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2021年浙江省绍兴市诸暨市开放双语实验学校中考数学模拟试卷（6月份）（含答案）
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这是一份2021年浙江省绍兴市诸暨市开放双语实验学校中考数学模拟试卷（6月份）（含答案），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省绍兴市诸暨市开放双语实验学校中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣
2．（4分）如图，a∥b，a，b被直线c所截，若∠1＝140°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（4分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（4分）如下为某同学网上答题的结果，他做对的题数是（ ）
①
②﹣|﹣3|＝3
③
④
⑤科学记数法表示0.00123米＝1.23×10﹣3米
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（4分）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
6．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
8．（4分）如图①，一个立方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以每秒固定的流量往水槽中注水，28秒时注满水槽，水槽内水面的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数图象如图②所示，则圆柱形水槽的容积（在没放铁块的情况下）是（ ）
A．8000cm3 B．10000 cm3 C．2000πcm3 D．3000πcm3
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的一点，将△BCE沿着CE折叠得△FCE．若CF，CE恰好都与正方形ABCD的中心O为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（4分）一场演唱会的观众席是一个长100米、宽50米的长方形场地，演唱会的门票全部卖光，观众席里站满了歌迷．下面最有可能是参加演唱会的观众总人数的是（ ）
A．1000 B．2000 C．20000 D．100000
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）9的平方根是 ．
12．（5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝21，则S2的值是 ．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是 ．
14．（5分）如图，在一圆柱形铁桶内底面的点A处有一飞虫，在其上边沿的点B处有一面包残渣，已知C是点B正下方的桶内底面上一点，已知劣弧AC的长为cm，铁桶的底面直径为40cm，桶高60cm，则该飞虫从点A到达点B的最短路径为 cm．
15．（5分）如图，△ABC是一张等腰三角形纸片，且AB＝AC＝6，BC＝4，将△ABC沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，则折痕的长为 ．
16．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）计算：|﹣|﹣（3π﹣10）0+2cos30°+（）﹣1．
18．（8分）先化简，再求值：÷（﹣），其中x是满足不等式组的最大整数．
19．（8分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
20．（8分）如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图，点A，B是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD与两个活动环AD，BC相连，现测得AD＝BC＝2.6cm，AB＝17cm，如图2，当A，D，C三点共线时，恰好AC⊥BC．
（1）请求把手CD的长；
（2）如图3，当CD∥AB时，求∠ADC的度数．（参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.538，tan57.5°≈1.570）
21．（8分）某中学对本校2018届500名学生的中考体育测试情况进行调查，根据男生1000米及女生800米测试成绩整理，绘制成不完整的统计图（图①，图②），请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校毕业生中男生有 人；扇形统计图中a＝ ；500名学生中中考体育测试成绩的中位数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）从500名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是多少？
22．（10分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）若这种冰箱的售价降低50元，每天的利润是 元；
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到更多的实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时利润最高，并求出最高利润．
23．（8分）我们不妨规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．
（1）求出一次函数y＝﹣x+7与其“次生函数”的交点坐标；
（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）若关于x的一次函数y＝ax+b与其“次生函数”的交点从左至右依次为点A，B，其“再生函数”经过点（﹣2，3），且与x轴从左至右依次交于点C，D，记四边形ACBD的面积为S，其中a＞2b＞0，判断是否为定值，若为定值，请说明理由；若不为定值，试确定其取值范围．
24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，当BD为何值时，△CDF为等腰三角形．（直接写出答案）
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3，0），直线l⊥y轴于点B（0，4），动点P在直线l上，过点P作PD⊥x轴于点D，动线段AP的垂直平分线交AP于点C，交直线PD于点M，设点M的坐标为（x，y）．
（1）求证：PC•PA＝PD•PM；
（2）点动成线，当动点P在直线l上运动时，求点M随之运动所形成的曲线表达式；
（3）连接AB，设点E是（2）中点M运动所形成的曲线上一点，如果∠OAE＝∠OAB，求点E的坐标；
（4）设点F（m，0）是x轴正半轴上一点，连接BF，若线段BF与（2）中点M运动所形成的曲线有且只有一个公共点，直接写出点F横坐标m的取值范围．
2021年浙江省绍兴市诸暨市开放双语实验学校中考数学模拟试卷（6月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较．
【解答】解：最小的数是﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
2．（4分）如图，a∥b，a，b被直线c所截，若∠1＝140°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】首先根据邻补角的性质可得∠3的度数，再根据平行线的性质可得∠2的度数．
【解答】解：如图：
∵∠1＝140°
∴∠3＝180°﹣140°＝40°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
3．（4分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．
【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．
所以图中的小正方体最多5块．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
4．（4分）如下为某同学网上答题的结果，他做对的题数是（ ）
①
②﹣|﹣3|＝3
③
④
⑤科学记数法表示0.00123米＝1.23×10﹣3米
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质、立方根的定义、零指数幂、科学记数法﹣表示较小的数的方法即可求解．
【解答】解：①是正确的；
