2022届中考数学二轮专题复习-相似三角形解析版

这是一份2022届中考数学二轮专题复习-相似三角形解析版，共45页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

中考数学二轮专题复习-相似三角形
一、单选题
1．若 且相似比为1：4，则 与 的面积比为（　　）
A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1
2．如图，D是BC上的点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是（　　）

A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC
C．△ABD∽△ACD D．以上都对
3．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2m，并测得，，那么树DB的高度是（　　）

A．6m B．8m C．32m D．25m
5．如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（　　）

A． B．
C．是的中点 D．
6．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，且BE：CE＝1：3，DE交AC于点F，若DE＝10，则CF等于()

A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）

A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：49
8．如图， 与 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A是 的中点， 的面积是6，则 的面积为（　　）

A．9 B．12 C．18 D．24
9．如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，若 ， ，则 与 的面积的比是（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在 ABC中，DE BC，EF AB，下列等式成立的是（　　）

A． B． C． D．
11．直角三角形中，，三个正方形如图放置，边长分别为，，，已知，，则的值为（　　）

A．4 B． C．5 D．6
12．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（　　）cm．

A． B．5 C． D．8
13．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图象于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（　　）

A．逐渐变大或变小 B．等于定值16
C．等于定值8 D．另有答案
14．如图△ACB，∠ACB=90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E. 记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当 ＝ 时，则 的值是（　　）

A． B． C． D．
15．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上.已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则 为（　　）

A． B． C． D．
17．如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点（不与点C、D重合），以CE为边向右作正方形CEFG，连接AF，点H是AF的中点，连接DH、CH．下列结论：①△ADH≌△CDH；②AF平分∠DFE；③若BC＝4，CG＝3，则AF＝5；④若，则．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．
19．如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为A'，B'，连接并延长交线段于点，则的值为（　　）

A． B． C． D．
20．如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），，分别表示四边形和的面积，则的最大值是（　　）

A． B．1 C． D．
二、填空题
21．若 ， ， 的面积为 ，则 的面积为　 　 .
22．若D为中边上一点，且EDBC交于E，，若与的相似比为，则　 　.
23．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB= 　 　cm

24．如图，中，，点、、分别在、、上，且四边是正方形.若，，，，则　 　.

25．如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离点N18米的点A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到点C ，此时从镜子中恰好看到楼顶的点M，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则高楼MN的高度是　 　.

26．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为　 　．

27．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD.有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD= AE2；④S△ABC=4S△ADF.其中正确的有　 　.

28．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角 和等腰直角 ，CD与BE、AE分别交于点P，M.对于下列结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的结论有　 　.（写出所有正确结论的序号）

29．在菱形中，，，，相交于点．将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形的顶点处，绕点左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边，相交于点，，连接与相交于点．旋转过程中，当点为边的四等分点时（），　 　．

30．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值为　 　.

三、计算题
31．如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m，标杆FC=2.2m，且BC=1m，CD=5m，标杆FC、ED垂直于地面．求电视塔的高ED．

32．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BP，作PE⊥PB，交射线DC于点E，以线段PE，PB为邻边作矩形BPEF.过点P作GH⊥CD，分别交AB、CD于点G、H.

（1）求证：△PGB∽△EHP；
（2）求 的值；
（3）求矩形BPEF的面积的最小值.
四、解答题
33．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C ，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE BC.经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的宽度AB为多少米？

34．如图，在△ACB中，AC=30cm，BC=25cm．动点P从点C出发，沿CA向终点A匀速运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC向终点C匀速运动，速度是1cm/s．当△CPQ与△CAB相似时，求运动的时间．

35．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．

36．如图

问题背景如图（1），已知 ，求证： ；
尝试应用如图（2），在 和 中， ， ， 与 相交于点 ，点 在 边上， ，求 的值（提示；连接 ）；
拓展创新如图（3）， 是 内一点， ， ， ， ，直接写出 的长．
37．已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°.

