2021年上海市青浦区高考数学二模试卷

这是一份2021年上海市青浦区高考数学二模试卷，共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年上海市青浦区高考数学二模试卷
一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分）
1．（4分）已知集合A＝（﹣2，3），B＝[﹣1，4]，则集合A∩B＝　 　．
2．（4分）已知i是虚数单位，复数z＝，则z＝　 　．
3．（4分）已知行列式＝0，则x＝　 　．
4．（4分）已知△ABC中，A＝30°，B＝45°，BC＝，则AC＝　 　．
5．（4分）已知函数f（x）＝3x+最小值为，则a＝　 　．
6．（4分）（x2﹣）9展开式中x9的系数是　 　．
7．（5分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取1张，放回后再抽取1张，则两张牌都是K的概率为　 　.（结果用最简分数表示）
8．（5分）已知正三角形ABC边长为1，点D在边BC上且BD＝，则•＝　 　．
9．（5分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为F（，0）．直线y＝x﹣1与该双曲线交于M，N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是　 　．
10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0，6）内零点的个数的最小值是　 　个．
11．（5分）已知直线l：y＝﹣x+1与x轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，…，Pn﹣1，过这些分点分别作x轴的垂线，与直线l的交点依次为Q1，Q2…，Qn﹣1，从而得到n﹣1个直角三角形△Q1OP1，△Q2P1P2，…，△Qn﹣1P﹣1Pn﹣2，若这些三角形的面积之和为Sn，则Sn＝　 　．
12．（5分）已知函数，若对任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），满足f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围为　 　．
二、选择题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知a，b∈R，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．（5分）下列点不在直线（t为参数）上的是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣1） D．（3，﹣2）
15．（5分）点P在直线l：y＝x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y＝x2于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则称点P为“友善点”，那么下列结论中正确的是（　　）
A．直线上的所有点都是“友善点”
B．直线上仅有有限个点是“友善点”
C．直线上的所有点都不是“友善点”
D．直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”
16．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，给出下列两个结论：
①若函数y＝f（x）的图象是轴对称图形，则函数y＝f（f（x））的图象是轴对称图形；
②若函数y＝f（x）的图象是中心对称图形，则函数y＝f（f（x））的图象是中心对称图形；
它们的成立情况是（　　）
A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立
C．①②均不成立 D．①②均成立
三、解答题（共76分）
17．（14分）如图，已知圆锥的体积为π，底面半径OA与OB的夹角∠AOB＝，且OA＝，P是母线BS的中点．
（1）求圆锥的表面积；
（2）求异面直线SO与PA所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

18．（14分）已知函数f（x）＝2sincos+2cos2﹣．
（1）求函数f（x）在区间[0，π]上的值域；
（2）若方程f（ωx）＝（ω＞0）在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．
19．（14分）由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服：A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增如到t＝k•（6）（万件），其中k为工厂工人的复工率（k∈[0.5，1]）；A公司生产t万件防护服还需投入成本（20+9x+50t）（万元）．
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；
（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）
20．（16分）已知A，B分别是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，O为坐标原点，|AB|＝6，点（2，）在椭圆C上，过点P（0，﹣3）的直线l交椭圆C于M，N两个不同的点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点B落在以线段MN为直径为圆的外部，求直线l的倾斜角θ的取值范围；