②﹣|﹣3|＝﹣3，原来的计算错误；
③是正确的；
④＝1，原来的计算错误；
⑤科学记数法表示0.00123米＝1.23×10﹣3米是正确的．
故选：B．
【点评】考查了负整数指数幂、绝对值、立方根、零指数幂、科学记数法﹣表示较小的数，关键是熟练掌握各自的方法．
5．（4分）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA＝OB，可求出∠ABO的度数
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，
∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半径），
∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．
【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵AF＝DE＝1，
∴DF＝CE＝3，
∴BE＝CF＝5，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，
cos∠CBE＝cos∠ECG＝，
∴，CG＝，
∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键．
7．（4分）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．
【解答】解：抛物线A：y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），抛物线C：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）．
则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C．
所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，
所以其顶点坐标是（1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
8．（4分）如图①，一个立方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以每秒固定的流量往水槽中注水，28秒时注满水槽，水槽内水面的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数图象如图②所示，则圆柱形水槽的容积（在没放铁块的情况下）是（ ）
A．8000cm3 B．10000 cm3 C．2000πcm3 D．3000πcm3
【分析】观察图象可得出正方体的棱长，从而求出正方体的体积，再设注水的速度为xcm3/s，圆柱的底面积为scm2，根据题意结合图象，建立方程组，然后根据圆柱体的体积公式即可解答
【解答】解：由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变，
∴正方体的棱长为10cm；
∴正方体的体积为：103＝1000cm3
设注水的速度为xcm3/s，圆柱的底面积为scm2，根据题意得：
解得：
∴圆柱形水槽的容积为：400×20＝8000 cm3
故选：A．
【点评】此题主要通过函数图象获取信息并解决问题；列方程组解二元一次方程组即可
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的一点，将△BCE沿着CE折叠得△FCE．若CF，CE恰好都与正方形ABCD的中心O为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】连接OC，由O为正方形的中心，得到∠DCO＝∠BCO，根据切线长定理得到CO平分∠ECF，可得出∠DCF＝∠BCE，由折叠可得∠BCE＝∠FCE，再由正方形的内角为直角，可得出∠ECB为30°，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：连接OC，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠DCO＝∠BCO，
∵CF与CE都为⊙O的切线，
∴CO平分∠ECF，即∠FCO＝∠ECO，
∴∠DCO﹣∠FCO＝∠BCO﹣∠ECO，即∠DCF＝∠BCE，
∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，
∴∠BCE＝∠ECF，
∴∠BCE＝∠ECF＝∠DCF＝∠BCD＝30°，
在Rt△BEC中，cos∠ECB＝，
∴CE＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、正方形的性质、勾股定理、切线长定理以及折叠的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
10．（4分）一场演唱会的观众席是一个长100米、宽50米的长方形场地，演唱会的门票全部卖光，观众席里站满了歌迷．下面最有可能是参加演唱会的观众总人数的是（ ）
A．1000 B．2000 C．20000 D．100000
【分析】先计算出长方形场地的面积，再估算出每平方米可以站的人数是4人，用每平方米可以站的人数乘面积就是总人数．
【解答】解：100×50＝5000（平方米）
4×5000＝20000（人）
答：最有可能是参加演唱会的观众总人数的是20000人．
故选：C．
【点评】本题考查了数学常识，解答本题关键是估算出每平方米可以站的人数，然后再计算出总人数．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）9的平方根是 ±3 ．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
12．（5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝21，则S2的值是 7 ．
【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝21，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝21，
∴x+4y＝7，
∴S2＝x+4y＝7．
故答案为7
【点评】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3＝20求出是解决问题的关键．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是 6+6 ．
【分析】先求出点A2，A4，A6…的横坐标，探究规律即可解决问题．
【解答】解：由题意点A2的横坐标（+1），
点A4的横坐标3（+1），
点A6的横坐标（+1），
点A8的横坐标6（+1）．
故答案为6+6．
【点评】本题考查坐标与图形的变换﹣旋转，一次函数图形与几何变换等知识，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，由规律解决问题，属于中考常考题型．
14．（5分）如图，在一圆柱形铁桶内底面的点A处有一飞虫，在其上边沿的点B处有一面包残渣，已知C是点B正下方的桶内底面上一点，已知劣弧AC的长为cm，铁桶的底面直径为40cm，桶高60cm，则该飞虫从点A到达点B的最短路径为 40 cm．
【分析】如图，连接AB，OC，OA，AC，作OH⊥AC于H．设∠AOC＝n°．利用弧长公式求出n，解直角三角形求出AC，利用勾股定理求出AB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AB，OC，OA，AC，作OH⊥AC于H．设∠AOC＝n°．
∵的长＝，
∴＝，
∴n＝120°，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，
∴AC＝2CH＝2•OC•sin60°＝2×20×＝20（cm），
在Rt△ABC中，AB＝＝＝40（cm），
∴该飞虫从点A到达点B的最短路径为40cm．
故答案为40．
【点评】本题考查弧长公式，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15．（5分）如图，△ABC是一张等腰三角形纸片，且AB＝AC＝6，BC＝4，将△ABC沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，则折痕的长为 或4 ．
【分析】①如图1，过A作AD⊥BC于D，沿AD剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论；②如图2，作AC边上的中线BE，过B作BH⊥AC于H，沿BE剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，设CH＝x，则AH＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：①如图1，过A作AD⊥BC于D，