提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；
类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由.
综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长.
38．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，对角线AC、BD相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿C→O→B运动．到点B停止，点Q沿A→D→C运动，到点C停止．连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为x（s）．

（1）填空：BO＝　 　cm；
（2）当PQ∥CD时，求x的值；
（3）当 时，求y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出在整运动过程中，使AQ＝PQ的所有x的值．
五、综合题
39．如图1，⊙O的弦BC=6，A为BC所对优弧上一动点且，的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E.

（1）求证：点P为的中点；
（2）如图2，求⊙O的半径和PC的长；
（3）若不是锐角三角形，求的最大值.
40．如图，在直角坐标系中，直线 与 轴、 轴的交点分别为 、 ，以 为对称轴的抛物线 与 轴分别交于点 、 .

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 .设抛物线的对称轴 与 轴交于点 ，连接 ，交 于 ，求出当以 、 、 为顶点的三角形与 相似时点 的坐标；
（3）点 是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由.

答案解析部分
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：16，
故答案为：C.
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解答即可.
【解析】【解答】解：∵∠ADC＝∠BAC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】题干给出了∠ADC＝∠BAC，结合公共角∠ACD=∠BCA，然后结合相似三角形的判定定理进行判断.
【解析】【解答】解：∵△ABO∽△CDO，BO＝8，DO＝4，CD＝3，
∴，即，
∴AB=6．
故答案为：D．

【分析】根据题意已知BO＝8，DO＝4，CD＝3，再利用相似三角形的性质即可得出答案。
【解析】【解答】解：由题意可得，CE∥BD，
∴
∴
即
解得BD＝8m，
故答案为：B．

【分析】先证明，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入计算即可。
【解析】【解答】解：A. ，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到 ∽ ，不合题意；
B. ，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到 ，从而有 ∽ ，不合题意；
C.P是BC的中点，无法判断 与 相似，符合题意；
D. ，根据正方形性质得到 ，又∵∠B=∠C，则 ∽ ，不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据正方形性质得到∠B=∠C，结合∠APB=∠EPC以及相似三角形的判定定理可判断A；根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等可得∠APB=∠PEC，据此判断B；根据正方形的性质可得AB：BP=EC：PC=3：2，∠B=∠C=90°，据此判断D.
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝DC
∵BE：CE＝1：3，
∴EC：BC＝3：4
∵DE＝10
∴设EC＝3x，则BC＝4x
在Rt△DCE中，有100＝(3x)2+(4x)2，解得x＝2
则EC＝6，DC＝8
同理得，AC＝8
∵易证△FEC∽△FDA
∴ ，
∴FA＝ FC
∵AC＝AF+FC
∴8 ＝FC+ FC，
得FC＝
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质可得BC＝DC，结合已知条件可设EC＝3x，则BC＝4x，在Rt△DCE中，由勾股定理可得x，进而可得EC、CD、AC，易证△FEC∽△FDA，根据相似三角形的性质表示出FA，然后根据AC＝AF+FC就可求出FC.
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：CE＝3：4，
∴DE：CD＝3：7，
∴DE：AB＝3：7，
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
∴S△DEF：S△ADF：＝3：7，S△DEF：S△ABF＝（ ）2＝ ，
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于9：21：49.
故答案为：C.