（3）当直线l的倾斜角θ为锐角时，设直线AM，AN分别交y轴于点S，T，记＝，＝，求λ+μ的取值范围．
21．（18分）已知数列{an}为等差数列，且a2＝5，a8＝23，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，b1＝2，且对任意正整数s，t都有bs+t＝bs•bt成立．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）求证：数列{bn}中有无穷多项在数列{an}中；
（3）是否存在二次函数f（x）和实数a，使得a，f（a），f（f（a）），f（f（f（a）））为数列{bn}中连续4项？若存在，请写出一个满足条件的f（x）的解析式和对应的实数a的值；若不存在，说明理由．

2021年上海市青浦区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分）
1．（4分）已知集合A＝（﹣2，3），B＝[﹣1，4]，则集合A∩B＝　[﹣1，3）　．
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：A＝（﹣2，3），B＝[﹣1，4]，
∴A∩B＝[﹣1，3）．
故答案为：[﹣1，3）．
【点评】本题考查了集合的区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）已知i是虚数单位，复数z＝，则z＝　　．
【分析】利用复数模的运算性质求解即可．
【解答】解：因为z＝，
所以z＝
故答案为：．
【点评】本题考查了复数模的运算性质的运用，解题的关键是掌握复数、共轭复数、模之间关系的运用，考查了化简运算能力，属于基础题．
3．（4分）已知行列式＝0，则x＝　　．
【分析】利用行列式的定义计算即可得答案．
【解答】解：已知行列式＝0，
即：9x+8+（﹣6）﹣2x﹣（﹣12）﹣18＝0，
解得x＝，
故答案为：．
【点评】本题考查行列式的计算，属于基础题．
4．（4分）已知△ABC中，A＝30°，B＝45°，BC＝，则AC＝　2　．
【分析】由正弦定理，即可得解．
【解答】解：由正弦定理知，＝，
∴，
∴AC＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查解三角形中正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（4分）已知函数f（x）＝3x+最小值为，则a＝　　．
【分析】利用换元法把已知函数解析式变形，可知a≤0，不合题意；当a＞0时，利用基本不等式求最值，再由最小值为求解a值．
【解答】解：f（x）＝3x+＝，
令3x+1＝t（t＞1），
原函数化为g（t）＝t+，
若a≤0，则g（t）在（1，+∞）上为增函数，函数无最小值；
若a＞0，则g（t），
当且仅当t＝，即t＝时函数求得最小值，
由，得a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用换元法与基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
6．（4分）（x2﹣）9展开式中x9的系数是　﹣　．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为9求出展开式中x9的系数即可．
【解答】解：展开式的通项为 ＝
令18﹣3r＝9得r＝3
∴展开式中x9的系数是 ＝
故答案为 ．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具；求展开式的所有项的系数和的方法是赋值法．
7．（5分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取1张，放回后再抽取1张，则两张牌都是K的概率为　　.（结果用最简分数表示）
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出两张牌都是K的概率．
【解答】解：从一副52张的扑克牌中随机抽取1张，放回后再抽取1张，
则两张牌都是K的概率为：
P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
8．（5分）已知正三角形ABC边长为1，点D在边BC上且BD＝，则•＝　　．
【分析】根据•＝•，结合条件计算即可．
【解答】解：•＝•
＝2+
＝1+×1×1×cos120°
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，向量的加减运算，考查运算能力，属于基础题．
9．（5分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为F（，0）．直线y＝x﹣1与该双曲线交于M，N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是　　．
【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2＝a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．
【解答】解：设双曲线方程为﹣＝1．
将y＝x﹣1代入 ﹣＝1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2＝0．
由韦达定理得x1+x2＝，则 ＝＝﹣．
又c2＝a2+b2＝7，解得a2＝2，b2＝5，
所以双曲线的方程是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．
10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0，6）内零点的个数的最小值是　7　个．
