2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试卷

这是一份2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）若x与3互为相反数，则|x|+3等于（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）2＝a2 B．a6﹣a2＝a4
C．﹣3a2+6a2＝3a4 D．（a2）3＝a5
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
4．（3分）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（　　）

A．∠2＝∠4+∠7 B．∠3＝∠1+∠6
C．∠1+∠4+∠6＝180° D．∠2+∠3+∠5＝360°
5．（3分）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x人，女孩有y人，则下列方程组正确的是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）王师傅驾车到某地办事，洗车出发前油箱中有50升油．王师傅的车每小时耗油12升，行驶3小时后，他在一高速公路服务站先停车加油26升，再吃饭、休息，此过程共耗时1小时，然后他继续行驶，下列图象大致反映油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（　　）

A．（b+2a，2b） B．（﹣b﹣2c，2b）
C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c） D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）
8．（3分）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（　　）

A．0.5 B．0.7 C．﹣1 D．﹣1
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（　　）

A．3 B．4 C．4.8 D．5
10．（3分）小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝b．你认为其中正确信息的个数有（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分，
11．（4分）分解因式3a2﹣3b2＝　 　．
12．（4分）若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是　 　．
13．（4分）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则△ABC的周长是　 　．
14．（4分）如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为　 　．

15．（4分）如图，已知P为等边△ABC形内一点，且PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝5cm，则图中△PBC的面积为　 　cm2．

16．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2，P为线段AB上一动点，且不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AD于点E，将∠A沿PE折叠，点A落在直线AB上点F处，连接DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长是　 　．

三、解答题：本大题有7个小题，共66分.
17．如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．

（1）求被墨水污染的部分；
（2）原分式的值能等于吗？为什么？
18．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）：
七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98
八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98
整理得到如下统计表
年级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
七年级
98
94
a
m
7.6
八年级
98
n
94
93
6.6
根据以上信息，完成下列问题
（1）填空：a＝　 　；m＝　 　；n＝　 　；
（2）两个年级中，　 　年级成绩更稳定；
（3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．
19．我们把有两边对应相等，且夹角互补（不相等）的两个三角形叫做“互补三角形”，如图1，▱ABCD中，△AOB和△BOC是“互补三角形”．
（1）写出图1中另外一组“互补三角形”　 　；
（2）在图2中，用尺规作出一个△EFH，使得△EFH和△EFG为“互补三角形”，且△EFH和△EFG在EF同侧，并证明这一组“互补三角形”的面积相等．

20．跳跳一家外出自驾游，出发时油箱里还剩有汽油30升，已知跳跳家的汽车没百千米平均油耗为12升，设油箱里剩下的油量为y（单位：升），汽车行驶的路程为x（单位：千米），
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若跳跳家的汽车油箱中的油量低于5升时，仪表盘会亮起黄灯警报．要使邮箱中的存油量不低于5升，跳跳爸爸至多能够行驶多少千米就要进加油站加油？
21．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连接DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．
（1）求点A的坐标．
（2）求抛物线的表达式．
（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．

23．如图：AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：DF＝DG；
（3）若∠ADG＝45°，DF＝1，则有两个结论：①AD•BD的值不变；②AD﹣BD的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．


2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）若x与3互为相反数，则|x|+3等于（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
【分析】先根据相反数的定义求出x的值，再根据绝对值的性质进行求解．
【解答】解：∵x与3互为相反数，
∴x＝﹣3，
∴|x|+3＝|﹣3|+3＝3+3＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了互为相反数的定义，绝对值的性质，是基础题，比较简单．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）2＝a2 B．a6﹣a2＝a4
C．﹣3a2+6a2＝3a4 D．（a2）3＝a5
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项和同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、（﹣a）2＝a2，正确；
B、a6﹣a2，无法计算，故此选项错误；
C、﹣3a2+6a2＝3a2，故此选项错误；
D、（a2）3＝a6，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点A'坐标，再利用平移的性质得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，
∴A′（1，2），
∵将点A'向下平移4个单位，得到点A″，
∴点A″的坐标是：（1，﹣2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解题关键．
4．（3分）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（　　）

