2022年湖北省武汉市蔡甸区誉恒学区中考数学质检试卷（3月份）（含解析）

2022年湖北省武汉市蔡甸区誉恒学区中考数学质检试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 以下说法错误的是

A. “在同一年出生的名学生中，至少有两名同学是同一天生日”是必然事件
B. 如果一个事件发生的概率为十亿分之一，则这件事不会发生
C. “打开电视，播放新闻节目”是随机事件
D. 月份有天是不可能事件

3. 把“武汉加油”的首字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

5. 点关于轴对称的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

6. 从、、、四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 若点，，在反比例函数是常数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

8. 杆秤是我国传统的计重工具如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量称重时，若秤砣到秤纽的水平距离为单位：时，秤钩所挂物重为单位：，则是的一次函数下表记录了四次称重的数据，其中只有一组数据记录错误，它是

A. 第组 B. 第组 C. 第组 D. 第组

9. 如图，在扇形中，，，点在上，连接，点在弧上，且点，关于直线对称，连接，则图中阴影部分的面积是

A.
B.
C.
D.

10. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 计算的结果是______ ．
12. 走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了天行走的步数为：步、步、步，这天步数的平均数是______步．
13. 方程的解是______ ．
14. 如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，旗杆的高度为______ 结果保留小数点后一位，，，
     

15. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：
    ；
    ；
    ；
    ；
    其中正确的是______ ．
16. 先将如图的等腰三角形的纸片沿着虚线剪成四块，再用这四块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图无缝隙、不重叠的正方形，则该等腰三角形底角的正切值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 解不等式组请按下列步骤完成解答：
    Ⅰ解不等式，得______ ；
    Ⅱ解不等式，得______ ；
    Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来；
    Ⅳ原不等式组的解集为______ ．

18. 如图所示，已知，，垂足分别为，，且，求证：．

19. 月日是世界环境日，为了倡导节能减排，绿色出行，某校在校内举行了宣传讲座，并统计了该校学生上学的交通方式，整理所得数据绘制成不完整的统计图表．
    选择各种交通方式的频数分布表

根据以上图表信息解答下列问题：
这次被调查的学生共有______ 人， ______ ；
私家车所在扇形的圆心角的大小是______ ；
该校共有名学生，请你估计步行的学生有多少人？

20. 如图是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
    在图中画的高；
    在图的线段上画一点，使得：：；
    在图中点的右侧画一点，使且．

21. 如图，，是的内切圆，切点为、、，连接、交于，连接并延长交于．
    求证：；
    连接，若，求的值．
     

22. 广州德庆县是中国贡柑之乡，该县县委书记带领村民发展贡柑网上带货．若贡柑的种植成本为元斤，售价不低于元斤，不高于元斤．
    每日贡柑销售量斤与售价元斤之间满足如图函数关系式．求与之间的函数关系式；
    若每天销售利润率不低于，且不高于，求每日销售的最大利润；
    若县委书记带领科技队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少元，已知每日最大利润为元，求的值．

23. 如图，在矩形中，将矩形沿翻折，使点恰好落在边上点处．
    如图，若，求的度数；
    如图，当，且时，求的长；
    如图，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，直接写出的值．

24. 如图，抛物线分别交轴于，两点点在点的左边，交轴正半轴于点，过点作的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．
    如图，．
    直接写出点的坐标和直线的解析式；
    直线上有两点，，横坐标分别为，，分别过，两点作轴的平行线交抛物线于，两点若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
    如图，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数互为相反数．
本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、“在同一年出生的名学生中，至少有两人的生日是同一天生日”是必然事件，正确，此选项不符合题意；
B、如果一个事件发生的概率只有十亿分之一，说明发生的概率很小，但不是不会发生，错误，此选项符合题意；
C、“打开电视，播放新闻节目”是随机事件，正确，此选项不符合题意；
D、月份有天是不可能事件，正确，此选项不符合题意；
故选：．
根据调查方式的选择、必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断．
本题除了考查统计调查，还考查了随机事件，不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】
 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．
 

4.【答案】
 

【解析】解：原式，
故选：．
根据积的乘方的法则计算即可．
本题考查了积的乘方，注意，底数要带括号．
 

5.【答案】
 

【解析】解：根据轴对称的性质，得点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
点关于轴对称点的坐标，然后将题目已经点的坐标代入即可求得解．
本题考查平面直角坐标系点的对称性质，属于对一般知识性内容的考查，难度不大，学生做的时候要避免主观性失分．
 

6.【答案】
 

【解析】解：画树状图得：

由树形图可知：一共有种等可能的结果，其中使的有种结果，
关于的一元二次方程有实数解的概率为，
故选：．
首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
反比例函数是常数的图象位于二四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
因此点，在第二象限，而在第四象限，
，，
，
故选：．
根据的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点，，所在的象限，确定、、，大小关系．
考查反比例函数的图象和性质，当时，在每个象限内，随的增大而减小的性质，利用图象法比较直观．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设，把，，，代入可得：
，
解得，
，
当时，，
第组数据不在这条直线上，
当时，，
第组数据在这条直线上，
故选：．
设函数关系式为，利用待定系数法解决问题即可．
本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】
 

【解析】解：连接，，交于点，
点，关于直线对称，
垂直平分，即，，
，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，