【分析】根据函数的周期性和奇偶性求出函数的零点个数的最小值即可．
【解答】解：由函数的周期为3可得f（x+3）＝f（x），由于f（2）＝0，
若x∈（0，6），则可得f（5）＝f（2）＝0，
又根据f（x）为奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，
又可得出f（4）＝f（1）＝f（﹣2）＝0，
而f（x）是定义在R上的奇函数，故f（0）＝0，
从而f（3）＝f（0）＝0，在f（x+3）＝f（x）中，
令x＝﹣，得出f（﹣）＝f（）＝﹣f（），故f（）＝0，
故f（）＝f（+3）＝f（）＝0，
故f（）＝f（）＝f（4）＝f（1）＝f（3）＝f（5）＝f（2）＝0，共7个，
故答案为：7．
【点评】本题考查了函数的周期性，奇偶性问题，考查函数的零点个数，是中档题．
11．（5分）已知直线l：y＝﹣x+1与x轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，…，Pn﹣1，过这些分点分别作x轴的垂线，与直线l的交点依次为Q1，Q2…，Qn﹣1，从而得到n﹣1个直角三角形△Q1OP1，△Q2P1P2，…，△Qn﹣1P﹣1Pn﹣2，若这些三角形的面积之和为Sn，则Sn＝　　．
【分析】由已知求得对应点的坐标，然后求出三角形的面积，求和后取极限得答案．
【解答】解：由题意，A（1，0），则P1（），P2（），…，Pn﹣1（），
可得Q1（），Q2（），…Qn﹣1（），
∴直角三角形△Q1OP1，△Q2P1P2，…，△Qn﹣1P﹣1Pn﹣2的面积分别为，，…，．
∴＝，
则Sn＝．
故答案为：．
【点评】本题考查数列极限的求法，考查等差数列的前n项和，正确求出每个三角形的面积是关键，是中档题．
12．（5分）已知函数，若对任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），满足f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围为　[﹣2，6）　．
【分析】由题意可得f（x）在x≥2的范围包含在x＜2的范围内，先运用基本不等式求得f（x）在x≥2的范围，再讨论a＜2，a≥2，结合函数的单调性可得f（x）的范围，解a的不等式可得所求范围．
【解答】解：当x1∈[2，+∞）时，＝∈（0，]．
当x2∈（﹣∞，2）时，
（1）若a≥2，则在（﹣∞，2）上是单调递增函数，
所以．若满足题目要求，则，
所以，∴a﹣2＜4，a＜6．又a≥2，所以a∈[2，6）．
（2）若a＜2，则，
f（x）在（﹣∞，a）上是单调递增函数，此时f（x）∈（0，1）；
f（x）在[a，2）上是单调递减函数，此时．
若满足题目要求，则，
∴a≥﹣2，又a＜2，所以a∈[﹣2，2）．
综上，a∈[﹣2，6）．
故答案为：[﹣2，6）．
【点评】本题考查分段函数的运用，考查任意性和存在性问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于中档题．
二、选择题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知a，b∈R，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由a＞0且b＞0，根据基本不等式的性质a+b，得a+b，
当a＝1，b＝0时，满足a+b，不能够推出a＞0且b＞0，
故“a＞0且b＞0”是“a+b＞”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
14．（5分）下列点不在直线（t为参数）上的是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣1） D．（3，﹣2）
【分析】首先把参数方程转换为直角坐标方程，进一步利用点和直线的位置关系的应用求出结果．
【解答】解：直线（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0．
对于A：点（﹣1，2）满足x+y﹣1＝0，故A不满足题意．
对于B：点（﹣3，2）不满足x+y﹣1＝0，故B满足题意；
对于C：点（2，﹣1）满足x+y﹣1＝0，故C不满足题意；
对于D：点（3，﹣2）满足x+y﹣1＝0，故D不满足题意；
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
15．（5分）点P在直线l：y＝x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y＝x2于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则称点P为“友善点”，那么下列结论中正确的是（　　）
A．直线上的所有点都是“友善点”
B．直线上仅有有限个点是“友善点”
C．直线上的所有点都不是“友善点”
D．直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”
【分析】设点A，P的坐标，得到点B的坐标，联立直线与抛物线方程，消去n整理可得关于x的方程，判断△的值可得答案．
【解答】解：如图，设点A（m，n），P（x，x﹣1），则点B的坐标为（2m﹣x，2n﹣x+1），
∵A，B在y＝x2上，
∴，消去n整理可得x2﹣（4m﹣1）x+2m2﹣1＝0①，
而Δ＝（4m﹣1）2﹣4（2m2﹣1）＝8m2﹣8m+5＞0恒成立，
∴方程①恒有实数解．
故选：A．

【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，分析问题与解决问题的能力，属于基础题．