沿AD剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝2，
∴AD＝＝4；
②如图2，作AC边上的中线BE，过B作BH⊥AC于H，
沿BE剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，
设CH＝x，则AH＝6﹣x，
由勾股定理得，BC2﹣CH2＝AB2﹣AH2，
∴42﹣x2＝62﹣（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴BH＝＝，
∴EH＝3﹣CH＝，
∴BE＝＝，
∴折痕的长为或4，
故答案为：或4．
【点评】本题考查了图形的剪拼，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为 或1或或1+ ．
【分析】依据矩形的性质，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），进而得到OF＝OE，DF＝BE．设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．当△AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论．根据勾股定理列方程即可得到DF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴OF＝OE，DF＝BE．
设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．
当△AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论．
①如图（1），当AE＝AF时，
在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2，
解得．
②如图（2），当AE＝EF时，过点E作EH⊥AD于点H，则AH＝FH＝BE，
∴AF＝2BE，
∴3﹣a＝2a，
解得a＝1．
③如图（3），当AF＝EF时，∠FAE＝∠FEA．
又∠FAE＝∠AEB，
∴∠FEA＝∠AEB．
过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AB＝1，EG＝BE＝a，
∴FG＝3﹣2a．
在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得
（3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2，
解得，（舍去）．
④如图4中．当AF＝EF时，同法可得DF＝1+．
综上所述，DF的长为或1或或1+．
故答案为：或1或或1+．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．当等腰三角形的顶角顶点不确定时，需要列出所有情况进行分类讨论．解题时注意同类型的分类讨论问题还包括旋转方向、直角三角形的直角顶点、全等或相似三角形的对应顶点不明确．
三、解答题（本大题共9小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）计算：|﹣|﹣（3π﹣10）0+2cos30°+（）﹣1．
【分析】本题涉及绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：|﹣|﹣（3π﹣10）0+2cos30°+（）﹣1
＝﹣1+2×+3
＝﹣1++3
＝++2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
18．（8分）先化简，再求值：÷（﹣），其中x是满足不等式组的最大整数．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x是满足不等式组的最大整数，可以求得x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣）
＝
＝
＝，
由不等式组，得
x＜，
∵x是满足不等式组的最大整数，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝0．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（8分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；
（2）将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
（3）当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
20．（8分）如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图，点A，B是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD与两个活动环AD，BC相连，现测得AD＝BC＝2.6cm，AB＝17cm，如图2，当A，D，C三点共线时，恰好AC⊥BC．
（1）请求把手CD的长；
（2）如图3，当CD∥AB时，求∠ADC的度数．（参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.538，tan57.5°≈1.570）
【分析】（1）如图2，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，根据CD＝AC﹣AD即可求出结果；
（2）如图3，分别过C、D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F．易证四边形CDFE是矩形，得出DF＝CE，EF＝CD，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△BCE，那么AF＝BE＝（AB﹣EF）＝1.4cm．由cos∠DAF＝≈0.538，得出∠DAF＝57.5°，根据平行线的性质求出∠ADC的度数．
【解答】解：（1）如图2，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC＝＝＝16.8（cm），
∴CD＝AC﹣AD＝16.8﹣2.6＝14.2（cm）．
（2）如图3，分别过C、D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F．
∵CD∥AB，
∴∠CDF＝90°＝∠DFE＝∠CEF，
∴四边形CDFE是矩形，
∴DF＝CE，EF＝CD，
又AD＝BC，
∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL），
∴AF＝BE＝（AB﹣EF）＝（17﹣14.2）＝1.4（cm），
∴cos∠DAF＝＝＝≈0.538，
∴∠DAF＝57.5°，
∵CD∥AB，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAF＝122.5°．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识．通过作辅助线构建直角三角形是解题的关键．
21．（8分）某中学对本校2018届500名学生的中考体育测试情况进行调查，根据男生1000米及女生800米测试成绩整理，绘制成不完整的统计图（图①，图②），请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校毕业生中男生有 300 人；扇形统计图中a＝ 12 ；500名学生中中考体育测试成绩的中位数是 10分 ；
（2）补全条形统计图；
（3）从500名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是多少？
【分析】（1）男生人数为20+40+60+180＝300；8分对应百分数用8分的总人数÷500；
（2）8分以下总人数＝500×10%＝50，其中女生＝50﹣20，10分总人数＝500×62%＝310，其中女生人数＝310﹣180＝130，进而补全直方图；
（3）可利用样本的百分数去估计总体的概率，即可求出答案．
【解答】解 （1）如图，男生人数为20+40+60+180＝300，8分对应百分数为（40+20）÷500＝12%，500名学生中中考体育测试成绩的中位数是10分．
故答案为：300，12，10；
（2）补图如图所示：
（3）500名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是＝．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用以及概率的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（10分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）若这种冰箱的售价降低50元，每天的利润是 4200 元；
