江西省吉安八中、城北中学等三校2020-2021学年八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份江西省吉安八中、城北中学等三校2020-2021学年八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了根据该定义运算完成下列问题，【答案】B，【答案】D，【答案】C，【答案】2，【答案】4，【答案】a≤1等内容，欢迎下载使用。
 江西省吉安八中、城北中学等三校2020-2021学年八年级（下）第一次月考数学试卷一．选择题（本题共6小题，共18分）已知，则下列不等式成立的是A.  B.  C.  D. 等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是A.  B.  C. 或 D. 或下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是A. 一个锐角和斜边对应相等 B. 两条直角边对应相等
C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一条直角边对应相等如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，则的长是A.  B.  C.  D. 某次知识竞赛共有道题，规定每答对一题得分，答错或不答都扣分，小明得分要超过分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对道题，根据题意得A.  B.
C.  D. 如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为
 B.  C.  D. 二．填空题（本题共6小题，共18分）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为______．如图，在中，，分别以、为圆心，大于的一半的长度为半径画弧，四弧交于两点、，作直线，交于点，交于点已知，则的度数为______度．
  如图，平分，于，于，，若，则______．
  若关于的不等式组无解，则的取值范围是______．若不等式组有两个整数解，则的取值范围是______．小明想从一张长为，宽为的长方形纸片上剪下一个腰为的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的底边长为______ ．三．计算题（本题共2小题，共12分）解下列不等式．
．
．






 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．







 四．解答题（本题共小题，共72分）已知关于的方程的解是非正数，求字母的取值范围．






 如图，的的网格中，，，均在格点上，请用无刻度的直尺作图保留作图痕迹，不写作法．
在图中找一格点，使得为等腰三角形找到一个即可；
在图中作出的角平分线．







 某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过，则超过部分每立方米按元收费．某用户月份用水，交纳水费元．
求关于的函数解析式，并写出的取值范围．
此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量最多不超过多少立方米？






 如图，已知在中，的平分线与线段的垂直平分线相交于点，过点分别作垂直于于点，垂直于于点，和有什么数量关系？请说明理由
  






 已知关于、的方程组的解满足，，求实数的取值范围．






 把两块含角的直角三角板按图所示的方式放置，点在上，连结、，的延长线交于点．
如图，求证：，；
将绕点顺时针旋转如图，连结、，分别交、于点、，那么中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．







 凯里市园林局为了对迎宾大道的一段公路进行绿化，计划购买，两种风景树共棵．，两种树的相关信息如下表：
项目
树种单价元棵成活率若购买种树棵，购树所需的总费用为元．
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
若购树的总费用为元，则购种树有多少棵？
若希望这批树的成活率不低于，且使购树的总费用最低，应选购，两种树各多少棵？此时最低费用为多少元？






 定义运算：当时，；当时，；如：；；根据该定义运算完成下列问题：
______，当时，______；
若，求的取值范围；
如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出的取值范围是______．






 模型认识：如图是共顶点的双等腰三角形模型．已知，，，研究此图可以发现一些有趣的结论：
结论证明：如图，连接、，交于，延长交于点．
求证：；．
联系运用：
如图，与均为等边三角形，点在内，连接、、，设，，则与满足的关系式是______．
如图，已知是等腰直角三角形，且，，，求的长．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：，
，
选项A不符合题意；