16．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，给出下列两个结论：
①若函数y＝f（x）的图象是轴对称图形，则函数y＝f（f（x））的图象是轴对称图形；
②若函数y＝f（x）的图象是中心对称图形，则函数y＝f（f（x））的图象是中心对称图形；
它们的成立情况是（　　）
A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立
C．①②均不成立 D．①②均成立
【分析】根据题意，依次分析2个结论是否正确，即可得答案．
【解答】解：①错误；
反例：f（x）＝，图像关于直线y＝3x﹣1对称，
当x≥2时，f（f（x））＝（）﹣1＝x﹣，
当0≤x＜2时，f（f（x））＝﹣2（）﹣1＝﹣x+1，
当﹣≤x＜0时，f（f（x））＝﹣2（﹣2x﹣1）﹣1＝4x+1，
当x＜﹣时，f（f（x））＝（﹣2x﹣1）﹣1＝﹣x﹣，
f（x）及f（f（x））的图像如下所示：

故函数y＝f（f（x））的图象不是轴对称图形；
对于②，假设f（x）＝sinx+1，其对称中心为（0，1），
而f（f（﹣x））＝f（1﹣sinx）＝sin（1﹣sinx）+1，f（f（x））＝f（1+sinx）＝sin（1+sinx）+1，
则f（x）的图象不是中心对称图形，②错误；
故选：C．
【点评】本题考查函数图象对称性的分析，注意举出反例，属于基础题．
三、解答题（共76分）
17．（14分）如图，已知圆锥的体积为π，底面半径OA与OB的夹角∠AOB＝，且OA＝，P是母线BS的中点．
（1）求圆锥的表面积；
（2）求异面直线SO与PA所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

【分析】（1）利用圆锥的体积求出圆锥的高，从而求出圆锥的母线，再利用圆锥的表面积公式求解即可；
（2）取OB的中点H，连结PH，AH，由中位线定理可得PH∥SO，得到∠APH（或其补角）即为异面直线SO与PA所成的角，在△APH中，利用边角关系求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，圆锥的底面半径r＝，设圆锥的高为h
因为圆锥的体积为π，则有，
解得h＝1，故圆锥的高为1，
母线长l＝SB＝，
所以圆锥的表面积为＝；
（2）取OB的中点H，连结PH，AH，又P为SB的中点，所以PH∥SO，
则∠APH（或其补角）即为异面直线SO与PA所成的角，
因为SO⊥平面OAB，所以PH⊥平面OAB，AH⊂平面OAB，
所以PH⊥AH，故△PAH为直角三角形，
在△AOH中，由余弦定理可得，
所以，
在Rt△PAH中，，
所以异面直线SO与PA所成角的大小为．

【点评】本题考查了圆锥的体积与表面积的求解与应用，异面直线所成角的求解，余弦定理的运用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
18．（14分）已知函数f（x）＝2sincos+2cos2﹣．
（1）求函数f（x）在区间[0，π]上的值域；
（2）若方程f（ωx）＝（ω＞0）在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．
【分析】（1）先结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；
（2）由已知结合特殊角三角函数值求出满足条件的x，然后结合已知区间范围即可求解．
【解答】解：（1）f（x）＝2sincos+2cos2﹣＝sinx+cosx＝2sin（x+），
因为f（x）在[0，]上单调递增，在[]上单调递减，
故当x＝时，函数取得最大值2，当x＝π时，函数取得最小值﹣，
故函数的值域[﹣，2]；
（2）因为f（ωx）＝2sin（ωx+）＝，
所以ωx+＝或ωx+＝，k∈Z，
所以x＝或x＝，
f（ωx）＝（ω＞0）在区间[0，π]上至少有两个不同的解，
所以≤π，即ω≥，
故ω的取值范围[）．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
19．（14分）由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服：A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增如到t＝k•（6）（万件），其中k为工厂工人的复工率（k∈[0.5，1]）；A公司生产t万件防护服还需投入成本（20+9x+50t）（万元）．
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；
（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）
【分析】（1）根据已知条件列出关系式即可；
（2）将问题转化为不等式恒成立问题，然后利用参变量分离，转化为求解函数的最值问题，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，y＝80t﹣（20+9x+50t）+x
＝
＝
＝，
所以A公司生产防护服的利润y（万元）与补贴x（万元）的函数关系为：y＝（x∈[0，10]，k∈[0.5，1]）；
（2）由题意可知，问题可转化为y≥0对所有的x∈[0，10]恒成立，
即≥0在x∈[0，10]恒成立，
即，
令t＝x+2，则t∈[2，12]，
此时，
因为函数在t∈[2，12]上单调递增，
所以f（t）的最大值为f（12）＝29.167，
故，
所以复工率k达到0.65时，对任意的x∈[0，10]，A公司才能不产生亏损．
【点评】本题考查了函数的实际应用问题，涉及了不等式恒成立问题的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