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到更多的实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时利润最高，并求出最高利润．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）每一台冰箱的利润×每天售出的台数＝每天盈利，设出每台冰箱应降价x元，列方程解答即可；
（3）设每台冰箱降价为x元，商场每天销售这种冰箱的利润为y元，根据题意易求y与x之间的函数表达式．利用二次函数的性质可求出y的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得（8+4×）×（2400﹣50﹣2000）＝4200元，
故答案为：4200；
（2）设出每台冰箱应降价x元，由题意得：
（2400﹣2000﹣x）（8+×4）＝4800，
﹣x2+24x+3200＝4800．
整理，得x2﹣300x+20000＝0，
解这个方程，得x1＝100，x2＝200，
要使百姓得到实惠，取x＝200元，
∴每台冰箱应降价200元；
（3）设每台冰箱降价为x元，商场每天销售这种冰箱的利润为y元，
根据题意，得y＝（2400﹣2000﹣x）（8+4×），
即y＝﹣x2+24x+3200＝﹣（x﹣150）2+5000，
当x＝150时，
y最大值＝5000（元）．
所以，每台冰箱的售价降价150元，售价2250元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，列出关系式并整理成顶点式形式是解题的关键．
23．（8分）我们不妨规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．
（1）求出一次函数y＝﹣x+7与其“次生函数”的交点坐标；
（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）若关于x的一次函数y＝ax+b与其“次生函数”的交点从左至右依次为点A，B，其“再生函数”经过点（﹣2，3），且与x轴从左至右依次交于点C，D，记四边形ACBD的面积为S，其中a＞2b＞0，判断是否为定值，若为定值，请说明理由；若不为定值，试确定其取值范围．
【分析】（1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标；
（2）先求顶点坐标，代入解析式可求b的值；
（3）先求点A，点B，点C，点D坐标，由四边形的面积公式可求S，即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7的“次生函数”为y＝
∴
∴ 或
∴交点坐标为（1，6），（6，1）
（2）∵一次函数y＝x+b的“再生函数”为y＝x2+bx﹣（1+b），
∴顶点坐标为（﹣，﹣﹣1﹣b）
∵一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，
∴﹣﹣1﹣b＝﹣+b
∴b＝±﹣3
（3）∵
∴，
∴点A（﹣1﹣，﹣a），B（1，a+b）
∵y＝ax2+bx﹣（a+b）过点（﹣2，3）
∴3＝4a﹣2b﹣a﹣b
∴a＝1+b
∴y＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b）
∵与x轴交于点C，点D，
∴0＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b）
∴x＝1，x＝﹣
∴点C（﹣，0），点D（1，0）
∵a＝1+b，
∴b＝a﹣1
∴点A（﹣2+，﹣a），点B（1，2a﹣1），点C（﹣，0），点D（1，0）
∴S＝（2a﹣1+a）（1﹣）＝，
∴＝＝（﹣3）2
∵a＝1+b，a＞2b＞0，
∴1+b＞2b
∴0＜b＜1，
∴1＜a＜2
∴2＜＜
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，理解“次生函数”和“再生函数”的定义是解决本题的关键．
24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，当BD为何值时，△CDF为等腰三角形．（直接写出答案）
【分析】（1）利用SAS定理证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明；
（2）结论成立，同（1）的证明方法相同；
（3）由题意D落在线段BC（不含边界），推出只有两种情形：①CD＝CF．②FD＝FC．分别利用等腰三角形的判定和性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠ACM＝∠ABC，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴∠ADE＝30°；
（2）（1）中的结论成立．
证明：如图2中，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝30°．
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACM＝30°．
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．
即∠DAE＝120°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝30°．
（3）∵D落在线段BC（不含边界），
∴只有两种情形：①CD＝CF．②FD＝FC．
①当DC＝CF时，如图3﹣1中，
∵∠C＝30°，
∴∠CFD＝∠CDF＝75°，
∵∠ADE＝30°，∠B＝30°，
∴∠ADB＝75°，∠BAD＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∴BD＝BA＝6．
②当FC＝FD时，如图3﹣2中，
∵FC＝FD，
∴∠FDC＝∠C＝30°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴BD＝AD＝AC•tan30°＝2，
综上所述，满足条件的BD的值为6或2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3，0），直线l⊥y轴于点B（0，4），动点P在直线l上，过点P作PD⊥x轴于点D，动线段AP的垂直平分线交AP于点C，交直线PD于点M，设点M的坐标为（x，y）．
（1）求证：PC•PA＝PD•PM；
（2）点动成线，当动点P在直线l上运动时，求点M随之运动所形成的曲线表达式；
（3）连接AB，设点E是（2）中点M运动所形成的曲线上一点，如果∠OAE＝∠OAB，求点E的坐标；
（4）设点F（m，0）是x轴正半轴上一点，连接BF，若线段BF与（2）中点M运动所形成的曲线有且只有一个公共点，直接写出点F横坐标m的取值范围．
【分析】（1）利用相似三角形的性质即可证明；
（2）由题意有：M（x，y），P（x，4），A（3，0），C（，2），利用勾股定理构建关系式即可解决问题；
（3）如图，取点G（8，0），连BG，则BA＝BG，所以∠ABG＝∠AGB＝∠OAB，所以∠OAE＝∠OAB＝∠AGB，tan∠OAE＝tan∠AGB＝，由此构建方程即可解决问题；
（4）分两种情形讨论问题即可；
【解答】解：（1）当直线PD经过点A时，点C与点M重合，点D与点A重合，因此有PC•PA＝PD•PM；
当直线PD不经过点A时，∵CM⊥PA，PD⊥x轴，
∴∠PCM＝∠PDA＝90°，
又∵∠CPM＝∠DPA，
∴△PCM∽△PDA，
∴PC：PD＝PM：PA，
∴PC•PA＝PD•PM；
（2）方法一：由题意有：M（x，y），P（x，4），A（3，0），C（，2），
根据勾股定理，有PA2＝（x﹣3）2+16，PM＝4﹣y，
又∵PC＝PA，PD＝4，代入PC•PA＝PD•PM，
∴[（x﹣3）2+16]＝4（4﹣y）
化简得：y＝﹣（x﹣3）2+2；
方法二：由点M在动线段AP的垂直平分线上，有AM＝PM，
∴（x﹣3）2+y2＝（4﹣y）2，
化简得：y＝﹣（x﹣3）2+2；
（3）如图，取点G（8，0），连BG，则BA＝BG，所以∠ABG＝∠AGB＝∠OAB，
所以∠OAE＝∠OAB＝∠AGB，tan∠OAE＝tan∠AGB＝，
由（2）知点E的坐标为：（x，﹣x2+x+），
所以||＝
解得x＝5﹣2或1﹣2或5+2（舍弃）或1+2（舍弃）；
所以点E的坐标为（5﹣2，﹣1），或（1﹣2，﹣﹣1）．
（4）∵抛物线交x轴于（﹣1，0），（7，0），
∴G′（7，0），
当点F在线段OG′上时（不包括点G′），段BF与（2）中点M运动所形成的曲线有且只有一个公共点，
∴0＜m＜7．
∵直线BG的解析式为y＝﹣x+4，
由，消去y得到：x2﹣10x+25＝0，
∵Δ＝0，
∴直线BG与抛物线只有一个交点，此时G（8，0），
∴m＝8时，也满足条件，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜7或m＝8．