A．∠2＝∠4+∠7 B．∠3＝∠1+∠6
C．∠1+∠4+∠6＝180° D．∠2+∠3+∠5＝360°
【分析】根据对顶角的性质得出∠1＝∠AOB，再用三角形内角和定理得出∠AOB+∠4+∠6＝180°，即可得出答案．
【解答】解：∵四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，
∵∠1＝∠AOB，
∵∠AOB+∠4+∠6＝180°，
∴∠1+∠4+∠6＝180°．
故选：C．

【点评】此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．
5．（3分）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x人，女孩有y人，则下列方程组正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多1倍，进而分别得出等式即可．
【解答】解：设男孩x人，女孩有y人，根据题意得出：
，
解得：，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用已知得出正确等量关系是解题关键．
6．（3分）王师傅驾车到某地办事，洗车出发前油箱中有50升油．王师傅的车每小时耗油12升，行驶3小时后，他在一高速公路服务站先停车加油26升，再吃饭、休息，此过程共耗时1小时，然后他继续行驶，下列图象大致反映油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】找准几个关键点，3小时后的油量、然后加油、吃饭、休息这1小时后油量增多26升、然后油量再下降．
【解答】解：根据题意可得：油量先下降到14升，然后加油，油量上升，加油、吃饭、休息的这一小时，油量不减少，然后开始行驶，油量降低．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（　　）

A．（b+2a，2b） B．（﹣b﹣2c，2b）
C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c） D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）
【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．由△CBH∽△BAO，推出＝＝＝2，推出BH＝﹣2a，CH＝2b，推出C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得＝，推出＝，推出FH＝2c，可得C（﹣b﹣2c，2b），因为2c+2b＝﹣2a，推出2b＝﹣2a﹣2c，b＝﹣a﹣c，可得C（a﹣c，﹣2a﹣2c），由此即可判断；
【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．

∵tan∠BAC＝＝2，
∵∠CBH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠OAB＝90°，
∴∠CBH＝∠BAO，∵∠CHB＝∠AOB＝90°，
∴△CBH∽△BAO，
∴＝＝＝2，
∴BH＝﹣2a，CH＝2b，
∴C（b+2a，2b），
由题意可证△CHF∽△BOD，
∴＝，
∴＝，
∴FH＝2c，
∴C（﹣b﹣2c，2b），
∵2c+2b＝﹣2a，
∴2b＝﹣2a﹣2c，b＝﹣a﹣c，
∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8．（3分）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（　　）

A．0.5 B．0.7 C．﹣1 D．﹣1
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，由此即可判断．
【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，

观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，
当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（　　）

A．3 B．4 C．4.8 D．5
【分析】首先延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，由菱形的性质，可求得OE的长，证得AC是⊙M的切线，然后由切线长定理，求得EN的长，易证得△DMN∽△DEO，△EFC∽△PFB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，
∵AE＝5，EC＝3，
∴AC＝AE+CE＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝4，AC⊥BD，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣3＝1，
∵以OB为直径画圆M，
∴AC是⊙M的切线，
∵DN是⊙M的切线，
∴EN＝OE＝1，MN⊥AN，
∴∠DNM＝∠DOE＝90°，
∵∠MDN＝∠EDO，
∴△DMN∽△DEO，
∴DM：MN＝DE：OE，
∵MN＝BM＝OM＝OB，
∴DM＝OD+OM＝3MN，
∴DE＝3OE＝3，
∵OE∥BP，
∴OD：OB＝DE：EP，
∵OD＝OB，
∴DE＝EP＝3，
∴BP＝2OE＝2，
∵OE∥BP，
∴△EFC∽△PFB，
∴EF：PF＝EC：BP＝3：2，
∴EF：EP＝3：5，
∴EF＝EP×＝1.8，
∴DF＝DE+EF＝3+1.8＝4.8．
故选：C．

