专题06 解三角形与平面向量结合-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)

这是一份专题06 解三角形与平面向量结合-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)，共25页。试卷主要包含了结合向量坐标运算，结合向量线性运算与数量积等内容，欢迎下载使用。
第一篇 解三角形专题06 解三角形与平面向量结合常见考点考点一 结合向量坐标运算典例1．在①，②， ③向量与，且，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，分别是内角所对的边，且________.（1）求角的大小;（2）若是钝角三角形，且，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）选择第一个条件利用角化边，利用余弦定理解决，选择后两个条件都会边化角，用正弦定理解决；（2）利用正弦定理，将用只含有一个角的三角函数表示即可.（1）若选条件①，根据正弦定理得，， 由余弦定理可得， ，又，则；若选条件②，由正弦定理得，，则 ，化简得，，则，于是，则，结合可得； 若选条件③，，则，由正弦定理得，，，则，于是，则，结合可得.（2）由正弦定理，，则，又是钝角三角形，不妨设是钝角，又，于是，则有，，于是即.变式1-1．在①；②向量，，；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，D为AC边的中点，若______，求BD的长度．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案不唯一，具体见解析.【分析】选①，由正弦定理边化角，由余弦定理求出，再借助余弦定理计算作答.选②，由向量关系结合余弦定理求出角C，再由正弦定理求角A即可计算作答.选③，切化弦求出角C，由正弦定理求出角A，再借助余弦定理计算作答.【详解】若选①：在中，因，由正弦定理得，而，即有，整理得，又，则，即，有，由余弦定理得：，在中，由余弦定理，所以.若选②：由，得，即，整理得，在中，由余弦定理得：，而，则，由正弦定理得，即，由，可得：，则，有，因此有，又D为斜边AC中点，所以.若选③：依题意，，即，在中，，于是得，即有，由正弦定理得：，解得，由，可得：，则有，从而有，即． 在中，由余弦定理得：，所以.变式1-2．已知的三个内角A、B、C所对的边分别为，向量，且 .（1）求角A的大小；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【分析】(1)先根据向量数量积的坐标运算列出方程，再用余弦的二倍角公式求出，即可求出角A的大小；（2）先结合余弦定理，用基本不等式求出的最大值，最后套用面积公式即可.（1）因为向量，且，所以 ，即 解得，又因为是三角形的内角，所以（2）因为，，，所以 ，所以，即，当且仅当时取等号，，当时， 所以的面积的最大值为.变式1-3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.（1）求的值；（2）若，，求角B的大小及向量在方向上的投影向量的模.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用三角恒等变换得出角的余弦值，再由平方关系求出的正弦值；（2）利用正余弦定理求出边，进而求出投影向量的模.（1）解：由得，即（2）解：由正弦定理，，，由余弦定理得：解得：或（舍去）则向量在方向上的投影向量的模为：  考点二 结合向量线性运算与数量积典例2．在.中，角，，的对边分别为，，，已知，.（1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理将，化为，由此即可求出结果；（2）由题意可知，进而可得，再根据余弦定理和基本不等式可得的最大值，进而求出结果.（1）解：因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以.（2）解：因为，所以；所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以面积的最大值为.变式2-1．在中，若边对应的角分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的长度．【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理将边化角，再利用辅助角公式得到，即可求出；（2）依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律求出，即可得解；（1）解：因为，由正弦定理可得在，，∴∴，即又，∴∴，∴（2）解：∵且，∴，∴∴变式2-2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，（1）求角B的大小；（2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知结合正弦定理得，而代入化简可得，从而可求出角B的大小，（2）由点D在边AC上，且AD=2DC，可得，平方化简后可得，再利用基本不等式可得，从而可求出面积的最大值（1）因为，所以由正弦定理得,所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以（2）因为点D在边AC上，且AD=2DC，所以，所以,所以，即，因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以面积为，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为变式2-3．在中，内角的对边分别为，且.已知，，在下列条件①②③中选择能使三角形存在的一个条件，补充在下列的问题䦿，并求解.①；②；③边上的高等于2.（1）和的值；（2）的值.选择___________.（若选择多个符合题意的条件分别作答，按第一个计分.）【答案】（1）选条件②，；（2）.【分析】(1)由给定条件求出ac=6，选择条件①，借助均值不等式判断无解；选择条件②，借助余弦定理计算即可；选择条件③，求出a，不符合题意.