，
，
选项B符合题意；

，
，
，
选项C不符合题意；

，
，
选项D不符合题意．
故选：．
根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
 2.【答案】
 【解析】解：当为腰时，，故此三角形的周长；
当为腰时，，故此三角形的周长．
故选：．
由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
 3.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】
解：一个锐角和斜边对应相等，正确，符合，
B.两条直角边对应相等，正确，符合判定；
C.不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
D.斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定．
故选：．  4.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查的是含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．
根据等腰三角形三线合一的性质可得，，求出，根据平行线的性质求出，从而得到，根据等角对等边求出，求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】
解：，是的中线，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．  5.【答案】
 【解析】解：设小明答对道题，则答错或不答道题，
依题意，得：．
故选：．
设小明答对道题，则答错或不答道题，根据小明的得分答对的题目数答错或不答的题目数结合小明得分要超过分，即可得出关于的一元一次不等式．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 6.【答案】
 【解析】解：连接，与交于点则就是的最小值．
等边的边长为，，
，，
过点作于，
，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，
在中，，
，
的最小值为，
故选：．
要求的最小值，构造直角三角形，解直角三角形即可得出结论．
此题主要考查了等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．得出点位置是解题关键．
 7.【答案】
 【解析】解：解不等式得：，
不等式的解集为，
，
解得：，
故答案为：．
先用含有的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于的方程，解之可得的值．
本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．
 8.【答案】
 【解析】解：由作法得垂直平分，
，
，
．
故答案为．
先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，然后根据三角形内角和计算的度数．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 9.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，是基础题，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：平分，，，
，
，，
，
即，
解得．
故答案为：．  10.【答案】
 【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
又不等式组无解，
，
，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集得出关于的不等式是解此题的关键．
 11.【答案】
 【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
不等式组有两个整数解，
，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出关于的不等式组即可．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的整数解和已知得出关于的不等式组．
 12.【答案】或或
 【解析】解：分三种情况讨论：
如图所示：，
由勾股定理得：，
如图所示：
，
，
，
，
如图所示，
，
，
，
，
所以剪下的等腰三角形的底边长为或或；
故答案为：或或．
因为等腰三角形的腰的位置不确定，所以分三种情况：两腰在矩形相邻的两边上，一腰在矩形的宽上，一腰在矩形的长上，画出图形，利用勾股定理分分别求底边长．
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用，正确画出图形是本题的关键；要根据三角形腰长所在位置的不同分情况进行讨论，容易丢解．
 13.【答案】解：去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为，得．
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为，得．
 【解析】按解一元一次不等式的一般步骤求解即可．
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的一般步骤是解决本题的关键．
 14.【答案】解：，
解得，
解得；
所以不等式组的解集为．
用数轴表示为：
．
 【解析】分别解出两不等式的解集再求其公共解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 15.【答案】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
方程的解是非正数，
，
解得：，
即字母的取值范围为：．
 【解析】依次移项，合并同类项，系数化为，得到关于的解，根据方程的解为非正数，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
本题考查解一元一次不等式和一元一次方程的解，正确掌握解一元一次不等式和解一元一次方程的方法是解题的关键．
 16.【答案】解：如图中，，即为所求．
如图中，射线即为所求．

 【解析】构造或即可．
利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题即可．
本题考查作图应用与设计，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 17.【答案】解：由题意，得
，
由题意，得
，
解得：，
最多
每月的用水量最多为．
 【解析】根据总价单价数量就可以表示出与之间的函数关系式；
根据的解析式建立不等式求出其解即可．
本题考查了总价单价数量的运用，一次函数的解析式的运用及列不等式解实际问题的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
 18.【答案】证明：如图，连接，，

是的平分线，，，
，，
在的垂直平分线上，
，
在和中，
，
≌，
．
 【解析】连接、，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质．
 19.【答案】解：，
得，，
得，，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
所以，方程组的解是，
，，
，
由得，，
由得，，
所以，的取值范围是．
 【解析】先利用加减消元法求出、，然后列出不等式组，再求出两个不等式的解集，然后求公共部分即可．
本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 20.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，，
在中，
，
，
即：；
成立，理由如下：
在和中，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在中，
，．
，
即：．
 【解析】由判定≌，根据全等三角形的性质可知：对应边相等、对应角相等；加上已知条件来求即可；
成立，利用已知条件可证明≌，由全等三角形的性质以及已知条件证明即可证明，．
本题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 21.【答案】解：，且为整数；

由题意，得
解得．
所以购种树棵；

由题意，得
解得，
，
随的增大而减小，
当取最大值时，有最小值，
当时，购树费用最低，最低费用为元
当时，．
此时应选购种树棵，种树棵，此时的最低费用为元．
 【解析】购树所需的总费用种树木的总费用种树木的总费用；
让得到的函数值为求得的值即可；
根据种树木的成活数量种树木的成活数量树木总数成活率得到自变量的取值，进而根据得到的函数关系式求得相应的方案及最低费用即可．
考查一次函数的应用；利用成活率得到自变量的取值是解决本题的难点．
 22.【答案】   
 【解析】解：，当时，；
故答案为：，；

由题意得：，
，
；

，
，
由图象得：，
故答案为：．
由定理可知：的值就是取和的最小值，即；同理可得另一个式子的结果；
由定义列不等式解出即可；
根据图象可知：当，．
本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新定义的内含：结果取最小值，第三问利用数形结合的思想求解更简便．
 23.【答案】
 【解析】证明：如图，，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
由得：≌，
，
中，，
中，，
；
如图，延长交于，
由同理得：，
中，，
，，
；
故答案为：；
如图，过作，过作于，
，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
同理得：≌，
，
中，由勾股定理得：，
．
证明≌，可得结论；
由得全等得：再根据三角形的内角和可得结论；
如图，延长交于，根据同理得：，利用外角的性质得：；
如图，作辅助线，构建两个等腰直角三角形，同理得：≌，由勾股定理得：的长，可得的长．
本题考查三角形的综合题、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是运用类比的方法解决问题，第问学会添加辅助线，构造等腰直角三角形，属于中考压轴题．