2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：四边形（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：四边形（含答案），共30页。

2．（2021•西宁）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CEB．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若∠ABC＝120°，AB＝6，求矩形OBEC的周长．

3．（2021•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．

4．（2021•盘龙区二模）如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．

5．（2021•白银一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）当△FCG的面积为2时，求DG的值．

6．（2021•开江县模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝3，BD＝4，求OE的长．

7．（2021•甘肃模拟）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上点．连接BE，过点C向BE作垂线，交BE于点F，交DA的延长线于点G．且满足AG＝DE．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AE＝CD＝2，求CG的长．

8．（2021•广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．

（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
9．（2021•五峰县模拟）已知正方形ABCD与正方形BEFG，正方形BEFG绕点B顺时针旋转α度，其中0°＜α＜360°．

（1）求证：AG＝CE，AG⊥CE．
（2）如图2，当点F在边DC上时，∠BCE的值是否会改变，若不变，请求出∠BCE的度数，若改变，请说明理由．
（3）若正方形ABCD的面积是正方形BEFG面积的5倍，直线AG与直线CB、CE分别相交于点P、H，在旋转的过程中，当点H与点F重合时．
①求PG：PF的值．
②当AB＝时，求DG的值．
10．（2021•兰州）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．

【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝，求CE的长．
2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：四边形（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021•宁夏）如图，BD是▱ABCD的对角线，∠BAD的平分线交BD于点E，∠BCD的平分线交BD于点F．求证：AE∥CF．

【考点】角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由在▱ABCD中，可证得AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，又由∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，可证得∠EAD＝∠FCB，继而可证得△AED≌△CFB（ASA），由全等三角形的性质可得∠AED＝∠CFB，进而可得AE∥CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD．
∴∠ADB＝∠CBD．
∵∠BAD、∠BCD的平分线分别交对角线BD于点E、F，
∴∠EAD＝∠BAD，∠FCB＝∠BCD，
∴∠EAD＝∠FCB．
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AED≌△CFB是证题的关键．
2．（2021•西宁）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CEB．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若∠ABC＝120°，AB＝6，求矩形OBEC的周长．

【考点】全等三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由全等三角形的性质得OB＝EC，OC＝EB，则四边形OBEC是平行四边形，再由菱形的性质得∠BOC＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AC⊥BD，BC＝AB＝6，∠DBC＝∠ABC＝60°，则∠OCB＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得OB＝BC＝3，然后由勾股定理求出OC的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△BOC≌△CEB，
∴OB＝EC，OC＝EB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴平行四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝120°，
∴AC⊥BD，BC＝AB＝6，∠DBC＝∠ABC＝60°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝30°，
∴OB＝BC＝3，
∴OC＝＝＝3，
∴矩形OBEC的周长＝2（3+3）＝6+6．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明四边形OBEC为矩形是解题的关键．
3．（2021•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．

【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力；应用意识．
【分析】（1）根据BE∥AC，AE∥BD，可以得到四边形AOBE是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到OA＝OB，由菱形的定义可以得到结论成立；
（2）根据∠AOB＝60°，AC＝4，可以求得菱形AOBE边OA上的高，然后根据菱形的面积＝底×高，代入数据计算即可．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB，
∴四边形AOBE是菱形；
（2）解：作BF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AC＝4，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴BF＝OB•sin∠AOB＝2×＝，
∴菱形AOBE的面积是：OA•BF＝2×＝2．

【点评】本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积＝底×高或者是对角线乘积的一半．
4．（2021•盘龙区二模）如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．

【考点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证△ABE≌△FCE（AAS），得AB＝FC，再由AB∥FC，证四边形ABFC是平行四边形，然后由AF＝BC即可得出结论；
（2）由矩形的性质得∠ACF＝90°，再由等边三角形的性质得AF＝DF＝4，CF＝DF＝2，然后由勾股定理求出AC＝2，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵点E是▱ABCD中BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝FC，
∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
又∵AF＝BC，
∴平行四边形ABFC为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，
∴∠ACF＝90°，
∵△AFD是等边三角形，
∴AF＝DF＝4，CF＝DF＝2，
∴AC＝＝＝2，
∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝2×2＝4．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
5．（2021•白银一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）当△FCG的面积为2时，求DG的值．

