2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第八章　必刷小题15　直线与圆

必刷小题15　直线与圆

一、单项选择题

1．(2023·无锡模拟)设m∈R，直线l1：(m＋2)x＋6y－2m－8＝0，l2：x＋2my＋m＋1＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若l1∥l2，则

解得m＝1或m＝－3，

因此，“m＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．

2．直线ax－y－2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　)

A．相离   B．相交

C．相切   D．不确定

答案　B

解析　直线ax－y－2a＝0(a∈R)，即a(x－2)－y＝0，

由得所以直线恒过定点(2,0)，

因为22＋02<9，所以定点(2,0)在圆内，所以直线与圆相交．

3．直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则(　　)

A．a<0，b<0   B．a<0，b>0

C．a>0，b<0   D．a>0，b>0

答案　C

解析　因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，

所以该直线的斜率－<0，直线在y轴上的截距－>0，可得a>0，b<0.

4．(2023·重庆模拟)已知过点P(3,1)的直线l与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线x－my－1＝0垂直，则m等于(　　)

A．－  B.  C．－2  D．2

答案　C

解析　∵(3－1)2＋(1－2)2＝5，

∴点P在圆C上，

∴kCP＝＝－，

∴切线l的斜率为2，

∵l与直线x－my－1＝0垂直，

∴2×＝－1，

解得m＝－2.

5．(2022·呼和浩特模拟)已知圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常数)对称，则ab的最大值为(　　)

A.  B.  C．1  D．2

答案　A

解析　因为圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为(－1,0)，且圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常数)对称，

所以直线ax＋y＋1－b＝0过圆心(－1,0)，

所以a＋b＝1，又a>0，b>0，

所以ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，即当a＝b＝时，ab取最大值.

6．(2023·晋城模拟)已知圆C：x2＋y2＝1和直线l：x0x＋y0y＝1，则“点P(x0，y0)在圆C上”是“直线l与圆C相切”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　若点P在圆C上，则x＋y＝1，圆心到直线l：x0x＋y0y＝1的距离d＝＝1，此时直线l与圆C相切；

若直线l与圆C相切，则d＝＝1，即x＋y＝1，此时点P在圆C上．

综上知，“点P(x0，y0)在圆C上”是“直线l与圆C相切”的充要条件．

7．(2022·兰州模拟)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到点A(－1,0)，B(1,0)的距离之比为，则点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为(　　)

A．2－  B.－  C．2  D.

答案　A

解析　设C(x，y)，则＝，即＝，化简得(x－2)2＋y2＝3，

所以点C的轨迹是以(2,0)为圆心，r＝的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0的距离d＝＝2，

所以点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为2－.

8．在平面直角坐标系中，已知点P(3，－1)在圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为8，则实数m的取值范围是(　　)

A．(3－2，3＋2)

B．[1,5]

C．(3－2，1]∪[5,3＋2)

D．(－∞，1]∪[5，＋∞)

答案　C

解析　圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0，即圆C：(x－m)2＋(y－1)2＝16，

即圆心为C(m,1)，r＝4，

所以△ABC的面积为S△ABC＝r2sin∠ACB＝8sin∠ACB≤8，

当且仅当∠ACB＝，即△ABC为等腰直角三角形时等号成立，此时，|AB|＝4，圆心C到直线AB的距离为＝2，

因为点P(3，－1)在圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0内，

所以2≤|PC|<4，即2≤<4，

所以8≤(m－3)2＋4<16，解得3－2<m≤1或5≤m<3＋2，

所以实数m的取值范围是(3－2，1]∪[5,3＋2)．

二、多项选择题

9．已知点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，则实数m的值可以是(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　AC

解析　因为点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，

所以＝，

化简得|5m＋8|＝1，解得m＝－或m＝－.

10．(2023·深圳模拟)动点P在圆C1：x2＋y2＝1上，动点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则下列说法正确的是(　　)

A．两个圆心所在的直线斜率为－

B．两个圆公共弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0

C．两圆公切线有两条

D．|PQ|的最小值为0

答案　AD

解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径为r＝1，

圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径为R＝4.