【分析】根据平行四边形性质得AB＝CD，AB∥CD，再由DE：CE＝3：4，进一步求得DE：AB＝3：7，由AB∥CD，易得△DEF∽△BAF，根据相似性质得 ，即得S△DEF：S△ADF：＝3：7，再由面积比等于相似比得S△DEF：S△ABF＝9：49 ，即可求出S△DEF：S△ADF：S△ABF的比.
【解析】【解答】解：由题意知两位似三角形 和 的相似比为
∴
∵
∴
故答案为：D.
【分析】根据点A为OA′的中点可得位似图形的相似比，然后根据相似三角形的性质进行解答.
【解析】【解答】解： ， ，
则 与 的位似比为 ，
与 的相似比为
则 与 的面积比为
故答案为：D.
【分析】根据点B、D的坐标可得△OAB、△OCD的位似比，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，EF∥AB，
∴AD：DB=AE：EC，AE：CE=BF：CF，
∴ ，所以A选项的等式成立；
B、∵DE∥BC，
∴ ，所以B选项的等式不成立；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，所以C选项的等式不成立；
D、∵DE∥BC，
∴ ，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
∴ ，所以D选项的等式不成立.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可判断A、B；易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可判断C；根据DE∥BC结合平行线分线段成比例的性质可得 ，证明△CEF∽△CAB，然后结合相似三角形的性质可判断D.
【解析】【解答】解：如图，先标注顶点，直角三角形ABC中，∠C=90°，放置边长分别为a，b，c的正方形，且a=2，b=3，




∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴，
∵MO=2，PN=3，EF=c，
∴OE=c-2，PF=C-3，
∴，
解得：c=5或0，经检验0不符合题意舍去，
∴c=5，
故答案为：C．

【分析】先证明△CEF∽△OME∽△PFN， 再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入可得，再求出c的值即可。
【解析】【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB=OD，
∵∠OBF=∠ODE，∠BOF=∠DOE，
∴△BOF≌△DOE，
∴OE=OF，
∵∠OBF=∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴，
∵BD==10，
∴BO=5，
∴FO=5×=，
∴EF=2FO=（cm）．
故答案为：C．
【分析】先证明△BOF≌△DOE，可得OE=OF，再证明△BOF∽△BAD，可得，由勾股定理求出BD=10，然后代入比例式求出OF，由EF=2FO即可求解.
【解析】【解答】解：如图，

由题意，S△PCO=×2=1，S矩形ACOD=6，
∴，
∴，即，
∵AB∥x轴，
∴∠POC=∠PBA，∠PCO=∠PAB，
∴△PCO∽△PAB，
∴，
∴S△PAB=16S△PCO=16，即△PAB的面积等于定值16，
故答案为：B．

【分析】先求出，即可得到，再证明△PCO∽△PAB，最后利用相似三角形的性质可得，最后计算可得S△PAB=16S△PCO=16。
【解析】【解答】解：过点O作OF∥AE交CB于点F，

∵CD平分∠BCO，AE⊥CD，
易证△CEG和△COF是等腰三角形，
∴CG=CE，CO=CF，
∴OG=EF，
∵ ＝
设△ABE的面积为20a，则S1=8a，S2=20a，
∵OF∥AE
∴△OBF∽△AEB，
∴，
∴S△OBF=5a，

∵OF：AE=1：2
∴AE=2OF，
∴
∴
∴
设CE=2x，则CF=5x，EF=OG=3x，
∴BF=3x，
∴BC=CE+EF+BF=2x+3x+3x=8x，
∴.
故答案为：D.
【分析】过点O作OF∥AE交CB于点F，利用已知条件CD平分∠BCO，AE⊥CD，可证得△CEG和△COF是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可推出OG=EF，利用两三角形的面积之比，设△ABE的面积为20a，则S1=8a，S2=20a；利用OF∥AE，可证得△OBF∽△AEB，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△OBF的面积；同时可证得AE=2OF；再利用三角形的面积公式可得到AE与AG的比值及GE与OF的比值；然后利用相似三角形的判定和性质，可得到CE与CF的比值，设CE=2x，则CF=5x，EF=OG=3x，可得到BF=3x，由此可表示出BC的长；最后求出OG与BC的比值.
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，CD∥AB
∵DE∥BC
∴∠DEF=∠CBF
又∵∠DFE=∠CFB
∴△DEF △CBF
∴ ，所以B选项结论正确；
∵DF∥AB
∴∠DFE=∠ABE
又∵∠DEF=∠AEB
∴△EDF∼△EAB
∴ ，所以C选项错误；
，所以A选项的结论正确；
∵ BC∥AD
∴
所以D选项的结论正确.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，CD∥AB，根据平行线的性质可得∠DEF=∠CBF，证明△DEF ∽△CBF，据此判断B；证明△EDF∼△EAB，据此判断C、A；根据平行线分线段成比例的性质可判断D.
【解析】【解答】解：如图，延长AB交PN于点R，延长BA交MQ于点L，连结AG、CJ，设BK＝m，