【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的判定与性质、菱形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
10．（3分）小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝b．你认为其中正确信息的个数有（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝﹣，
∴3b＝2a，则a＝b，
∴b＜0，
∵图象与x轴交与y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；
②由图象可得出：当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故选项②正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴b﹣b+c＞0，
∴b+2c＞0，故选项③正确；
④抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0，
故选项④错误．
故正确的有3个．
故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分，
11．（4分）分解因式3a2﹣3b2＝　3（a+b）（a﹣b）　．
【分析】提公因式3，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】解：3a2﹣3b2
＝3（a2﹣b2）
＝3（a+b）（a﹣b）．
故答案是：3（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（4分）若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是　4　．
【分析】先根据平均数的定义求出a的值，然后根据中位数的定义求解．
【解答】解：一组数据4，a，7，8，3的平均数是5
∴4+a+7+8+3＝5×5
解得：a＝3
从小到大排列为：3，3，4，7，8
第3个数是4，
∴这组数据的中位数为4．
故答案为：4．
【点评】考查平均数与中位数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
13．（4分）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则△ABC的周长是　8　．
【分析】先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0可得x＝3或x＝5，
∴△ABC的第三边为3或5，
但当第三边为5时，2+3＝5，不满足三角形三边关系，
∴△ABC的第三边长为3，
∴△ABC的周长为2+3+3＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查三角形三边关系和一元二次方程的解法，利用三角形三边关系进行验证是解题的关键．
14．（4分）如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为　2+　．

【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC＝1、OA＝OB＝2，从而得出OC＝＝、BC＝OB﹣OC＝2﹣，在Rt△ABC中，根据tan∠ABO＝可得答案．
【解答】解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，

则AC＝1，OA＝OB＝2，
∵在Rt△AOC中，OC＝＝＝，
∴BC＝OB﹣OC＝2﹣，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABO＝＝＝2+．
故答案是：2+．
【点评】本题主要考查解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO为内角的直角三角形是解题的关键．
15．（4分）如图，已知P为等边△ABC形内一点，且PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝5cm，则图中△PBC的面积为　4+3　cm2．

【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BKA，可得△KBP为等边三角形，KP＝4，因为AP2+KP2＝AK2，可得∠APK＝90°，所以∠APB＝150°，作BH⊥AP于H，则∠BPH＝30°，根据△PBC的面积＝△AKB的面积＝S△APK+S△BPK﹣S△APB即可得出△PBC的面积．
【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BKA，
则PB＝BK＝4，AK＝PC＝5，∠PBK＝60°，
∴△KBP为等边三角形，
∴∠KPB＝60°，KP＝4，
∵AP＝3，
∴AP2+KP2＝AK2，
∴∠APK＝90°，
∴∠APB＝150°，
作BH⊥AP于H，则∠BPH＝30°，
∴BH＝BP＝2，
∴△PBC的面积＝△AKB的面积＝S△APK+S△BPK﹣S△APB＝．
故答案为：．

【点评】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握图形旋转的性质．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2，P为线段AB上一动点，且不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AD于点E，将∠A沿PE折叠，点A落在直线AB上点F处，连接DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长是　或1或．　．

【分析】如图1，当DF＝CD时，有一个解，如图2，当CF＝CD＝2时，有两个解，如图3中，当FD＝FC时有一个解，根据折叠变换的性质和直角三角形的性质分别求出即可．
【解答】解：如图1，当DF＝CD时，点F与A重合或在点F′处．
∵在菱形ABCD中，AB＝2，
∴CD＝AD＝2，
作DN⊥AB于N，
由折叠的性质得：此时点P与N重合，
在Rt△ADN中，∵AD＝2，∠DAN＝45°，DN＝AN＝NF′＝，
∴AP＝；
如图2，当CF＝CD＝2时，点F与B重合或在F′处，
∵点F与B重合，
∴PE是AB的垂直平分线，
∴AP＝AB＝1；
点F落在F'处时，AF'＝2+2，
∴AP＝AF'＝1+；
∵P在AB上，
∴AP＜2，AP＝1+，舍去
如图3中，当FD＝FC时，
AF＝+1，
∴AP＝AF＝+．
综上所述：当△CDF为等腰三角形时，AP的长为或1或．
故答案为：或1或．