【点评】本题考查一次函数综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
2021年浙江省绍兴市诸暨市开放双语实验学校中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣
2．（4分）如图，a∥b，a，b被直线c所截，若∠1＝140°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（4分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（4分）如下为某同学网上答题的结果，他做对的题数是（ ）
①
②﹣|﹣3|＝3
③
④
⑤科学记数法表示0.00123米＝1.23×10﹣3米
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（4分）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
6．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
8．（4分）如图①，一个立方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以每秒固定的流量往水槽中注水，28秒时注满水槽，水槽内水面的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数图象如图②所示，则圆柱形水槽的容积（在没放铁块的情况下）是（ ）
A．8000cm3 B．10000 cm3 C．2000πcm3 D．3000πcm3
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的一点，将△BCE沿着CE折叠得△FCE．若CF，CE恰好都与正方形ABCD的中心O为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（4分）一场演唱会的观众席是一个长100米、宽50米的长方形场地，演唱会的门票全部卖光，观众席里站满了歌迷．下面最有可能是参加演唱会的观众总人数的是（ ）
A．1000 B．2000 C．20000 D．100000
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）9的平方根是 ．
12．（5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝21，则S2的值是 ．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是 ．
14．（5分）如图，在一圆柱形铁桶内底面的点A处有一飞虫，在其上边沿的点B处有一面包残渣，已知C是点B正下方的桶内底面上一点，已知劣弧AC的长为cm，铁桶的底面直径为40cm，桶高60cm，则该飞虫从点A到达点B的最短路径为 cm．
15．（5分）如图，△ABC是一张等腰三角形纸片，且AB＝AC＝6，BC＝4，将△ABC沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，则折痕的长为 ．
16．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）计算：|﹣|﹣（3π﹣10）0+2cos30°+（）﹣1．
18．（8分）先化简，再求值：÷（﹣），其中x是满足不等式组的最大整数．
19．（8分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
20．（8分）如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图，点A，B是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD与两个活动环AD，BC相连，现测得AD＝BC＝2.6cm，AB＝17cm，如图2，当A，D，C三点共线时，恰好AC⊥BC．
（1）请求把手CD的长；
（2）如图3，当CD∥AB时，求∠ADC的度数．（参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.538，tan57.5°≈1.570）
21．（8分）某中学对本校2018届500名学生的中考体育测试情况进行调查，根据男生1000米及女生800米测试成绩整理，绘制成不完整的统计图（图①，图②），请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校毕业生中男生有 人；扇形统计图中a＝ ；500名学生中中考体育测试成绩的中位数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）从500名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是多少？
22．（10分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）若这种冰箱的售价降低50元，每天的利润是 元；
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到更多的实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时利润最高，并求出最高利润．
23．（8分）我们不妨规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．
（1）求出一次函数y＝﹣x+7与其“次生函数”的交点坐标；
（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）若关于x的一次函数y＝ax+b与其“次生函数”的交点从左至右依次为点A，B，其“再生函数”经过点（﹣2，3），且与x轴从左至右依次交于点C，D，记四边形ACBD的面积为S，其中a＞2b＞0，判断是否为定值，若为定值，请说明理由；若不为定值，试确定其取值范围．
24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，当BD为何值时，△CDF为等腰三角形．（直接写出答案）
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3，0），直线l⊥y轴于点B（0，4），动点P在直线l上，过点P作PD⊥x轴于点D，动线段AP的垂直平分线交AP于点C，交直线PD于点M，设点M的坐标为（x，y）．
（1）求证：PC•PA＝PD•PM；
（2）点动成线，当动点P在直线l上运动时，求点M随之运动所形成的曲线表达式；
（3）连接AB，设点E是（2）中点M运动所形成的曲线上一点，如果∠OAE＝∠OAB，求点E的坐标；
（4）设点F（m，0）是x轴正半轴上一点，连接BF，若线段BF与（2）中点M运动所形成的曲线有且只有一个公共点，直接写出点F横坐标m的取值范围．
2021年浙江省绍兴市诸暨市开放双语实验学校中考数学模拟试卷（6月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较．
【解答】解：最小的数是﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
2．（4分）如图，a∥b，a，b被直线c所截，若∠1＝140°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】首先根据邻补角的性质可得∠3的度数，再根据平行线的性质可得∠2的度数．
【解答】解：如图：
∵∠1＝140°
∴∠3＝180°﹣140°＝40°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
3．（4分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．
【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．
所以图中的小正方体最多5块．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
4．（4分）如下为某同学网上答题的结果，他做对的题数是（ ）
①
②﹣|﹣3|＝3
③
④
⑤科学记数法表示0.00123米＝1.23×10﹣3米
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质、立方根的定义、零指数幂、科学记数法﹣表示较小的数的方法即可求解．
【解答】解：①是正确的；
②﹣|﹣3|＝﹣3，原来的计算错误；
③是正确的；
④＝1，原来的计算错误；
⑤科学记数法表示0.00123米＝1.23×10﹣3米是正确的．
故选：B．
【点评】考查了负整数指数幂、绝对值、立方根、零指数幂、科学记数法﹣表示较小的数，关键是熟练掌握各自的方法．
