2022年黑龙江省绥化市肇东市十校联考中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2022年黑龙江省绥化市肇东市十校联考中考数学模拟试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2022年黑龙江省绥化市肇东市十校联考中考数学模拟试卷
副标题
题号
一
二
三
总分
得分






一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利.现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫.数98990000用科学记数法表示为(    )
A. 98.99×106 B. 9.899×107 C. 9899×104 D. 0.09899×108
3. 由4个相同的小正方体搭建了一个积木，从三个方向看积木，所得到的图形如图所示，则这个积木可能是(    )
A. B. C. D.
4. 若1x+3有意义，则x的取值范围为(    )
A. x>3 B. x>−3 C. x≥−3 D. x≠−3
5. 定义新运算“⨂”，规定：a⨂b=a−2b.若关于x的不等式x⨂m>3的解集为x>−1，则m的值是(    )
A. −1 B. −2 C. 1 D. 2
6. 下列运算正确的是(    )
A. |−(−2)|=−2 B. 3+3=33
C. (a2b3)2=a4b6 D. (a−2)2=a2−4
7. 下列命题中，为真命题的是(    )
(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形
(2)对角线互相垂直的四边形是菱形
(3)对角线相等的平行四边形是菱形
(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形
A. (1)(2) B. (1)(4) C. (2)(4) D. (3)(4)
8. 已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是(    )
A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形
9. 如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是(    )
A. 测得的最高体温为37.1℃ B. 前3次测得的体温在下降
C. 这组数据的众数是36.8 D. 这组数据的中位数是36.6
10. 某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人.B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫x m2，根据题意可列方程为(    )
A. 1000.5x=100x+23 B. 1000.5x+23=100x
C. 100x+23=1001.5x D. 100x=1001.5x+23
11. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为(    )
A. 5 B. 2.5 C. 4.8 D. 2.4
12. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE=4，OF=6.则下列结论：①GF=2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF=∠OCF=90°；⑤点D到CF的距离为855.其中正确的结论是(    )
A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
13. 分解因式：a3−a2b+14ab2=______．
14. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．



15. 一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为________cm．
16. 若x=3+1，则代数式x+3x−1⋅x+1x2+4x+3的值等于______．
17. 小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有______种．
18. 已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2−2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为______．
19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC=4，AB=8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为______ ．




20. 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是______．
21. 如图，点A是反比例函数y=k1x(x<0)图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y=k2x(x<0)的图象交于点B，AB=3BC，连接OA，OB.若△OAB的面积为6，则k1+k2= ______ ．



22. 如图都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有7个小圆圈，第②个图形中一共有13个小圆圈，第③个图形中一共有21个小圆，…，按此规律排列，则第⑩个图形中小圆圈的个数为______ ．


三、解答题（本大题共7小题，共54.0分）
23. 如图，DB是▱ABCD的对角线．
(1)尺规作图(请用2B铅笔)：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)试判断四边形DEBF的形状并说明理由．








24. 如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转，试解决下列问题：
(1)画出四边形ABCD旋转180°后的图形；
(2)求点C旋转过程中所经过的路径长；
(3)求sin∠BAD的值．







25. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM=3m，CO=5m，DO=3m，∠AOD=70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童(结果保留整数)？
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)








26. 疫苗接种，利国利民.甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗.甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y(万人)与各自接种时间x(天)之间的关系如图所示．
(1)直接写出乙地每天接种的人数及a的值；
(2)当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．










27. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD=∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，△ABC的面积为25，求CD的长；
(3)在(2)的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若EFCF=12，求BF的长．








28.  问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE=AF，DE⊥AF于点G．

(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
(3)类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE=AF，∠AED=60°，AE=6，BF=2，求DE的长．
 







29. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为直线x=2，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上C、D两点之间的距离是______ ；
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
(4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．








答案和解析

1.【答案】
B

【解析】
解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2.【答案】
B

【解析】
解：98990000=9.899×107，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】
B

【解析】
解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成．
故选：B．
从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．
此题主要考查了有三视图判断几何体的组成，关键是熟练把握从各方面看可以得到的结论．

4.【答案】
B

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．
利用二次根式和分式有意义的条件可得x+3>0，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：x+3>0，
解得：x>−3，
故选：B．  
5.【答案】
B

【解析】
解∵a⊗b=a−2b，
∴x⨂m═x−2m．
∵x⨂m>3，
∴x−2m>3，
∴x>2m+3．
∵关于x的不等式x⨂m>3的解集为x>−1，
∴2m+3=−1，
∴m=−2．
故选：B．
根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可．
本题考查了新定义计算在不等式中的运用，读懂新定义并熟练的解不等式是解题的关键．

6.【答案】
C

【解析】
解：A、|−(−2)|=2，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、3与3不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、(a2b3)2=a4b6，原计算正确，故本选项符合题意；
D、(a−2)2=a2−4a+4，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据绝对值的定义、二次根式加减的运算法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则，完全平方公式等知识进行计算即可判断．
本题考查绝对值、二次根式的加减、幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．