∵四边形BCFG和四边形ABJH都是正方形，四边形BJIK是矩形，
∴BG＝BC，BA＝BJ，∠CBG＝∠ABJ＝90°
∴∠ABG＝∠JBC＝90°+∠ABC，
∴△ABG≌△JBC（SAS），
∴S△ABG＝S△JBC，
∵S△ABG＝ BG•BC＝ S正方形BCFG，S△JBC＝ BJ•BK＝ S矩形BJIK，
∴ S正方形BCFG＝ S矩形BJIK，
∴BC2＝S正方形BCFG＝S矩形BJIK＝1，
∴BC＝1，
∵四边形ACDE是正方形，且AC2＝S正方形ACDE＝4，
∴AC＝2，
∵CI⊥HJ于点I，交AB于K，AB∥HJ，
∴∠CKB＝∠CIJ＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CKB＝∠ACB，
∵∠CBK＝∠ABC，
∴△CBK∽△ABC，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴CK＝2BK＝2m，
∵∠AKC＝∠ACB＝90°，∠CAK＝∠BAC，
∴△ACK∽△ABC，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴AK＝2CK＝4m，
∵四边形MNPQ和四边形BJIK都是矩形，
∴∠M＝∠N＝∠P＝∠Q＝∠PRL＝90°，
∴∠LRN＝90°，
∴四边形MNRL和四边形PQLR都是矩形，
∴∠ALQ＝90°，
∵∠AHJ＝90°，
∴∠AHQ＝90°，
∴四边形AHQL是矩形，
∴QL＝AH＝AB＝m+4m＝5m，
∵∠M＝∠ELA＝∠AKC＝∠AED＝∠CAE＝90°，
∴∠MED＝90°﹣∠AEL＝∠LAE＝90°﹣∠CAK＝∠KCA，
∵DE＝EA＝AC，
∴△DEM≌△EAL≌△ACK（AAS），
∵EM＝AL＝CK＝2m，EL＝AK＝4m，
∴MQ＝2m+4m+5m＝11m，
∵∠BRG＝∠CKB＝∠CBG＝90°，
∴∠BGR＝90°﹣∠GBR＝∠CBK，
∵BG＝BC，
∴△BGR≌△CBK（AAS），
∴BR＝CK＝2m，
∴MN＝LR＝2m+5m+2m＝9m，
∴ ，
故答案为：D.

【分析】延长AB交PN于点R，延长BA交MQ于点L，连结AG、CJ，设BK＝m，先根据“SAS”定理证明△ABG≌△JBC，推出BC2＝S正方形BCFG＝S矩形BJIK＝1，得BC＝1，再由四边形ACDE是正方形，且AC2＝S正方形ACDE＝4，得AC＝2；再通过相似三角形判定定理证明△CBK∽△ABC，△ACK∽△ABC，由相似三角形对应比成比例推出CK=2BK=2m，AK=2CK=4m；再证明出四边形MNRL、四边形PQJR和四边形AHQJ都为矩形，则QL＝AH＝=AB=5m；再根据“AAS”定理证明△DEM≌△EAL≌△ACK，可得EM=AL=CK=2m，EL=AK=4m，可求得MQ=11m；再由“AAS”定理证明△BGR≌△CBK，可得BR=CK=2m，可求得MN=9m，可求得，即可解决问题.
【解析】【解答】解：连接，，如图，