5．（4分）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA＝OB，可求出∠ABO的度数
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，
∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半径），
∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．
【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵AF＝DE＝1，
∴DF＝CE＝3，
∴BE＝CF＝5，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，
cos∠CBE＝cos∠ECG＝，
∴，CG＝，
∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键．
7．（4分）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．
【解答】解：抛物线A：y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），抛物线C：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）．
则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C．
所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，
所以其顶点坐标是（1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
8．（4分）如图①，一个立方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以每秒固定的流量往水槽中注水，28秒时注满水槽，水槽内水面的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数图象如图②所示，则圆柱形水槽的容积（在没放铁块的情况下）是（ ）
A．8000cm3 B．10000 cm3 C．2000πcm3 D．3000πcm3
【分析】观察图象可得出正方体的棱长，从而求出正方体的体积，再设注水的速度为xcm3/s，圆柱的底面积为scm2，根据题意结合图象，建立方程组，然后根据圆柱体的体积公式即可解答
【解答】解：由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变，
∴正方体的棱长为10cm；
∴正方体的体积为：103＝1000cm3
设注水的速度为xcm3/s，圆柱的底面积为scm2，根据题意得：
解得：
∴圆柱形水槽的容积为：400×20＝8000 cm3
故选：A．
【点评】此题主要通过函数图象获取信息并解决问题；列方程组解二元一次方程组即可
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的一点，将△BCE沿着CE折叠得△FCE．若CF，CE恰好都与正方形ABCD的中心O为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】连接OC，由O为正方形的中心，得到∠DCO＝∠BCO，根据切线长定理得到CO平分∠ECF，可得出∠DCF＝∠BCE，由折叠可得∠BCE＝∠FCE，再由正方形的内角为直角，可得出∠ECB为30°，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：连接OC，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠DCO＝∠BCO，
∵CF与CE都为⊙O的切线，
∴CO平分∠ECF，即∠FCO＝∠ECO，
∴∠DCO﹣∠FCO＝∠BCO﹣∠ECO，即∠DCF＝∠BCE，
∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，
∴∠BCE＝∠ECF，
∴∠BCE＝∠ECF＝∠DCF＝∠BCD＝30°，
在Rt△BEC中，cos∠ECB＝，
∴CE＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、正方形的性质、勾股定理、切线长定理以及折叠的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
10．（4分）一场演唱会的观众席是一个长100米、宽50米的长方形场地，演唱会的门票全部卖光，观众席里站满了歌迷．下面最有可能是参加演唱会的观众总人数的是（ ）
A．1000 B．2000 C．20000 D．100000
【分析】先计算出长方形场地的面积，再估算出每平方米可以站的人数是4人，用每平方米可以站的人数乘面积就是总人数．
【解答】解：100×50＝5000（平方米）
4×5000＝20000（人）
答：最有可能是参加演唱会的观众总人数的是20000人．
故选：C．
【点评】本题考查了数学常识，解答本题关键是估算出每平方米可以站的人数，然后再计算出总人数．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）9的平方根是 ±3 ．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
12．（5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝21，则S2的值是 7 ．
【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝21，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝21，
∴x+4y＝7，
∴S2＝x+4y＝7．
故答案为7
【点评】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3＝20求出是解决问题的关键．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是 6+6 ．
【分析】先求出点A2，A4，A6…的横坐标，探究规律即可解决问题．
【解答】解：由题意点A2的横坐标（+1），
点A4的横坐标3（+1），
点A6的横坐标（+1），
点A8的横坐标6（+1）．
故答案为6+6．
【点评】本题考查坐标与图形的变换﹣旋转，一次函数图形与几何变换等知识，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，由规律解决问题，属于中考常考题型．
14．（5分）如图，在一圆柱形铁桶内底面的点A处有一飞虫，在其上边沿的点B处有一面包残渣，已知C是点B正下方的桶内底面上一点，已知劣弧AC的长为cm，铁桶的底面直径为40cm，桶高60cm，则该飞虫从点A到达点B的最短路径为 40 cm．
【分析】如图，连接AB，OC，OA，AC，作OH⊥AC于H．设∠AOC＝n°．利用弧长公式求出n，解直角三角形求出AC，利用勾股定理求出AB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AB，OC，OA，AC，作OH⊥AC于H．设∠AOC＝n°．
∵的长＝，
∴＝，
∴n＝120°，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，
∴AC＝2CH＝2•OC•sin60°＝2×20×＝20（cm），
在Rt△ABC中，AB＝＝＝40（cm），
∴该飞虫从点A到达点B的最短路径为40cm．
故答案为40．
【点评】本题考查弧长公式，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15．（5分）如图，△ABC是一张等腰三角形纸片，且AB＝AC＝6，BC＝4，将△ABC沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，则折痕的长为 或4 ．
【分析】①如图1，过A作AD⊥BC于D，沿AD剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论；②如图2，作AC边上的中线BE，过B作BH⊥AC于H，沿BE剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，设CH＝x，则AH＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：①如图1，过A作AD⊥BC于D，
沿AD剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝2，
∴AD＝＝4；
②如图2，作AC边上的中线BE，过B作BH⊥AC于H，
沿BE剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△ABC不全等的新三角形，
