广东省深圳市坪山区2022年中考数学一模试题(解析版)

这是一份广东省深圳市坪山区2022年中考数学一模试题(解析版)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图，该几何体的左视图是（　　）

A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看是一个正方形被水平的分成3部分，中间的两条分线是虚线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线．
2. 一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【2题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【详解】解：∵根的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与判别式的关系是解答此题的关键．总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）<0⇔方程没有实数根．
3. 若与都是反比例函数图象上的点，则a的值是（）
A. 4 B. C. 2 D.
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】先把用代入确定反比例函数的比例系数k，然后求出函数解析式，再把点（-2，a）代入可求a的值．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上的点；
∴k=2×4=8
∴反比例函数解析式为：
∵点是反比例函数图象上的点，
∴a=-4
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
4. 解一元二次方程x2﹣2x＝4，配方后正确的是（　　）
A. （x+1）2＝6 B. （x﹣1）2＝5 C. （x﹣1）2＝4 D. （x﹣1）2＝8
【4题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：∵x2﹣2x＝4，
∴x2﹣2x+1＝4+1，
即（x﹣1）2＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程——配方法，解题步骤是：二次项系数化为1；常数项移项到等号右、未知项移到等号左；两边都加上一次项系数一半，进行配方．
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　）
A. y＝（x﹣1）2+2 B. y＝（x﹣1）2﹣2 C. y＝（x+1）2﹣2 D. y＝（x+1）2+2
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
6. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mm

A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得，且
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
7. 如图，△ABC的顶点A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意可知，∠ABC和∠AOC是同弧所对的圆周角和圆心角，所以∠AOC=2∠ABC，又因为∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC=60°．
故选C．
考点：圆周角和圆心角．

8. 下列命题：
①有一个角等于100°的两个等腰三角形相似；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；
④对角线相等的平行四边形是矩形．
其中真命题的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【8题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形判定定理，菱形、正方形、矩形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：①有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，是真命题；
②对角线互相垂直平行四边形是菱形，故原说法是假命题；
③一个角为90°且邻边相等的平行四边形是正方形，故原说法是假命题；
④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，
故真命题有①④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查命题与定理，掌握相似三角形判定，菱形、正方形、矩形判定是解题的关键．
9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系内的大致图象是（ ）

A. B. C. D.
【9题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图像开口方向，与y轴的交点位置，判断出，，在根据二次函数对称轴的位置可得，结合，可判断出，然后利用排除法即可得到答案．
【详解】二次函数图像的开口向上，
，
二次函数的对称轴位于y轴的左侧，
，
，
二次函数图像与y轴交于负半轴，
，
反比例函数的图像必在一、三象限，一次函数的图像必经过一、三、四象限，故D答案正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，反比例函数以及一次函数的性质，熟知以上知识是解题关键．
10. 如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（　　）

A. B. C. D. 2
【10题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作DH⊥AF于点H，由锐角三角函数的定义求出CD＝1，AD＝3，由旋转的性质得出DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，证出∠DCE＝∠DAF，设AH＝a，DH＝3a，由勾股定理得出a2+（3a）2＝32，求出a可得出答案．
【详解】解：过点D作DH⊥AF于点H，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，
∵tan∠ACB3，
设CD＝x，
∴AD＝3x，
∴BC＝3x+x＝4，
∴x＝1，
∴CD＝1，AD＝3，
∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，
∴DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，
∴，
∴∠DCE＝∠DAF，
∴tan∠DAH＝3，
设AH＝a，DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝32，
∴a，
∴AH，
∵DA=DF，DH⊥AF，
∴AF＝2AH，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定，应用三角函数解直角三角形，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 方程x2﹣2x=0的解为_____________
【11题答案】
【答案】x1=0 ,x2=2．
【解析】
【分析】把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或 x-2=0，求出方程的解即可．
【详解】解：x2-2x=0，
x（x-2）=0，
x=0或 x-2=0，
x1=0 或x2=2．
【点睛】本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
12. 如图，在中，，，，则的值是_____．

【12题答案】
【答案】
【解析】
【分析】首先利用勾股定理计算出AB，再根据正弦定义进行计算．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理以及锐角三角函数定义，关键是掌握正弦：锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦．
13. 一个不透明的布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中1个红球，2个白球，从布袋里摸出1个球，则摸到的球是红球的概率是_____．
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵布袋装有3个只有颜色不同的球，1个红球，
∴从布袋里摸出1个球，摸到红球的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式．熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
14. 如图，反比例函数的图象经过菱形OABD的顶点A和边BD的一点C，且，若点D的坐标为（8，0），则k的值为_____．