20．（16分）已知A，B分别是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，O为坐标原点，|AB|＝6，点（2，）在椭圆C上，过点P（0，﹣3）的直线l交椭圆C于M，N两个不同的点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点B落在以线段MN为直径为圆的外部，求直线l的倾斜角θ的取值范围；
（3）当直线l的倾斜角θ为锐角时，设直线AM，AN分别交y轴于点S，T，记＝，＝，求λ+μ的取值范围．
【分析】（1）由|AB|＝6，点（2，）在椭圆C上，解得a，b，即可得出答案．
（2）由（1）知B（3，0），分两种情况：①当直线l的斜率不存在，②当直线l的斜率存在，分析斜率k的取值范围，进而可得直线l的倾斜角的范围．
（3）设直线k的方程为y＝kx﹣3，由（2）得k＞，设M（x1，y1），N（x2，y2），写出直线AM，AN的方程，令x＝0，分别得出S，T的坐标，用坐标表示，，，由＝λ，＝μ，解得λ，μ，再计算λ+μ，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题知|AB|＝2a，
因为|AB|＝6，
所以2a＝6，解得a＝3，
又（2，）在椭圆上，
所以+＝1，
所以b2＝5，
则椭圆C的标准方程为+＝1．
（2）由（1）知B（3，0），
①当直线l的斜率不存在时，
|MN|＝2b＝2，
以MN为直径的圆交x轴于（±，0），
此时，点B在以MN为直径的圆的外部，所以θ＝，
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx﹣3，M（x1，y1），N（x2，y2），
由，得（5+9k2）x2﹣54kx+36＝0，
所以Δ＝（54k）2﹣4×36（5+9k2）＞0，解得k＞或k＜﹣，
所以，
因为点B在以MN为直径的圆的外部，
所以＜，＞＝（x1﹣3，kx1﹣3）（x2﹣3，kx2﹣3），
＝（1+k2）x1x2﹣3（1+k）（x1+x2）+18
＝
＝＞0，解得k＞或k＜1，
又因为k＞或k＜﹣，
所以k＜﹣或＜k＜1或k＞，
所以直线l的倾斜角的范围是（arctan，）∪（arctan，π﹣arctan）．
（3）设直线k的方程为y＝kx﹣3，
又因为直线k的倾斜角为锐角，
由（2）知，k＞，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
所以直线AM的方程为y＝（x+3），
直线AN的方程为y＝（x+3），
把x＝0代入y＝（x+3），得y＝，即S（0，），
同理可得T（0，），
所以＝（0，+3），＝（0，+3），＝（0，3），
由＝λ，＝μ，
可得λ＝+1，μ＝+1，
由（2）知，x1+x2＝，x1x2＝，
所以λ+μ＝++2＝+2
＝
＝﹣•+2＝﹣•+2∈（，2），
所以λ+μ的取值范围为（，2）．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21．（18分）已知数列{an}为等差数列，且a2＝5，a8＝23，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，b1＝2，且对任意正整数s，t都有bs+t＝bs•bt成立．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）求证：数列{bn}中有无穷多项在数列{an}中；
（3）是否存在二次函数f（x）和实数a，使得a，f（a），f（f（a）），f（f（f（a）））为数列{bn}中连续4项？若存在，请写出一个满足条件的f（x）的解析式和对应的实数a的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，可得an；设等比数列{bn}的公比为q，令s＝n，t＝1，可得q，进而得到bn；
（2）假设bk在数列{an}中，则存在正整数n，使得2k＝3n﹣1，判断n，k的性质，可得证明；
（3）由{bn}是公比为2的等比数列，如果设a＝2，f（x）＝x2，考虑二次函数的特点和等比数列的中项性质，可判断存在性．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a2＝5，a8＝23，可得a1+d＝25，a1+7d＝23，
解得a1＝2，d＝3，
则an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1；
设等比数列{bn}的公比为q，
由b1＝2，且对任意正整数s，t都有bs+t＝bs•bt成立，
令s＝n，t＝1，可得bn+1＝bn•b1＝2bn，
则q＝2，b1＝2，bn＝2n；
（2）证明：假设bk在数列{an}中，则存在正整数n，使得2k＝3n﹣1，
n＝，
当k为正奇数时，2k+1都是3的整数倍，
所以n＝，当k是正奇数时，n为正整数，
{bn}的奇数项都在{an}中，
所以数列{bn}中有无穷多项在数列{an}中；
（3）不存在．
理由：由{bn}是公比为2的等比数列，如果设a＝2，f（x）＝x2，
那么f（a）＝4，f（f（a））＝16，f（f（f（a）））＝256，
这时候每次的平方，等于公比也平方了，
所以不存在这样的二次函数和实数a，
使得a，f（a），f（f（a）），f（f（f（a）））为数列{bn}中连续4项．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及存在性问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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