设CH＝x，则AH＝6﹣x，
由勾股定理得，BC2﹣CH2＝AB2﹣AH2，
∴42﹣x2＝62﹣（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴BH＝＝，
∴EH＝3﹣CH＝，
∴BE＝＝，
∴折痕的长为或4，
故答案为：或4．
【点评】本题考查了图形的剪拼，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为 或1或或1+ ．
【分析】依据矩形的性质，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），进而得到OF＝OE，DF＝BE．设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．当△AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论．根据勾股定理列方程即可得到DF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴OF＝OE，DF＝BE．
设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．
当△AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论．
①如图（1），当AE＝AF时，
在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2，
解得．
②如图（2），当AE＝EF时，过点E作EH⊥AD于点H，则AH＝FH＝BE，
∴AF＝2BE，
∴3﹣a＝2a，
解得a＝1．
③如图（3），当AF＝EF时，∠FAE＝∠FEA．
又∠FAE＝∠AEB，
∴∠FEA＝∠AEB．
过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AB＝1，EG＝BE＝a，
∴FG＝3﹣2a．
在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得
（3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2，
解得，（舍去）．
④如图4中．当AF＝EF时，同法可得DF＝1+．
综上所述，DF的长为或1或或1+．
故答案为：或1或或1+．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．当等腰三角形的顶角顶点不确定时，需要列出所有情况进行分类讨论．解题时注意同类型的分类讨论问题还包括旋转方向、直角三角形的直角顶点、全等或相似三角形的对应顶点不明确．
三、解答题（本大题共9小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）计算：|﹣|﹣（3π﹣10）0+2cos30°+（）﹣1．
【分析】本题涉及绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：|﹣|﹣（3π﹣10）0+2cos30°+（）﹣1
＝﹣1+2×+3
＝﹣1++3
＝++2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
18．（8分）先化简，再求值：÷（﹣），其中x是满足不等式组的最大整数．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x是满足不等式组的最大整数，可以求得x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣）
＝
＝
＝，
由不等式组，得
x＜，
∵x是满足不等式组的最大整数，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝0．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（8分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；
（2）将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
（3）当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
20．（8分）如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图，点A，B是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD与两个活动环AD，BC相连，现测得AD＝BC＝2.6cm，AB＝17cm，如图2，当A，D，C三点共线时，恰好AC⊥BC．
（1）请求把手CD的长；
（2）如图3，当CD∥AB时，求∠ADC的度数．（参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.538，tan57.5°≈1.570）
【分析】（1）如图2，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，根据CD＝AC﹣AD即可求出结果；
（2）如图3，分别过C、D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F．易证四边形CDFE是矩形，得出DF＝CE，EF＝CD，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△BCE，那么AF＝BE＝（AB﹣EF）＝1.4cm．由cos∠DAF＝≈0.538，得出∠DAF＝57.5°，根据平行线的性质求出∠ADC的度数．
【解答】解：（1）如图2，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC＝＝＝16.8（cm），
∴CD＝AC﹣AD＝16.8﹣2.6＝14.2（cm）．
（2）如图3，分别过C、D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F．
∵CD∥AB，
∴∠CDF＝90°＝∠DFE＝∠CEF，
∴四边形CDFE是矩形，
∴DF＝CE，EF＝CD，
又AD＝BC，
∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL），
∴AF＝BE＝（AB﹣EF）＝（17﹣14.2）＝1.4（cm），
∴cos∠DAF＝＝＝≈0.538，
∴∠DAF＝57.5°，
∵CD∥AB，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAF＝122.5°．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识．通过作辅助线构建直角三角形是解题的关键．
21．（8分）某中学对本校2018届500名学生的中考体育测试情况进行调查，根据男生1000米及女生800米测试成绩整理，绘制成不完整的统计图（图①，图②），请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校毕业生中男生有 300 人；扇形统计图中a＝ 12 ；500名学生中中考体育测试成绩的中位数是 10分 ；
（2）补全条形统计图；
（3）从500名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是多少？
【分析】（1）男生人数为20+40+60+180＝300；8分对应百分数用8分的总人数÷500；
（2）8分以下总人数＝500×10%＝50，其中女生＝50﹣20，10分总人数＝500×62%＝310，其中女生人数＝310﹣180＝130，进而补全直方图；
（3）可利用样本的百分数去估计总体的概率，即可求出答案．
【解答】解 （1）如图，男生人数为20+40+60+180＝300，8分对应百分数为（40+20）÷500＝12%，500名学生中中考体育测试成绩的中位数是10分．
故答案为：300，12，10；
（2）补图如图所示：
（3）500名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是＝．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用以及概率的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（10分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）若这种冰箱的售价降低50元，每天的利润是 4200 元；