【14题答案】
【答案】3
【解析】
【分析】作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，易证得△AOE∽△CDF，得出3，设DF＝m，CF＝n，则C（8+m，n），A（3m，3n），利用反比例函数系数k＝xy得出（8+m）•n＝3m•3n，求得m＝1，即可利用勾股定理求得n的值，从而得出A的坐标，进一步得出k＝3．
【详解】解：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
∵四边形OABD是菱形，点D的坐标为（8，0），
∴OA∥BD，OA＝BD＝8，
∴∠AOE＝∠CDF，
∵∠AEO＝∠CFD＝90°，
∴△AOE∽△CDF，
∴，
∵，
∴3，
∴OE＝3DF，AE＝3CF，
设DF＝m，CF＝n，则C（8+m，n），A（3m，3n），
∵点A、C在反比例函数的图象上，
∴（8+m）•n＝3m•3n，
∴m＝1，
∴A（3，3n），
∴OE＝3，AE＝3n，
在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，
∴82＝32+（3n）2，解得n，
∴A（3，），
∴k＝33，
故答案为：3．

【点睛】本题主要考查了反比例函数性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题的关键．
15. 如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，则NG⋅CG的值为_____．

【15题答案】
【答案】15
【解析】
分析】把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，继而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝12可求出a，最后通过△MGN∽△CGB可得出答案．
【详解】解：如图，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，

∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，
∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，
∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，
过M作ME⊥BC，MF⊥AB，
∵


∵MC＝MN，MC⊥MN，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴∠MNC＝45°，
∴∠NCH＝45°，
∴△MCG≌△HCG（SAS），
∴MG＝HG，
∵BG：MG＝3：5，
设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，
在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，
∵正方形ABCD的边长为，
∴BD＝12，
∴DM+MG+BG＝12a＝12，
∴a＝1，
∴BG＝3，MG＝5，
∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，
∴△MGN∽△CGB，
∴，
∴CG•NG＝BG•MG＝15．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、相似三角形的性质、正方形的性质，联系题目实际，结合全等三角形、正方形的性质构造相似三角形进行求解是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：4cos30°﹣tan245°+|1|+2sin60°．
【16题答案】
【答案】42
【解析】
【分析】首先计算乘方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：4cos30°﹣tan245°+|1|+2sin60°
＝412+（1）+2
＝211
＝42．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
17. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图像，
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　　．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1


1
2
3
…
y
…

1
2
4
4
2
1
m
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图像，请你把图像补充完整；

（2）通过观察图像，下列关于该函数的性质表述正确的是：　　；（填写代号）
①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；
（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图像于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BCOA交x轴于C．则＝　　．
【17~19题答案】
【答案】（1），图见解析；
（2）②，理由见解析；
（3）4， 过程见解析．
【解析】
【分析】（1）将x＝3代入求解，根据表格所给点作图；
（2）观察图像即可得出函数的性质，选出答案即可；
（3）求出A，B的坐标，证明四边形OABC为平行四边形，再根据平行四边形面积＝底×高作答．
小问1详解】
解：将x＝3代入
得＝，
故m＝
故答案为：．
图像补充完整如图1：
【小问2详解】
解：由图像可知，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；故①错误；
由图像可知，函数的图像关于y轴对称；故②正确，③错误；
故答案为：②
【小问3详解】
解：如图2所示，
∵A、B的纵坐标相同，
∴ABOC，
又∵ BCOA，
∴ 四边形OABC为平行四边形，
∴ AB＝OC
∵ 当y＝2时，即2＝，解得x＝±1，
∴ 点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），
∴ AB＝1+1＝2，
∴OC＝AB＝2
∴＝OC＝2×2＝4，
故答案为：4．

【点睛】本题考查反比例函数的图像的性质以及平行四边形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
18. 如图为某学校门口“测温箱”截面示意图，当身高1.7米的小聪在地面M处时开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°，当他在地面N处时，此时在额头C处测得A的仰角为58°，如果测温箱顶部A处距地面的高度AD为3.3米，求B、C两点的距离．（结果保留一位小数，sin58°≈0.8，cos58°≈0.5，tan58°≈1.6）

【18题答案】
【答案】0.6米
【解析】
【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNC和矩形BCNM，通过解直角三角形分别求出BE、CE的长度，再根据MN＝BC＝BE﹣CE即可得出答案．
【详解】解：如图，延长BC交AD于点E，
∵BM＝CN＝1.7米，且BM⊥DM，CN⊥DM，
∴BM∥CN，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∵∠CNM＝∠BMN＝90°，
∴平行四边形BCNM是矩形，
同理，四边形CEDN是矩形，
∴ED＝CN＝1.7米，
∴AE＝AD﹣ED＝3.3﹣1.7＝1.6（米），
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝58°，
∵，
∴CE1（米），
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝45°，
∵1，
∴BE＝AE＝1.6（米），
∴BC＝BE﹣CE≈1.6﹣1＝0.6（米），
答：B、C两点的距离约为0.6米．