四边形和四边形为正方形，
，．
．
是的中点，
．
在和中，
，
．
①的结论符合题意；
，
，
若平分，则必须，即需要，
点是边上的动点（不与点、重合），
与不一定相等，
不一定成立，
平分不一定成立，
②的结论不符合题意；
延长交于点，如图，

则，，，，
，，
．
③的结论不符合题意；
，
．
．
，
．
．
④的结论不符合题意．
综上所述，只有①的结论符合题意，
故答案为：A．
【分析】结合图形，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等对每个结论一一判断即可。
【解析】【解答】解：连接AF，

∵，，为中点，
∴，
∴点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，
在AB上取点G，使得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，
在中，，
故答案为：D．
【分析】连接AF，由直角三角形斜边中线的性质求出AF=DE=3，从而得知点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，在AB上取点G，使得，当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，求出此时CG的长即可.
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥AD于点H，

∵点，的对应点分别为A'，B'，
∴，，
∴EF是AA＇的垂直平分线．
∴∠AOE=90°．
∵四边形是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．
∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，
∴∠AEO=∠AGD．
∵FH⊥AD，
∴∠FHE＝∠D＝90°．
∴△EFH∽△GAD．
∴．
∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABFH是矩形．
∴FH＝AB．
∴；
故答案为：A．
【分析】过点F作FH⊥AD于点H，利用两角对应相等求证△EFH∽△GAD，即可得出结论。
【解析】【解答】解：过O作MN∥BC交AB于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E

∵O是△ABC的重心，
∴，D是BC中点
∴BD=CD，
∵MN∥BC
∴
∴，
∴
∵ME∥AB
∴
∴
∴
设
∴
∴





∴
∵x为定值
∴当y越小时值越大
∴当时最大，此时GH∥BC
故答案为：A.
【分析】过O作MN∥BC交AN于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E，根据三角形重心的性质得BD=CD，，证得，利用AAS证，根据全等三角形性质得，设可得故=，，即得，由于x为定值，当y越小时比值越大，可得当y=0时比值越大.
【解析】【解答】解：∵ ，
，
∴ ，
即 ，
解得：△A′B′C′的面积= （cm2）.
故答案为： .
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
【解析】【解答】解：∵ED∥BC，△ADE与△ABC的相似比为，
∴，
∵，
∴.
故答案为：5.
【分析】根据相似三角形的相似比可得，然后结合AC的值可得AE的值.
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥CD于点M，过点O作ON⊥AB于点N，

∵AB∥CD，
∴△COD∽△AOB，
∴，
∴，
∴AB=3cm，
故答案为：3.
【分析】过点O作OM⊥CD于点M，过点O作ON⊥AB于点N，根据高脚杯前后的两个三角形相似，得出 ，代入数值进行计算，即可得出AB的长.
【解析】【解答】解：设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，
所以BD= ，
∵ED∥AC，
∴∠BED=∠A，
∴Rt△BED∽Rt△EAF，
∴BD：FE=BE：AE，即 ：x=3：4，
解得x= ，
∴BD= ，
∴S△BDE= BD•ED= • • = ，
∵=（ ）2，
∴S△AFE= ，
∴S1+S2= + =6.
故答案为：6.
【分析】设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，利用勾股定理可得BD，证明△BED∽△EAF，根据相似三角形的性质可得x，进而求出BD，根据三角形的面积公式可得S△BDE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△AFE，据此计算.
【解析】【解答】解：由题意得：BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C＝∠MNA＝90°，
由光的反射原理可得：∠BAC＝∠MAN，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，
∴MN＝19.2米.
故答案为：19.2米.
【分析】由题意得：BC⊥CA，MN⊥AN，根据垂直的概念可得∠C＝∠MNA＝90°，由光的反射原理可得：∠BAC＝∠MAN，证明△BCA∽△MNA，然后根据相似三角形的性质进行计算.
【解析】【解答】解：设，，则
由题意知，
∴
∴
∴
解得
∴
∴