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到更多的实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时利润最高，并求出最高利润．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）每一台冰箱的利润×每天售出的台数＝每天盈利，设出每台冰箱应降价x元，列方程解答即可；
（3）设每台冰箱降价为x元，商场每天销售这种冰箱的利润为y元，根据题意易求y与x之间的函数表达式．利用二次函数的性质可求出y的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得（8+4×）×（2400﹣50﹣2000）＝4200元，
故答案为：4200；
（2）设出每台冰箱应降价x元，由题意得：
（2400﹣2000﹣x）（8+×4）＝4800，
﹣x2+24x+3200＝4800．
整理，得x2﹣300x+20000＝0，
解这个方程，得x1＝100，x2＝200，
要使百姓得到实惠，取x＝200元，
∴每台冰箱应降价200元；
（3）设每台冰箱降价为x元，商场每天销售这种冰箱的利润为y元，
根据题意，得y＝（2400﹣2000﹣x）（8+4×），
即y＝﹣x2+24x+3200＝﹣（x﹣150）2+5000，
当x＝150时，
y最大值＝5000（元）．
所以，每台冰箱的售价降价150元，售价2250元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，列出关系式并整理成顶点式形式是解题的关键．
23．（8分）我们不妨规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．
（1）求出一次函数y＝﹣x+7与其“次生函数”的交点坐标；
（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）若关于x的一次函数y＝ax+b与其“次生函数”的交点从左至右依次为点A，B，其“再生函数”经过点（﹣2，3），且与x轴从左至右依次交于点C，D，记四边形ACBD的面积为S，其中a＞2b＞0，判断是否为定值，若为定值，请说明理由；若不为定值，试确定其取值范围．
【分析】（1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标；
（2）先求顶点坐标，代入解析式可求b的值；
（3）先求点A，点B，点C，点D坐标，由四边形的面积公式可求S，即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7的“次生函数”为y＝
∴
∴ 或
∴交点坐标为（1，6），（6，1）
（2）∵一次函数y＝x+b的“再生函数”为y＝x2+bx﹣（1+b），
∴顶点坐标为（﹣，﹣﹣1﹣b）
∵一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，
∴﹣﹣1﹣b＝﹣+b
∴b＝±﹣3
（3）∵
∴，
∴点A（﹣1﹣，﹣a），B（1，a+b）
∵y＝ax2+bx﹣（a+b）过点（﹣2，3）
∴3＝4a﹣2b﹣a﹣b
∴a＝1+b
∴y＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b）
∵与x轴交于点C，点D，
∴0＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b）
∴x＝1，x＝﹣
∴点C（﹣，0），点D（1，0）
∵a＝1+b，
∴b＝a﹣1
∴点A（﹣2+，﹣a），点B（1，2a﹣1），点C（﹣，0），点D（1，0）
∴S＝（2a﹣1+a）（1﹣）＝，
∴＝＝（﹣3）2
∵a＝1+b，a＞2b＞0，
∴1+b＞2b
∴0＜b＜1，
∴1＜a＜2
∴2＜＜
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，理解“次生函数”和“再生函数”的定义是解决本题的关键．
24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，当BD为何值时，△CDF为等腰三角形．（直接写出答案）
【分析】（1）利用SAS定理证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明；
（2）结论成立，同（1）的证明方法相同；
（3）由题意D落在线段BC（不含边界），推出只有两种情形：①CD＝CF．②FD＝FC．分别利用等腰三角形的判定和性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠ACM＝∠ABC，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴∠ADE＝30°；
（2）（1）中的结论成立．
证明：如图2中，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝30°．
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACM＝30°．
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．
即∠DAE＝120°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝30°．
（3）∵D落在线段BC（不含边界），
∴只有两种情形：①CD＝CF．②FD＝FC．
①当DC＝CF时，如图3﹣1中，
∵∠C＝30°，
∴∠CFD＝∠CDF＝75°，
∵∠ADE＝30°，∠B＝30°，
∴∠ADB＝75°，∠BAD＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∴BD＝BA＝6．
②当FC＝FD时，如图3﹣2中，
∵FC＝FD，
∴∠FDC＝∠C＝30°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴BD＝AD＝AC•tan30°＝2，
综上所述，满足条件的BD的值为6或2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3，0），直线l⊥y轴于点B（0，4），动点P在直线l上，过点P作PD⊥x轴于点D，动线段AP的垂直平分线交AP于点C，交直线PD于点M，设点M的坐标为（x，y）．
（1）求证：PC•PA＝PD•PM；
（2）点动成线，当动点P在直线l上运动时，求点M随之运动所形成的曲线表达式；
（3）连接AB，设点E是（2）中点M运动所形成的曲线上一点，如果∠OAE＝∠OAB，求点E的坐标；
（4）设点F（m，0）是x轴正半轴上一点，连接BF，若线段BF与（2）中点M运动所形成的曲线有且只有一个公共点，直接写出点F横坐标m的取值范围．
【分析】（1）利用相似三角形的性质即可证明；
（2）由题意有：M（x，y），P（x，4），A（3，0），C（，2），利用勾股定理构建关系式即可解决问题；
（3）如图，取点G（8，0），连BG，则BA＝BG，所以∠ABG＝∠AGB＝∠OAB，所以∠OAE＝∠OAB＝∠AGB，tan∠OAE＝tan∠AGB＝，由此构建方程即可解决问题；
（4）分两种情形讨论问题即可；
【解答】解：（1）当直线PD经过点A时，点C与点M重合，点D与点A重合，因此有PC•PA＝PD•PM；
当直线PD不经过点A时，∵CM⊥PA，PD⊥x轴，
∴∠PCM＝∠PDA＝90°，
又∵∠CPM＝∠DPA，
∴△PCM∽△PDA，
∴PC：PD＝PM：PA，
∴PC•PA＝PD•PM；
（2）方法一：由题意有：M（x，y），P（x，4），A（3，0），C（，2），
根据勾股定理，有PA2＝（x﹣3）2+16，PM＝4﹣y，
又∵PC＝PA，PD＝4，代入PC•PA＝PD•PM，
∴[（x﹣3）2+16]＝4（4﹣y）
化简得：y＝﹣（x﹣3）2+2；
方法二：由点M在动线段AP的垂直平分线上，有AM＝PM，
∴（x﹣3）2+y2＝（4﹣y）2，
化简得：y＝﹣（x﹣3）2+2；
（3）如图，取点G（8，0），连BG，则BA＝BG，所以∠ABG＝∠AGB＝∠OAB，
所以∠OAE＝∠OAB＝∠AGB，tan∠OAE＝tan∠AGB＝，
由（2）知点E的坐标为：（x，﹣x2+x+），
所以||＝
解得x＝5﹣2或1﹣2或5+2（舍弃）或1+2（舍弃）；
所以点E的坐标为（5﹣2，﹣1），或（1﹣2，﹣﹣1）．
（4）∵抛物线交x轴于（﹣1，0），（7，0），
∴G′（7，0），
当点F在线段OG′上时（不包括点G′），段BF与（2）中点M运动所形成的曲线有且只有一个公共点，
∴0＜m＜7．
∵直线BG的解析式为y＝﹣x+4，
由，消去y得到：x2﹣10x+25＝0，
∵Δ＝0，
∴直线BG与抛物线只有一个交点，此时G（8，0），
∴m＝8时，也满足条件，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜7或m＝8．
【点评】本题考查一次函数综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
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