【点评】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及分类讨论；熟练掌握折叠的性质是解题的关键，注意分类讨论．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分.
17．如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．

（1）求被墨水污染的部分；
（2）原分式的值能等于吗？为什么？
【分析】（1）根据分式的乘除混合运算的法则计算即可；
（2）根据分式有意义的条件即可得到结论．
【解答】解：（1）设被墨水污染的部分是A，
由题意得，÷＝，
解得A＝x﹣4；
故被墨水污染的部分为x﹣4；
（2）解：不能，若＝，
则x＝4，由原题可知，
当x＝4时，原分式无意义，
所以不能．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
18．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）：
七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98
八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98
整理得到如下统计表
年级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
七年级
98
94
a
m
7.6
八年级
98
n
94
93
6.6
根据以上信息，完成下列问题
（1）填空：a＝　94　；m＝　92　；n＝　94　；
（2）两个年级中，　八　年级成绩更稳定；
（3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．
【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解；
（2）根据方差的意义进行判断；
（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）a＝94；m＝92，
n＝（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94；
（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，
所以八年级的成绩稳定；
故答案为94，92，94；八；
（3）列表得：

乙
甲
A1
A2
B1
B2
A1

（A1，A2）
（A1，B1）
（A1，B2）
A2
（A2，A1）

（A2，B1）
（A2，B2）
B1
（B1，A1）
（B1，A2）

（B1，B2）
B2
（B2，A1）
（B2，A2）
（B2，B1）

共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，
∴P（这两人分别来自不同年级的概率）＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
19．我们把有两边对应相等，且夹角互补（不相等）的两个三角形叫做“互补三角形”，如图1，▱ABCD中，△AOB和△BOC是“互补三角形”．
（1）写出图1中另外一组“互补三角形”　△AOD和△DOC　；
（2）在图2中，用尺规作出一个△EFH，使得△EFH和△EFG为“互补三角形”，且△EFH和△EFG在EF同侧，并证明这一组“互补三角形”的面积相等．

【分析】（1）根据“互补三角形”可得结论；
（2）作EH∥FG，且EH＝FG，可得符合条件的△EFH，根据四边形EFGH是平行四边形可知：这一组“互补三角形”的面积相等．
【解答】解：（1）▱ABCD中，OA＝OC，
∵OD＝OD，∠AOD+∠COD＝180°，
∴△AOD和△DOC是“互补三角形”，
故答案为：△AOD和△DOC；
（2）如图所示，EH∥FG，且EH＝FG，则△EFH即为所求，

证明：连接GH，
∵EH∥FG，且EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴GH∥EF，
∴S△EFG＝S△EFH．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，搞清楚互补三角形的面积相等，知道同底边等高的两三角形面积相等，学会利用平移进行作图，属于中考常考题型．
20．跳跳一家外出自驾游，出发时油箱里还剩有汽油30升，已知跳跳家的汽车没百千米平均油耗为12升，设油箱里剩下的油量为y（单位：升），汽车行驶的路程为x（单位：千米），
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若跳跳家的汽车油箱中的油量低于5升时，仪表盘会亮起黄灯警报．要使邮箱中的存油量不低于5升，跳跳爸爸至多能够行驶多少千米就要进加油站加油？
【分析】（1）表示出油箱中油的剩余量，然后列出关系式即可；
（2）求出剩余油量是5升时的行驶里程，然后与两地间的距离比较即可判断．
【解答】解：（1）y关于x的函数表达式为：y＝﹣0.12x+30；
（2）当y≥5时，﹣0.12x+30≥5，
x≤
答：跳跳爸爸至多能够行驶千米就要进加油站加油．
【点评】本题考查了一次函数的应用，已知函数值求自变量的值，读懂题目信息，理解剩余油量的表示是解题的关键．
21．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；
求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；
解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；
（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B＝PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135°．
【解答】解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，
∴AE＝PE＝×＝1，
∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝．
②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A．
∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°
∴PP′＝PA＝2，
∴PD＝P′B＝＝＝；
解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的
延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝．
在Rt△PFG中，
可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝，FG＝．
在Rt△PDF中，可得，
PD＝＝＝．