7.【答案】
B

【解析】
解：(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
(3)对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；
(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，
真命题为(1)(4)，
故选：B．
利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大．

8.【答案】
C

【解析】
解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n−2)×180°，
依题意得(n−2)×180°=360°×4，
解得n=10，
∴这个多边形的边数是10．
故选：C．
先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为(n−2)×180°，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列方程求解．
本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，多边形内角和=(n−2)×180°(n≥3且n为整数)，而多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为360°．

9.【答案】
D

【解析】
解：由折线统计图可以看出这7次的体温数据从第1次到第7次分别为37.1℃、37.0℃、36.5℃、36.6℃、36.8℃、36.8℃、36.7℃．
A、测得的最高体温为37.1℃，故A不符合题意；
B、观察可知，前3次的体温在下降，故B不符合题意；
C、36.8℃出现了2次，次数最高，故众数为36.8℃，故C不符合题意；
D、这七个数据排序为36.5℃，36.6℃，36.7℃，36.8℃，36.8℃，37.0℃，37.1℃.中位数为36.8℃.故D符合题意．
故选：D．
根据统计图和中位数，众数的定义分别进行解答，即可求出答案．
本题考查了折线统计图，主要利用了众数的定义，中位数的定义，根据折线统计图准确获取信息是解题关键．

10.【答案】
D

【解析】
解：若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，则B型扫地机器人每小时清扫(1+50%)xm2，
根据题意，得100x=1001.5x+23．
故选：D．
若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，则B型扫地机器人每小时清扫(1+50%)xm2，根据“清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟”列出方程，此题得解．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

11.【答案】
D

【解析】
解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=62+82=10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴PM=12AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP=AB×ACBC=4.8，
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当PM最短时，PM=12AP=2.4．
故选：D．
先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得AP最短时的长，然后即可求出PM最短时的长．
此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出AP是解决问题的关键，属于中考常考题型．

12.【答案】
C

【解析】
解：∵正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴O是BD中点，
∵点F是DE的中点，
∴OF是△DBE的中位线，
∴OF//BE，OF=12BE，
∵CE=4，OF=6，
∴GF=12CE=2，故①正确；
BE=2OF=12，
∵正方形ABCD中，
∴△DBC是等腰直角三角形，
而OF//BE，
∴△DOG是等腰直角三角形，
∴OD=2OG，故②正确；
∵BC=BE−CE=8，正方形ABCD，
∴DC=8，∠DCE=90°，
Rt△DCE中，
tan∠CDE=CEDC=48=12，故③正确，
∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴CF=DF=12DE，
∴∠CDF=∠DCF≠45°，
∵∠ACD=∠BDC=45°，
∴∠ACD+∠DCF=∠BDC+∠FDC≠90°，故④不正确；
Rt△DCE中，DE=DC2+CE2=45，
∴CF=12DE=25，
∵△CDE的面积为12CE⋅DC=12×4×8=16，F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴△DCF面积为8，
设点D到CF的距离为x，则12x⋅CF=8，
∴12⋅x×25=8，解得x=855，
∴点D到CF的距离为855，故⑤正确；
∴正确的由①②③⑤，
故选：C．
由O是BD中点，点F是DE的中点，可得OF//BE，OF=12BE，又CE=4，得GF=12CE=2，故①正确；由正方形ABCD，得△DBC是等腰直角三角形，△DOG是等腰直角三角形，可得OD=2OG，故②正确；Rt△DCE中，tan∠CDE=12，故③正确，根据∠CDF=∠DCF≠45°，∠ACD=∠BDC=45°，得∠ACD+∠DCF=∠BDC+∠FDC≠90°，故④不正确；求出△DCF面积为8，设点D到CF的距离为x，则12x⋅CF=8，可得点D到CF的距离为855，故⑤正确．
本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形的中位线定理、等腰直角三角形性质、锐角三角函数、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、点到直线的距离、勾股定理等知识，解题的关键是求出△DCF面积，用等面积法解决问题．

13.【答案】
a(a−12b)2

【解析】
解：a3−a2b+14ab2
=a(a2−ab+14b2)
=a(a−12b)2．
故答案是：a(a−12b)2．
先提取公因式a，然后利用完全平方公式继续进行因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

14.【答案】
29

【解析】
解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，
所以该小球停留在黑色区域的概率是29．
故答案为：29．
若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，再根据概率公式求解可得．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．

15.【答案】
40

【解析】

【分析】
解决本题的关键是熟记圆周长的计算公式和弧长的计算公式，根据题意列出方程，设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．
【解答】
解：设弧所在圆的半径为r，
由题意得，135πr180=2π×5×3，
解得，r=40cm．
故答案为40．  
16.【答案】
33

【解析】
解：原式=(x+3)(x+1)(x−1)(x2+4x+3)
=(x2+4x+3)(x−1)(x2+4x+3)
=1x−1，
当x=3+1时，原式=13=33．
故填空答案：33．
先将各式因式分解，然后再约分、代值．
本题考查了分式的计算和化简．解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．