【考点】三角形的面积；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，而AH＝DG＝2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG＝∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG＝90°，易证四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FQ⊥DC于M，根据AB∥CD，可得∠AEG＝∠QGE，同理有∠HEG＝∠FGE，利用等式性质有∠AEH＝∠QGF，再结合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可证△AHE≌△QFG，利用三角形面积解答即可．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，有∠A＝∠D＝90°，
∴∠DGH+∠DHG＝90°，
在菱形EFGH中，EH＝GH，
∵AH＝2，DG＝2，
∴AH＝DG，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG（HL），
∴∠AHE＝∠DGH，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形；

（2）过F作FQ⊥DC于Q，连接EG，如图所示，则∠FQG＝90°，
∴∠A＝∠FQG＝90°，连接EG，
由矩形和菱形性质，知AB∥DC，HE∥GF，
∴∠AEG＝∠QGE，∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠QGF，
∵EH＝GF，
∴△AEH≌△QGF（AAS），
∴FQ＝AH＝2，
∵S△FCG＝CG•FQ＝＝2，
∴CG＝2，
∴DG＝DC﹣CG＝6．

【点评】本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．
6．（2021•开江县模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝3，BD＝4，求OE的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）先证CD＝AD＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝OA＝OC，然后由勾股定理得OA＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝AC＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝3，OB＝2，
∴OA＝＝＝，
∴OE＝OA＝．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
7．（2021•甘肃模拟）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上点．连接BE，过点C向BE作垂线，交BE于点F，交DA的延长线于点G．且满足AG＝DE．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AE＝CD＝2，求CG的长．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据矩形的性质证明△GEF≌△CBF，进而可以解决问题；
（2）根据勾股定理可得BE的长，然后证明△GFE∽△BAE，可得＝，得AG＝3，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠G＝∠FCB，
∵AG＝DE，
∴AG+AE＝DE+AE，
∴GE＝AD，
∴GE＝BC，
在△GEF和△CBF中，
，
∴△GEF≌△CBF（AAS），
∴EF＝BF；
（2）解：∵AE＝CD＝2，
∴AB＝CD＝4，
∴BE＝＝＝2，
∴EF＝BF＝BE＝，
∵GF⊥BE，
∴∠GFE＝∠BAD＝90°，
∴∠G+∠GEF＝∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠G＝∠ABE，
∴△GFE∽△BAE，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝3，
∴DG＝AG+AE+DE＝2AG+AE＝6+2＝8，
∴CG＝＝＝4．
∴CG的长为4．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△GEF∽△BEA．
8．（2021•广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．

（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
【考点】四边形综合题．
【专题】综合题；几何直观．
【分析】（1）利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形，
（2）利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解，
（3）利用图形法，判断G点轨迹为一条线段，在对应点处求解．
【解答】解：（1）证明：连接DF，CE，如图所示：
，
∵E为AB中点，
∴AE＝AF＝AB，
∴EF＝AB＝CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF∥AB∥CD，
∴四边形DFEC是平行四边形．
（2）作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，如图所示，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴，
∴FG＝2m，
在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°＝，CH＝，
cs60°＝，BH＝1，
在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，FH＝3+m，
CF²＝CH²+FH²，
即（2+2m）²＝（）²+（3+m）²，
整理得：3m²+2m﹣8＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），
∴．
（3）G点轨迹为线段AG，
证明：如图，
（此图仅作为证明AG轨迹用），
延长线段AG交CD于H，作HM⊥AB于M，作DN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BF∥CD，
∴△DHG∽△EGA，△HGC∽△AGF，
∴，，
∴，
∵AE＝AF，
∴DH＝CH＝1，
在Rt△ADN中，AD＝2，∠DAB＝60°．
∴sin60°＝，DN＝．cs60°＝，AN＝1，
在Rt△AHM中，HM＝DN＝，AM＝AN+NM＝AN+DH＝2，
tan∠HAM＝，
G点轨迹为线段AG．
∴G点轨迹是线段AG．
如图所示，作GH⊥AB，

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，
∴CD∥BF，BD＝2，
∴△CDG∽△FBG，
∴，即BG＝2DG，
∵BG+DG＝BD＝2，
∴BG＝，
在Rt△GHB中，BG＝，∠DBA＝60°，
sin60°＝，GH＝，
cs60°＝，BH＝，
在Rt△AHG中，AH＝2﹣＝，GH＝，
AG²＝（）²+（）²＝，
∴AG＝．
∴G点路径长度为．
解法二：如图，连接AG，延长AG交CD于点W．

∵CD∥BF，
∴＝，＝，
∴＝，
∵AF＝AE，
∴DW＝CW，
∴点G在AW上运动．
下面的解法同上．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股定理求解．
9．（2021•五峰县模拟）已知正方形ABCD与正方形BEFG，正方形BEFG绕点B顺时针旋转α度，其中0°＜α＜360°．