．
故选：．
根据轴对称得出垂直平分，再根据直角三角形的边角关系可求出的度数，进而求出的度数，利用弧长公式求出半径，最后根据扇形面积和三角形面积公式求出答案即可．
本题考查轴对称的性质，直角三角形的边角关系，弧长的计算以及扇形和三角形面积计算，掌握弧长和扇形面积的计算方法是正确解答的前提，求出相应的圆心角度数和半径是解决问题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：把点分别代入 与中，
得，，
即，，
，
把，代入上式，
原式，
代数式的值为．
故选：．
先把点分别代入 与中，可得与得值，代数式可化为，即可得出答案．
本题主要考查了一次函数与反比例函数图像上点得坐标特征，合理应用相关特征进行计算是解决本题得关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
根据二次根式的性质求出答案即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，注意：当时，．
 

12.【答案】
 

【解析】解：这天步数的平均数是：步，
故答案为：．
根据算术平均数的计算公式即可解答．
本题考查了平均数的计算，解题的关键是掌握平均数的计算公式．
 

13.【答案】
 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
分式方程的解为．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，，，，
在中，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
即旗杆的高度约为，
故答案为：．
由锐角三角函数定义求出的长，再证，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握仰角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：抛物线与轴的交点在轴上方，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以正确；
抛物线与轴的一个交点在点左侧，
而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在点右侧，
当时，无法确定函数值的符号，所以错误；
时，二次函数有最大值，
，
，所以正确；
直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于，
时，一次函数值比二次函数值大，
即，
而，
，解得，所以正确．
故答案为：．
利用抛物线与轴的交点位置得到，利用对称轴方程得到，则，于是可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点右侧，则当时，无法确定函数值的符号，于是可对进行判断；根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，则，于是可对进行判断；由于直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解的不等式，则可对进行判断．
本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，

根据题意，得，
，
解得负值舍去，
，
该等腰三角形底角的正切值．
故答案为：．
等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意，得，求出，之间的关系，可得结论．
本题考查了图形的剪拼、等腰三角形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是利用转化思想．
 

17.【答案】   
 

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】先根据，可求出，再根据平行线的性质即可求出，通过等量代换及平行线的判定定理可求出，最后根据平行线的性质解答即可．
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理及性质定理．
 

19.【答案】   
 

【解析】解：这次被调查的学生共有：人，
，
故答案为：，；
私家车所在扇形的圆心角的大小是：，
故答案为：；
人，
即估计步行的学生有人．
根据交通方式为自行车的人数和所占的百分比，可以计算出这次被调查的学生人数，再根据扇形统计图中公交车所占的百分比，即可计算出的值；
根据频数分布表中的数据，可以计算出私家车所在扇形的圆心角的度数；
根据频数分布表中的数据，可以计算出步行的学生的人数．
本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是求出本次调查的人数，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：如图中，线段即为所求作．
如图中，点即为所求作．
如图中，线段即为所求作．

 

【解析】取格点，连接交于点，线段即为所求作．
取格点，，连接交于点，点即为所求作．
取格线的中点，连接，取格点，格线的中点，连接交于点，线段即为所求作．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：，
，
，切于，，
，
，
，，
，
．

解：，，
，
是的直径，
，是的切线，
，，
，
，
，
同法可证：，
，，
是的中位线，
，
，
是等边三角形，
，
，
，设，则，，，
，
．
 

【解析】只要证明即可解决问题．
想办法证明是等边三角形，证明，设，则，，，求出即可解决问题．
本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，
由题意得：当时，；当时，；
，
解得：，．
，
答：与之间的函数关系式为；
解：由题意得：，
解得：，
设每日销售利润为元，
，
，
开口向下，
对称轴为直线，，
随的增大而增大，
当时，利润最大为元，
答：每日销售的最大利润为元；
解：设成本每斤减少元后每日销售利润为元，则，
对称轴为：直线，
，
，
，
当时，利润最大，
，
解得：，不合题意舍去，
答：的值为．
 

【解析】由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，把和代入即可求出结果；
由每天销售利润率不低于，且不高于可求出的取值范围，设每日销售利润为元，利用二次函数模型即可求出最大利润；
设成本每斤减少元后每日销售利润为元，由和确定当时，利润最大，从而得出关于的方程，解出方程即可求得的值．
本题考查了一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键．
 

23.【答案】解：四边形是矩形，
，，
将矩形沿翻折，使点恰好落在边上点处．
，，，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
又，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
如图，过点作于，

平分，，，
，
又，
≌，
，
，
，
，
，，
∽，
，
设，，
，，，，
，
，
，
，
．
 

【解析】由折叠的性质可得，，由锐角三角函数可求，即可求解；
通过证明∽，可得，可求的长，在直角三角形中，由勾股定理可求，即可求解；
通过证明∽，可得，设，，由线段关系求出，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质找出线段关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：对于，
当时，，令，解得或，令，则，
故点、、的坐标分别为、、；
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为；
，故设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式并解得，
故直线的表达式为，
设点、的坐标分别为、，
则点、的坐标分别为、，
则，
同理可得：，
以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，
，即，
解得；

对于，令，解得，令，则，
故点、的坐标分别为、，点，
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为，
故设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得：，
联立并整理得：，
，解得，
，、、共线，
，即，
解得．
 

【解析】用待定系数法即可求解；
设点、的坐标分别为、，则点、的坐标分别为、，则，
同理可得：，进而求解；
求出直线的表达式为，直线的表达式，联立抛物线的直线的表达式得：，求出，由，得到，进而求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．