(2)由(1)求出，结合三角形内角和定理、三角恒等变形计算作答.（1）在中，因，，则，解得，选择条件①，因，则，而，即三角形不存在；选择条件②，由余弦定理得：，即，整理得，而，解得；选择条件③，由得，则，解得，与矛盾，即三角形不存在，所以选择条件②，.（2）由(1)知，，，则是等腰三角形，即有，因此，，所以的值.  巩固练习练习一 结合向量坐标运算1．在①，②， ③向量与平行，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知___________.（1）求A的大小;（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）若选①，主要考察正弦定理；若选②，主要考察余弦定理；若选③，主要考察正弦定理与向量平行充要条件；（2）由三角形面积公式得到b、c两边关系，再结合余弦定理解之即可.（1）选条件①：，由正弦定理可知则，即又在△ 中，，即，故，又，故选条件②：根据余弦定理，上式可化为整理得，则又在△ 中，，故有 选条件③：向量与平行.由，可得,由正弦定理可知，则有即，又在△ 中，，故有 （2）由得，，则又在△ 中，,即则，故2．在①，②向量与，且， ③，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，内角所对的边分别为，已知______.（1）求角的大小;（2）若的面积为，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）若选条件①或③，需要使用正弦定理进行边化角来处理，选择条件②用余弦定理即可；（2）先由面积的条件算出，此后利用余弦定理和基本不等式解决.（1）若选条件①，根据正弦定理得, ，整理得，，即，也即，由于是三角形内角，只可能是，即，；若选条件②，则有，整理得，由余弦定理得，又，则；若选条件③，由正弦定理，，即，又，则.（2），故，由三角形三边关系，，故周长，另一方面，根据余弦定理，，即，由基本不等式可得，，故，即，当且仅当取得等号，故周长，综上可得，周长的取值范围是：.3．在①向量与，且，②， ③，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，角所对的边分别为，且___________.（1）求角B的大小;（2）若成等差数列，且的周长为，求的面积.【答案】（1）（2）【分析】（1）若选条件①，利用向量的数量积公式、正弦定理以及三角恒等变换，可得，由此即可求出，进而求出角B的大小；若选条件②，根据正弦定理和三角恒等变换，得，由此即可求出，进而求出角B的大小；若选条件③，根据正弦定理和二倍角公式，得，由此即可求出，进而求出角B的大小；（2）由题意可知，再根据的周长为，可得， ，再利用余弦定理，即可求出，再根据，即可求出结果.（1）解：若选条件①，则有， ∴， ∴， ∵，∴，∴，∵，∴. 若选条件②，根据正弦定理得， ， ∴， ∵，∴，∵，∴. 若选条件③，根据正弦定理得， ∵，∴， ∵，∴.（2）解：∵成等差数列，∴， 又∵的周长为，即，∴， ， 由余弦定理知，解得， ∴.4．在平面直角坐标系中中，的三个内角，，所对的边分别为，，，为钝角，已知向量，，且.（1）证明：；（2），，求的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，再结合正弦定理化边为角，同角三角函数基本关系、诱导公式即可求证；（2）由可求得的值，进而可得角，再由（1）中结论可求得角，由三角形的内角和可得角，再由三角形的面积公式即可求解.（1）向量，，所以，在中，由正弦定理（表示外接圆的半径）所以，，所以，因为，所以，因为为钝角，所以.（2）因为，，所以，可得，因为，所以，由（1）知：，可得，所以的面积为. 练习二 结合向量线性运算与数量积5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，D为边上一点，，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换化简可求出即可得出；（2）由余弦定理求出，再由正弦定理求得，即可求出.（1）因为，所以，由正弦定理得，故，所以，因为，所以，即.因为，所以；（2）因为，所以，中，由余弦定理得，，所以；由正弦定理得，∴，故.6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角的大小；（2）若，点D在边上，且，，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解；（2）利用平面向量的基本运算即可求出的值.（1）解：因为，由正弦定理得：①又所以①式可化为：因为，所以又因为是三角形内角，所以（2）解：因为，所以则所以由（1）知，又，， 所以即：解得或（舍去）所以7．在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角；（2）若，求的最小值．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理将，推导出，由此求出角.（2）由已知条件推导出，从而由余弦定理得出，最后利用基本不等式求出的最小值.（1）△中，，由正弦定理知，，∵，∴ ，∴，∴，∴，又∵ , ∴；（2）由（1）及得，所以,当且仅当时取等号，所以的最小值为.8．从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.已知点在内，，若___________，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】【分析】选择①，根据可得，再根据余弦定理得，求出，即可求得角，再根据三角形的面积公式即可得解.选择②，根据可得，从而可得，再根据余弦定理得，求出，即可求得角，再根据三角形的面积公式即可得解.选择③，根据可求得，再利用余弦定理求得，再利用余弦定理可求的角 ，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】解：选择①，因为点在内，，，所以，所以，由余弦定理得，即，解得，又，所以，所以.选择②，因为，所以，所以，又因为点在内，，所以所以，所以，由余弦定理得，即，解得，又，所以，所以.选择③，因为，所以，在中 ，，在中，，又，所以，所以.