（1）求证：AG＝CE，AG⊥CE．
（2）如图2，当点F在边DC上时，∠BCE的值是否会改变，若不变，请求出∠BCE的度数，若改变，请说明理由．
（3）若正方形ABCD的面积是正方形BEFG面积的5倍，直线AG与直线CB、CE分别相交于点P、H，在旋转的过程中，当点H与点F重合时．
①求PG：PF的值．
②当AB＝时，求DG的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】（1）延长AG交直线CE于点M，根据SAS证△ABG≌△CBE，得出AG＝CE，再根据角的关系，得出∠CMG＝∠ABC＝90°即可；
（2）根据∠DCB＝∠FEB＝90°，得点F、B、E、C四点共圆，即可得出∠BCE＝∠BFE＝45°；
（3）①根据旋转角度分情况求出PG：PF的值；
②根据旋转角度分情况求出DG的值即可．
【解答】（1）证明：延长AG交直线CE于点M，
∵正方形ABCD与正方形BEFG，

∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝∠GBE＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE＝α，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE，∠BAG＝∠BCE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠CMG＝∠ABC＝90°，
∴AG⊥CE，
即AG＝CE，AG⊥CE；
（2）∠BCE的值不变，∠BCE＝45°，
理由如下：∵正方形ABCD与正方形BEFG，
∴∠DCB＝∠FEB＝90°，

∴点F、B、E、C四点共圆，
∴∠BCE＝∠BFE＝45°；
（3）设正方形ABCD与正方形BEFG的边长分别为a，b，
∵正方形ABCD的面积是正方形BEFG面积的5倍，
∴a2：b2＝5：1，
∴，
∴AB＝BC＝，
如图，当0°＜α＜90°，

①在△AGB中，∠AGB＝90°，AB＝，BG＝b，
∴AG＝2b，
∴tan∠GAB＝，
∴，
又∵AB＝，
∴BP＝，CP＝CB﹣BP＝，
又∵BG∥CE，
∴△GBP∽△FCP，
∴PG：PF＝PB：PC＝1；
②过点D作DT⊥AP于点T，

在△ADT与△BAG中，
∵AB＝AD，∠DTA＝∠AGB＝90°，∠DAB＝90°，
∴∠DAT+∠ADT＝90°，∠DAT+∠GAB＝90°，
∴∠ADT＝∠GAB，
∴△ADT≌△BAG（AAS），
∴DT＝AG＝2b，AT＝BG＝b，
∴GT＝b，
AB＝，
∴a＝，b＝1，
在Rt△GDT中，
DG＝；
当90°＜α＜360°时，如图，

①此时BP＝，PC＝PB+BC＝，
同理可得PG：PF＝PB：PC＝；
②DT＝AG＝2b，AT＝BG＝b，
∴GT＝3b，
∵AB＝，
∴a＝，b＝1，
在Rt△GDT中，
DG＝，
综上，当0°＜α＜90°时，PG：PF＝1，DG＝，当90°＜α＜360°时，PG：PF＝，DG＝．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
10．（2021•兰州）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．

【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝，求CE的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）证明△DAE≌△DCF（ASA），可得结论．
（2）猜想：EA+EC＝DE．如图2中，证明△DAE≌△DCF，推出DE＝DF．AE＝CF，即可证明．
（3）如图3中，连接AC，取AC的中点O，连接OE，OD．证明∠AED＝∠DEC＝45°，利用（2）中结论求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．

（2）解：猜想：EA+EC＝DE．
理由：如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵DE⊥DF，AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠EDF＝90°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠DCF+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCF，
∴△DAE≌△DCF（AAS），
∴AE＝CF，DE＝DF，
∴EF＝DE，
∵AE+EC＝EC+CF＝EF，
∴EA+EC＝DE．

（3）解：如图3中，连接AC，取AC的中点O，连接OE，OD．

∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EC，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴OD＝OA＝OC＝OE，
∴A，E，C，D四点共圆，
∴∠AED＝∠ACD＝45°，
∴∠AED＝∠DEC＝45°，
由（2）可知，AE+EC＝DE，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴AE＝AF＝，
∴EF＝AE＝2，
∵DF＝3，
∴DE＝5，
∴+EC＝5，
∴EC＝4．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用建模的思想思考问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
4．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
5．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

6．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
7．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
8．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
9．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
10．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
11．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
12．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

14．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
15．四边形综合题
四边形综合题．