【点睛】本题主要考查解直角三角形，矩形判定和性质，以及利用锐角三角函数求长度，题目重在计算，是中考的常考题.
19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD．

（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径．
【19~20题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OE，利用等腰三角形两底角相等，可证明∠OED＝∠BFD，则OE∥BF，从而证明OE⊥AC即得结论；
（2）连接BE，根据tan∠EDB＝2，∠EDB＝∠F，可得CE＝2，再利用△ECF∽△BEF，得代入即可解决问题．
【小问1详解】
证明：如图，连接OE，

∵BF＝BD，
∴∠F＝∠BDF，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠BDF，
∴∠OED＝∠BFD，
∴OE∥BF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AC，
∵OE为半径，
∴AC为⊙O的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接BE，

∵tan∠EDB＝2，∠EDB＝∠F，CF＝1，
∴tanF=，
∴CE＝2，
∴EF=，
∵BD是直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠BEF＝90°，
又∵∠ECF＝90°，∠F＝∠F，
∴△ECF∽△BEF，
∴，
∴，
∴BF＝5，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，锐角的正切值，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定，灵活证明三角形的相似和三角函数是解题的关键．
20. 某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
【20~21题答案】
【答案】（1）y＝﹣10x+1000
（2）销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元
【解析】
【分析】（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【小问1详解】
设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（40，600），（80，200）代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1000；
【小问2详解】
由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，
配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝70时，W有最大值为9000，
答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式．
21. 已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．


（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则；
②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则；
（2）拓展研究：如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；
（3）解决问题：如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．
【21~23题答案】
【答案】（1）①1；②
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）①由“ASA”可证△ADE≌△DCF，可得DE＝CF，可求解；
②通过证明△AED∽△DFC，可得；
（2）通过证明△ADE∽△DCM，可得，可得结论；
（3）设CN＝x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD＝∠A＝90°，证△BCM∽△DCN，求出CMx，在Rt△CMB中，由勾股定理得出，代入得出方程（x﹣5）2+（x）2＝52，求出CN＝8，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．
【小问1详解】
（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°＝∠ADC，
∴∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠DCF，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴DE＝CF，
∴，
故答案为：1；
②解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AB＝CD＝m，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠A＝∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
（2）证明：如图所示，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠EGF＝180°，
∴∠B＝∠EGF，
在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，

∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B＝∠EGF，
∴∠EGF+∠A＝180°，
∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，
∴，
即；
【小问3详解】
（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，

∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，
∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM＝CN，AN＝CM，
在△BAD和△BCD中，
，
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD＝∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠CBM＝180°，
∴∠MBC＝∠ADC，
∵∠CND＝∠M＝90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴，
∴，
∴CMx，
在Rt△CMB中，CMx，BM＝AM﹣AB＝x﹣5，由勾股定理得：，
∴（x﹣5）2+（x）2＝52，
解得：＝0（舍去），＝8，
∴CN＝8，
∵∠A＝∠FGD＝90°，
∴∠AED+∠AFG＝180°，
∵∠AFG+∠NFC＝180°，
∴∠AED＝∠CFN，
∵∠A＝∠CNF＝90°，
∴△AED∽△NFC，
∴．
【点睛】本题考查了正方形，矩形，平行四边形，三角形全等，三角形相似，解决问题的关键是熟练运用正方形四边相等四角相等，矩形对边相等四角相等，平行四边形对边平行且相等对角相等，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，邻补角性质，四边形内角和性质．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点D，E是线段BC上的两点（E在D的右侧），，过点D作DP∥y轴，交直线BC上方抛物线于点P，过点E作EF⊥x轴于点F，连接FD，FP，当△DFP面积最大时，求点P的坐标及△DFP面积的最大值；
（3）如图2，在（2）取得面积最大的条件下，连接BP，将线段BP沿射线BC方向平移，平移后的线段记为B'P'，G为y轴上的动点，是否存在以B'P'为直角边的等腰Rt△GB'P'？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【22~24题答案】
【答案】（1）
（2）点P的坐标为（2，）时，△PDF的面积最大值为
（3）存在；点G的坐标（0，）或（0，）
【解析】
【分析】（1）将点A和点C分别代入求得a和c的值，得到抛物线的解析式；
（2）过点E作EH⊥直线PD于点H，由PD∥y轴得到∠DEH＝∠CBO，然后由等角的余弦值相等得到EH的长，再求得直线BC的解析式，然后设点P的坐标，得到点D的坐标，进而得到PD的长，即可求得△PDF的面积，进而利用二次函数的性质求得△PDF的面积最大值和点P的坐标；
（3）分情况讨论：当点B'在y轴的右侧和左侧时，分别讨论点P'为直角顶点和点B'为直角顶点几种情况，然后作出辅助线构造K型全等，然后设点B'、点P'和点G的坐标，根据全等三角形的性质列出方程求得点G的坐标．
【小问1详解】
将A（﹣1，0），C（0，3）代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
过点E作EH⊥PD于点H，
令y＝0，得，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，OC＝3，
∴BC＝5，
∵EH⊥PD，BO⊥CO，
∴HE∥OB，
∴∠DEH＝∠CBO，
∴cos∠DEH＝cos∠CBO，即，
∴，
解得：HE＝1，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则
，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
设，，则，
∴，
配方得：，
∵，
∴t＝2时，S△FPD有最大值为，
∴点P的坐标为（2，）时，△PDF的面积最大值为．
【小问3详解】
设B'（x，x+3）（x≤4），G（0，y），
∵P（2，），B（4，0），线段BP沿射线BC方向平移，
∴P'（x﹣2，x），
①如图2，当点B'1在y轴右侧，∠G1B'1P'1＝90°时，B'1P'1＝B'1G1，
过点B'1作B'1M1⊥y轴于点M1，过点P'1作P'1N1⊥B'1M1于点N1，则∠P'1N1B'1＝∠B'1M1G1＝90°，∠P'1B'1N1+∠M1B'1G1＝90°，