故答案为：5.
【分析】设A（a，），F（0，m），则B（，），由题意知∠BEF=∠DOF=90°，∠BFE=∠DFO，证明△BEF∽△DOF，根据相似三角形的性质可得m=，则EF=，然后根据三角形的面积公式进行计算.
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD= AB，FE= AB，
∴FD=FE，①正确；
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
在△AEH和△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ ，即BC•AD=AB•BE，
∵ AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，
∴BC•AD= AE2；③正确；
∵F是AB的中点，BD=CD，
∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF，④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据高线的概念可得∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，由直角三角形斜边上中线的性质可得FD=AB，FE= AB，据此判断①；根据等角的余角相等可得∠ABC=∠C，结合等腰三角形的性质可得BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，证明△AEH≌△BEC，得到AH=BC，据此判断②；证明△ABD～△BCE，利用相似三角形的性质可判断③；根据等底等高的三角形面积相等可判断④.
【解析】【解答】解：∵ 和 都为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ ，即 ，故③正确；
如图，设BE与AC相交于O，则 ，

∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误.
综上，可知正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AC= AB，AD=AE，根据角的和差关系可得∠BAE=∠CAD，然后利用相似三角形的判定定理可判断①；根据相似三角形的性质可得∠BEA=∠CDA，证明△PME∽△AMD，据此判断②；证明△PMA∽△EMD，得到∠APD=∠MED=90°，证明△CAP∽△CMA，利用相似三角形的性质可判断③；设BE与AC相交于O，则∠AOB=∠POC，根据相似三角形的性质可得∠ABE=∠ACD，则∠CPB=∠BAC=45°，结合特殊角的三角函数值可判断④.
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴△AOB为直角三角形，且OA＝AC＝2，OB＝BD＝．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝．
∵AB＝BC＝AC＝4，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°，∠ACE＝∠EBA＝∠FCA＝60°，
又∵∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF．
在△ABE与△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°，
∵BC＝4，E为为边BC的四等分点，且BE＞CE，
∴CE＝1，BE＝3．
∴CF＝BE＝3，
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA＝∠GFC+∠FCG+∠CGF＝180°，∠AEG＝∠FCG＝60°，∠EGA＝∠CGF，
∴∠EAC＝∠GFC．
又∵∠ACE＝∠FCG＝60°，
∴△CAE∽△CFG，
∴＝，即＝，
解得：CG＝；
故答案为 ．

【分析】先求出四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，△AOB为直角三角形，且OA、OB，在Rt△AOB中，由勾股定理得AB；则AB＝BC＝AC，可得△ABC与△ACD均为等边三角形，然后证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质证明△AEF是等边三角形，再证△CAE∽△CFG，用相似三角形的性质求出CG。
【解析】【解答】解：如图，在AC上截取一点M，使得CM=.连接DM，AD.