（2）如图所示，

将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．
此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．




【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生充分发挥想象空间，确定P′B取得最大值时点P′的位置．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连接DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．
（1）求点A的坐标．
（2）求抛物线的表达式．
（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．

【分析】（1）令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，即可求解；
（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（3）以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，利用|MQ|＝BD即可求解．
【解答】解：（1）令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，y＝0，则x＝2，
即：点A坐标为：（4，0），
B点坐标为：（0，2）；
（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，
解得：b＝﹣，c＝﹣2，
故：二次函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
（3）设点M（m，﹣m+2），则Q（m，m2﹣m﹣2），
以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，
则：|MQ|＝±（m2﹣m﹣4）＝BD＝4，
当m2﹣m﹣4＝4，
解得：m＝1；
当m2﹣m﹣4＝﹣4，
解得：m＝2，m＝0（舍去）；
故：m＝2或1或1﹣．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
23．如图：AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：DF＝DG；
（3）若∠ADG＝45°，DF＝1，则有两个结论：①AD•BD的值不变；②AD﹣BD的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．

【分析】（1）先证∠DBC＝∠BAD，再证∠DBC+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°，可得出结论；
（2）如图1，连接DE，分别证∠BFD＝∠ABD，∠BFD＝∠DGC，则∠DFE＝∠DGE，因为D为△BCE内心，所以∠DEG＝∠DEB，可得△DEF≌△DEG，即可得出结论；
（3）先判断AD﹣BD的值不变，如图2，在AD上截取DH＝BD，连接BH、BG，先证，BD＝DH，再证△ABH∽△GBD，求出AH的长，即可证明AD﹣BD＝2．
【解答】（1）证明：连接DE，BG．
∵D为△BCE内心，
∴∠DBC＝∠DBE，
∵∠DBE＝∠BAD，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠BCG+∠CBD+∠GBD＝90°，
∵∠DAC＝∠DBG，∠ADB＝∠DAC+∠ACB+∠CBD，
∴∠ADB＝∠DBG+∠ACB+∠CBD＝90°
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠DBC+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O 的切线；

（2）证明：如图1，连接DE，
∵∠DBC＝∠BAD，∠DBC＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BAD，
∴∠ABF+∠BAD＝∠ABF+∠DBE，
∴∠BFD＝∠ABD，
∵∠DGC＝∠ABD，
∴∠BFD＝∠DGC，
∴∠DFE＝∠DGE，
∵D为△BCE内心，
∴∠DEG＝∠DEB，
在△DEF和△DEG中，
∴△DEF≌△DEG（AAS），
∴DF＝DG；

（3）解：AD﹣BD的值不变；
如图2，在AD上截取DH＝BD，连接BH、BG，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠AGB＝90°，
∵∠ADG＝45°，
∴∠ABG＝∠ADG＝45°，
∴，
∵∠BDH＝90°，BD＝DH，
∴∠BHD＝45°，
∴∠AHB＝180°﹣45°＝135°，
∵∠BDG＝∠ADB+∠ADG＝90°+45°＝135°，
∴∠AHB＝∠BDG，
∵∠BAD＝∠BGD，
∴△ABH∽△GBD，
∴，
∵DG＝1，
∴，
∵AD﹣BD＝AD﹣DH＝AH，
∴．


【点评】本题考查了圆的有关概念及性质，切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，综合性质较强，解题关键是能够熟练掌握各方面的知识，并能够灵活运用圆的有概念及性质和相似三角形的判定与性质等．
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日期：2021/3/18 9:40:09；用户：初中数学；邮箱：hzjf111@xyh.com；学号：24117471