∴∠P'1B'1N1+∠N1P'1B'1＝90°，
∴∠M1B'1G1＝∠N1P'1B'1，
∴△M1B'1G1≌△N1P'1B'1（AAS），
∴M1G1＝B'1N1，P'1N1＝B'1M1，
∵M1G1x+3﹣y，B'1N1＝2，P'1N1，B'1M1＝x，
∴x+3﹣y＝2，且x4，舍去；
②如图3，当点B'2在y轴右侧，∠G2P'2B'2＝90°时，B'2P'2＝P'2G2，过点P'2作P'2N2⊥y轴于点N2，过点B'2作B'2M2⊥N2P'2的延长线于点M2，则∠P'2N2G2＝∠B'2M2P'2＝90°，

∠P'2B'2M2+∠M2P'2B'2＝90°，
∴∠N2P'2G2+∠M2P'2B'2＝90°，
∴∠N2P'2G2＝∠P'2B'2M2，
∴△N2P'2G2≌△M2B'2P'2（AAS），
∴N2G2＝P'2M2，P'2N2＝B'2M2，
∵N2G2xy，P'2M2＝2，P'2N2＝x﹣2，B'2M2，
∴xy＝2，且x﹣2，
∴x4，y，舍去；
③如图4，当点B'3在y轴左侧，∠G3P'3B'3＝90°时，B'3P'3＝P'3G3，过点P'3作P'3M3⊥y轴于点M3，过点B'3作B'3N3⊥M3P'3于点M3，则∠P'3M3G3＝∠B'3N2P'3＝90°，∠P'3B'3N3+∠N3P'3B'3＝90°，

∴∠M3P'3G3+∠N3P'3B'3＝90°，
∴∠P'3B'3N3＝∠M3P'3G3，
∴△P'3B'3N3≌△G3P'3M3（AAS），
∴M3G3＝P'3N3，P'3M3＝B'3N3，
∵M3G3＝y﹣（x），P'3N3＝2，P'3M3＝﹣（x﹣2），B'2M2，
∴yx2，且2﹣x，
∴x，y，
∴点G3的坐标为（0，）；
④如图5，当点B'4在y轴左侧，∠G4B'4P'4＝90°时，B'4P'4＝B'4G4，过点B'4作B'4N4⊥y轴于点N4，过点P'4作P'4M4⊥N4B'4的延长线于点M4，则∠P'4M4B'4＝∠B'4N4G4＝90°,∠P'4B'4M4+∠N4B'4G4＝90°，


∴∠P'4B'4M4+∠M4P'4B'4＝90°，
∴∠N4B'4G4＝∠M4P'4B'4，
∴△N4B'4G4≌△M4P'4B'4（AAS），
∴N4G4＝B'4M4，P'4M4＝B'4N4，
∵N4G4＝y﹣（x+3），B'4M4＝2，P'4M4，B'4N4＝﹣x，
∴y﹣（x+3）＝2，且﹣x，
∴x，y，
∴点G4的坐标为（0，）；
综上所述，△GB'P'是以B'P'为直角边的等腰直角三角形时，点G的坐标为（0，）或（0，）．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定，二次函数的最值，用坐标表示点的距离等知识点，解题过程中灵活应用分类讨论的思想是解题的关键．