∵CD=2，CM=，CA=3，
∴CD2=CM•CA，
∴，
∵∠DCM=∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴，
∴DM=AD，
∴BD+AD=BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，
∴最小值=.
故答案为：.
【分析】在AC上截取一点M，使得CM=，连接DM，BM，根据线段的长求出，则可
证△DCM∽△ACD，列比例式求出DM=AD，从而把BD+AD转化成BD+DM，则知当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最后根据勾股定理求最小值BM长即可.
【解析】【分析】作AH⊥ED交FC于点G；把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
【解析】【分析】（1）利用两组角对应相等的两个三角形相似证得结论；
（2）首先根据确定圆条件得出 P，B，E，C四点共圆，然后根据圆周角定理得出 ∠PBE＝∠PCE， 从而利用两组角对应相等的两个三角形相似判断出 Rt△BPE∽Rt△ADC ，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（3）利用勾股定理AC的长，根据三角函数的定义，由 cos∠GAP＝ ＝ ＝ 表示出AG，由 sin∠GAP＝ ＝ ＝ 表示出GP，从而利用勾股定理表示出PB2，根据矩形的面积公式得出二次函数，再利用二次函数的性质即可解决问题.
【解析】【分析】 由BC∥DE可证△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
【解析】【分析】分两种情况：①当△CPQ∽△CAB时，②当△CPQ∽△CBA时，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
【解析】【分析】先证明△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可。
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，结合题意，证明得到答案即可；
（2）根据题目，证明得到△ABC∽△ADE，根据（1）中相似三角形的结论，求出答案即可；
（3）证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质，求出BM=6，继而由直角三角形的性质求出AD的长度即可。
【解析】【分析】提出问题：根据AAS可证△DBA≌△CAB，可得AD＝BC；
类比探究：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E，可得∠ADB＝∠AEB.根据AAS可证△DBA≌△EAB，可得BE＝AD . 由∠BEC＝∠BCE，可得BC＝BE，从而求出AD＝BC.
综合运用：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.由（2）得，AD＝BC＝BE＝1.根据两角分别相等可证△CBE∽△CFB.，可得 ＝ ，令CE＝x，可得1＝x（x+1），解出方程即得CF的长，继而求出AC的长.
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，可求出AC的长，利用矩形的对角线互相平分，可得BO=BD，从而求出BO的长.
（2）根据平行线可证△APQ∽△ACD， 利用相似三角形的对应边成比例，可得 ，即得 ,求出x值即可.
（3）运动过程分三个阶段，①如图2，当 时，过点P作PE⊥AD，垂足为点E；②如图3，当4＜x≤5时，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，延长FP交CD于点G， 可得PF∥AD；③如图4，当5＜x≤7时，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，则QH＝AD＝4.分别根据相似三角形的判定与性质进行解答即可；
（4）分三种情况讨论，①当点P在OC上时，如图5 ，②当Q与D重合时，如图6，③当点P停止运动，Q运动到CD的中点时，如图7， 分别求解即可.

【解析】【分析】（1）证明方法1：根据圆内接四边形的性质可得∠PBC=∠PAF，根据角平分线的概念可得∠PAB=∠PAF，推出，据此证明；
证明方法2：连接OB、OC、OP，易得∠PAF=∠PBC，∠BOC=2∠BAC，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OBC=90°-∠BAC，则∠PBO=∠PAF+∠BAC-90°，∠POB=180°-∠BAC，根据周角的概念可得∠POC=180°-∠BAC，推出∠POB=∠POC，据此证明；
（2）连接BO，CO，PO并延长交BC于M，连接PC，由题意知PM垂直平分BC，则∠PMB=90°，∠BOM=∠COM=∠BAC，BM=CM=3，根据∠BOM的正弦函数可得OB，利用勾股定理求出OM、PC，据此解答；
（3）易证△ABP∽△AEC，根据相似三角形的性质可得PA·AE=AB·AC，作CQ⊥AB于Q，根据三角函数的概念表示出CQ，进而得到S△ABC，易知当A运动到使∠ACB=90°时，△ABC的面积最大，此时AB为直径，由勾股定理求出AC，然后求出PA·AE，据此解答.
【解析】【解答】解：（3）点N的坐标为：以线段AB为边时，N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），
以线段AB为对角线时，N3（﹣2，3）.
综上所述，点N的坐标分别是：N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），N3（﹣2，3）.
【分析】（1）根据直线方程易求点A的坐标，由抛物线的对称性可以求得点C的坐标，然后写出抛物线的交点式方程即可；
（2）需要分类讨论：①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（−1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB．过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△CGD．根据相似三角形的对应边成比例列出关于t的一元二次方程：−t2＋2t＋3＝3（−1−t），通过解该方程求得t的值；
（3）根据以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论进行：①以AB为边时，点A与点N或点B与点N为对应顶点，再根据平行四边形性质，对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求出符合条件的N坐标；②以AB为对角线时,点A与点B对应顶点，M和N为对应顶点，再根据平行四边形性质，对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求出符合条件的N坐标，即可求解.