2023届高考一轮复习加练必刷题第73练　椭圆及其性质【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第73练　椭圆及其性质【解析版】，共7页。试卷主要包含了已知两圆C1，椭圆C等内容，欢迎下载使用。

考点一 椭圆的定义
1．若椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,4)＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 依题意，得a＝5，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝3，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2a－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝10－3＝7.
2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆C在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，则动圆C圆心的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1(x≠±8)
B.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
C.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1
D.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1(x≥8)
答案 B
解析 设圆C的半径为r，则|C1C|＝13－r，|C2C|＝3＋r，所以|C1C|＋|C2C|＝16>8，所以点C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，所以2a＝16，a＝8，b2＝64－16＝48.
所以所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
3．如图，把椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1F))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F))＋…＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P7F))等于( )
A．35 B．30 C．25 D．20
答案 A
解析 设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性，知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1F))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P7F′))，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P6F′))，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P3F))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P5F′))，所以原式＝(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P7F))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P7F′)))＋(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P6F))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P6F′)))＋(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P5F))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P5F′)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P4F))＝7a＝35.
考点二 椭圆的标准方程
4．“0A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 根据题意得，当m＝1时，满足00，,2－m>0，,m≠2－m，))解得05．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1
B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1
D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 C
解析 由题意，得2a＋2b＝18,2c＝6，
∴a＋b＝9，c＝3.又c2＝a2－b2＝9，
∴a－b＝1，得a＝5，b＝4，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1.
6．已知椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－3))，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1
B.eq \f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1
D．以上均不正确
答案 A
解析 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1，将点P，Q代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得m＝1，n＝eq \f(1,25).
所以此椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋x2＝1.
考点三 椭圆的性质
7．过点(－3,2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1 B.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1
C.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1
答案 B
解析 依题意知，椭圆的焦点坐标为(±eq \r(5)，0)．设所求方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－5)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2>5))，将点(－3，2)代入，得a2＝15，则所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
8．(2022·广州模拟)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或eq \f(3,2)
C.eq \f(3,2) D．6或3
答案 C
解析 由已知得a＝2，b＝eq \r(3)，c＝1，则当点P为短轴顶点(0，eq \r(3))时，∠F1PF2＝eq \f(π,3)，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)，此时|PF1|＝eq \f(b2,a)＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或|PF2|＝\f(b2,a)))，＝eq \f(1,2)·eq \f(b2,a)·2c＝eq \f(b2c,a)＝eq \f(3,2).
9．(多选)(2022·石家庄模拟)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上有n个不同的点P1，P2，P3，…，Pn，F为其右焦点，若{PnF}是公差为d>eq \f(1,10)的等差数列，则n的可能取值为( )
A．19 B．20 C．21 D．22
答案 AB
解析 椭圆上的点到右焦点的最大距离为a＋c＝3，到右焦点的最小距离为a－c＝1，
即|PnF|≤3，|P1F|≥1.
所以|PnF|－|P1F|＝(n－1)d≤2，
即n≤eq \f(2,d)＋1.
又d>eq \f(1,10)，所以n<21.
10．(多选)椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，则以下说法正确的是( )
A．过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B．椭圆C上存在点P，使得eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝0
C．椭圆C的离心率为eq \f(1,2)
D．P为椭圆C上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，则点P，Q的最大距离为3
答案 ABD
解析 对于选项A，由椭圆定义，可得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF2))＝2a＝4，因此△ABF1的周长为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＋|AB|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF2))＝4a＝8，故A正确；
对于选项B，设P(m，n)，则eq \f(m2,4)＋n2＝1，且－2≤m≤2.又F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，所以eq \(PF1,\s\up6(—→))＝(－eq \r(3)－m，－n)，eq \(PF2,\s\up6(→))＝(eq \r(3)－m，－n)，因此eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－m)(eq \r(3)－m)＋n2＝m2＋1－eq \f(m2,4)－3＝eq \f(3m2,4)－2＝0，
解得m＝±eq \f(2\r(6),3)∈[－2,2]，故B正确；
对于选项C，因为a2＝4，b2＝1，所以c2＝4－1＝3，即c＝eq \r(3)，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，故C错误；
对于选项D，设P(x1，y1)，则点P到圆x2＋y2＝1的圆心的距离为|PO|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝eq \r(4－4y\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝eq \r(4－3y\\al(2,1)).因为－1≤y1≤1，所以|PQ|max＝|PO|max＋1＝eq \r(4－0)＋1＝3，故D正确．
11．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆与直线l：x＋y＝7有公共点，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．10 B．7 C．2eq \r(7) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 设椭圆C与直线l的一个公共点为P，
则|PF1|＋|PF2|＝2a(即为长轴长)，则问题转化为在直线l上找点P，使得|PF1|＋|PF2|最小，设F2关于直线l的对称点为E(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y,x－1)＝1，,\f(x＋1,2)＋\f(y,2)＝7，))可得点E坐标为(7,6)，
则|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PE|≥|F1E|＝eq \r(7＋12＋62)＝10，
当且仅当F1，P，E三点共线时等号成立，即椭圆长轴长2a的最小值为10.
12．(多选)(2022·镇江模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 BCD
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝2a，
|PF1|＝2|PF2|，
所以|PF1|＝eq \f(4,3)a，|PF2|＝eq \f(2,3)a，
又|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
即eq \f(2,3)a≤2c，所以e＝eq \f(c,a)≥eq \f(1,3)，
所以椭圆的离心率e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).
13．已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,m)＋y2＝1的两个焦点，若C上存在点M满足eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪[2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1,2]
答案 A
解析 当焦点在x轴上时， a2＝m，b2＝1，m>1，
当M为上下顶点时，∠F1MF2最大，
因为eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，
所以∠F1MF2≥eq \f(π,2)，∠F1MO≥eq \f(π,4)，
所以tan∠F1MO＝eq \f(c,b)≥tan eq \f(π,4)＝1，即eq \f(\r(m－1),1)≥1，解得m≥2；
当焦点在y轴上时，
a2＝1，b2＝m,0当M为左右顶点时， ∠F1MF2最大，因为eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，
所以∠F1MF2≥eq \f(π,2)，∠F1MO≥eq \f(π,4)，
所以tan∠F1MO＝eq \f(c,b)≥tan eq \f(π,4)＝1，即eq \f(\r(1－m),\r(m))≥1，解得0实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)．
14．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)长轴两个端点分别为A，B，椭圆上一动点P (不同于A，B)和A，B的连线的斜率之积为常数λ，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \r(1＋λ) B.eq \r(1－λ)
C.eq \f(1,\r(1＋λ2)) D.eq \r(1－λ2)
答案 A
解析 椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))长轴两个端点分别为A，B，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，0))，设P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))(x≠±a)，
则kAP＝eq \f(y,x－a)，kBP＝eq \f(y,x＋a)，
∴kAP·kBP＝eq \f(y2,x2－a2)＝λ，
∴y2＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－a2))，
整理可得eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,－λa2)＝1，
∴－λa2＝b2，
∴eq \f(b2,a2)＝－λ，
∴e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1＋λ).