上，所求的直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
答案：2x－3y＝0或x＋y－5＝0
14．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一动点P(x，y)，求xy的最大值．
解：由直线方程的截距式知直线AB的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，
设P(x，y)，则x＝3－eq \f(3,4)y，
∴xy＝3y－eq \f(3,4)y2＝eq \f(3,4)(－y2＋4y)
＝eq \f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3，当且仅当y＝2时“＝”成立，
即当P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))时，xy取得最大值3.
[C级 拓展探究]
15．若经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，求直线在两坐标轴上截距之和最小时的直线方程．
解：设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因为直线过点P(1，4)，所以eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝1.则截距之和a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥5＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(4a,b)，即2a＝b时取得最小值，所以eq \f(1,a)＋eq \f(4,2a)＝1，解得a＝3，则b＝6，所以直线的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,6)＝1，即2x＋y－6＝0.