两个圆心所在的直线斜率为＝－，所以选项A正确；

因为|C1C2|＝＝5，R＋r＝5，

所以两圆相外切，故没有公共弦，两圆的公切线有三条，当点P，点Q运动到切点时，|PQ|的最小值为0，因此选项B，C不正确，选项D正确．

11．以下四个命题表述正确的是(　　)

A．若点(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋(m－1)y－m＋2＝0外，则实数m的取值范围为(－7，＋∞)

B．圆x2＋y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x－y＋1＝0的距离等于

C．圆C1：x2＋y2－2x－4y－4＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0外切

D．实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则的取值范围是

答案　AD

解析　点(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋(m－1)y－m＋2＝0外，

则12＋22＋2＋2(m－1)－m＋2>0，得m>－7，A选项正确；

圆x2＋y2＝2的圆心为(0,0)，半径为，

因为圆心到直线l的距离为＝，

所以圆x2＋y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x－y＋1＝0的距离等于，B选项错误；

C1的圆心为(1,2)，半径为3；C2的圆心为(－1，－1)，半径为2，

所以圆心距为＝≠3＋2，C选项错误；

圆x2＋y2＋2x＝0的圆心为A(－1,0)，半径为1，

表示圆上的点B(x，y)与点C(1,0)连线的斜率，

当直线BC与圆A相切时，如图所示，

AB＝1，AC＝2，所以∠BCA＝，

结合对称性可知的取值范围是，D选项正确．

12．已知点P(x，y)是圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，直线l：(1＋m)x＋(m－1)y＋－3m＝0，则下列结论正确的是(　　)

A．直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种

B．圆C的圆心到直线l距离的最大值为

C．点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为2

D．点P可能在圆x2＋y2＝1上

答案　ACD

解析　对于A选项，因为直线l的方程可化为x－y＋＋m(x＋y－3)＝0.

令解得

所以直线l过定点Q(0，)，

直线l是过点Q的所有直线中除去直线x＋y－3＝0外的所有直线，

圆心C(1,0)到直线x＋y－3＝0的距离为＝1<2，即直线x＋y－3＝0与圆C相交，

又点Q(0，)在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以直线l与C至少有一个公共点，

所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种，A正确；

对于B选项，当直线l为圆C的切线时，点C到直线l的距离最大，且最大值为|QC|＝2，B错误；

对于C选项，因为圆心C到直线4x＋3y＋16＝0的距离d＝＝4，

所以圆C上的点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为4－2＝2，C正确；

对于D选项，圆x2＋y2＝1的圆心为原点O，半径为1，

因为|OC|＝1＝2－1，所以圆C与圆O内切，故点P可能在圆x2＋y2＝1上，D正确．

三、填空题

13．若直线l1：3x＋y＋m＝0与直线l2：mx－y－7＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为________．

答案　

解析　由题设得m＋3＝0，即m＝－3，

所以l1：3x＋y－3＝0，l2：3x＋y＋7＝0，

所以直线l1与l2之间的距离为＝.

14．过点P(2,2)的直线l1与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则直线l1的方程为________________．

答案　3x－4y＋2＝0或x＝2

解析　当过点P(2,2)的直线l1斜率不存在时，l1的方程为x＝2，与圆(x－1)2＋y2＝1相切，满足题意；

当过点P(2,2)的直线l1斜率存在时，

设l1的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0，

∴圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到l1的距离d＝＝1，解得k＝，

∴l1：x－y＋＝0，即3x－4y＋2＝0，

综上，直线l1的方程为3x－4y＋2＝0或x＝2.

15．与直线x－y－4＝0和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2都相切的半径最小的圆的方程是________________．

答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝2

解析　圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标为(－1,1)，半径为，

过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，

则所求圆的圆心在此直线上，

又圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3，

则所求圆的半径为，

设所求圆的圆心为(a，b)，且圆心在直线x＋y＝0上，

所以＝，且a＋b＝0，

解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合题意，舍去)，

故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

16．(2023·大理模拟)设m∈R，直线l1：mx－y－3m＋1＝0与直线l2：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2上的一个动点，则|PQ|的最小值为________．

答案　

解析　由题意得l1：(x－3)m＋(1－y)＝0，l2：(x－1)＋(y－3)m＝0，

∴l1恒过定点M(3,1)，l2恒过定点N(1,3)，又l1⊥l2，

∴P点轨迹是以|MN|为直径的圆，即以点(2,2)为圆心，以×＝为半径的圆，

∴P点轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，

∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝2与圆C的圆心距d＝＝3>2，

∴两圆外离，∴|PQ|的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和，

即|PQ|min＝3－2＝.