17.【答案】
3

【解析】
解：设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为10−x2件，
根据题意得，x≥110−x2≥110−x2 解得，313 ∵x为整数，10−x2也为整数，
∴x=4或6或8，
∴有3种购买方案，
故答案为：3．
设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为10−x2件，根据题意列出不等式组进行解答便可．
本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键所在．

18.【答案】
1

【解析】
解：设方程x2+(2k+1)x+k2−2=0两根为x1，x2
得x1+x2=−(2k+1)，x1⋅x2=k2−2，
△=(2k+1)2−4×(k2−2)=4k+9≥0，
∴k≥−94，
∵x12+x22=11，
∴(x1+x2)2−2x1x2=11，
∴(2k+1)2−2(k2−2)=11，
解得k=1或−3；
∵k≥−94，
故答案为：1．
由题意设方程x2+(2k+1)x+k2−2=0两根为x1，x2，得x1+x2=−(2k+1)，x1⋅x2=k2−2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．
此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

19.【答案】
23或833

【解析】
解：∵∠C=90°，AB=8，BC=4，
∴AC=AB2−BC2=82−42=43，
∵D为AB的中点，
∴AD=12AB=4，
∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
①若△ADE∽△ABC，则ADAB=AEEC，
即48=AE43，
解得AE=23，
②若△AED∽△ABC，则AEAB=ADAC，
即AE8=443，
解得AE=833，
综上所述，AE的长为23或833．
故答案为：23或833．
利用勾股定理列式求出AB，根据线段中点的定义求出AD，根据翻折的性质可得△ADE≌△A′DE，再根据两边对应成比例夹角相等，两三角形相似，分两种情况列式求解即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．

20.【答案】
22

【解析】
解：如图1，

∵OC=2，
∴OD=12OC=1；
如图2，

∵OB=2，
∴OE=BE，
∴OE2+BE2=2OE2=OB2=4，
∴OE=2；
如图3，

∵OA=2，
∴AD=12OA=1，
∴OD=OA2−AD2=3，
则该三角形的三边分别为：1，2，3，
∵(1)2+(2)2=(3)2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是：12×1×2=22，
故答案为：A．
将圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距、边长的一半、圆的半径构造直角三角形，根据勾股定理分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理判得该三角形是直角三角形，由三角形的面积公式即可求其面积．
本题主要考查多边形与圆，特殊角的三角函数，勾股定理的逆定理，将圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距、边长的一半、圆的半径构造直角三角形是解题的关键．

21.【答案】
−20

【解析】
解：∵S△AOB=12AB⋅OC=6，S△BOC=12BC⋅OC，AB=3BC，
∴S△BOC=2，
∴S△AOC=2+6=8，
又∵12|k1|=8，12|k2|=2，k1<0，k2<0，
∴k1=−16，k2=−4，
∴k1+k2=−16−4=−20，
故答案为：−20．
由△OAB的面积为6，可求出△OBC的面积为2，进而求出△OAC的面积为8，再根据反比例函数系数k的几何意义可求出k1，k2，进而得出答案．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．

22.【答案】
133

【解析】
解：∵第①个图形中一共有7个小圆圈：7=1+2+3+1=6+1=3×2+12；
第②个图形中一共有13个小圆圈：13=2+3+4+22=3×3+22；
第③个图形中一共有21个小圆圈：21=3+4+5+32=3×4+32；
…
∴第n个图形中小圆圈的个数为：3(n+1)+n2；
∴第⑩个图形中小圆圈的个数为：3×(10+1)+102=133；
故答案为：133．
由已知图形中小圆圈个数，知第n个图形中空心小圆圈个数为3(n+1)+n2，由此代入求得第⑩个图形中小圆圈的个数．
此题考查规律型：图形的变化类，利用数形结合找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键．

23.【答案】
解：(1)如图，DE、BF为所作；

(2)四边形DEBF为菱形．
理由如下：如图，
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，FB=FD，OB=OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠FDB=∠EBD，
在△ODF和△OBE中，
∠FDO=∠EBOOD=OB∠DOF=∠BOE，
∴△ODF≌△OBE(ASA)，
∴DF=BE，
∴DE=EB=BF=DF，
∴四边形DEBF为菱形．

【解析】
(1)利用基本作图，作线段BD的垂直平分线即可；
(2)先根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，FB=FD，OB=OD，再证明△ODF≌△OBE得到DF=BE，所以DE=EB=BF=DF，于是可判断四边形DEBF为菱形．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的判定．

24.【答案】
解：(1)如图，四边形A′B′C′D′为所求；

(2)OC=12+22=5，
所以点C旋转过程中所经过的路径长=180⋅π⋅5180=5π；
(3)连接BD，如图，
∵AB=12+12=2，BD=32+32=32，AD=22+42=25，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，
∴sin∠BAD=BDAD=3225=31010

【解析】
(1)根据中心对称的性质画出点A、B、C、D关于点O中心对称的点A′、B′、C′、D′，从而得到四边形A′B′C′D′；
(2)点C旋转过程中所经过的路径为以点O为圆心，OC为半径，圆心角为180度的弧，然后根据弧长公式计算；
(3)先利用勾股定理计算出AB=2，BD=32，AD=25，则根据勾股定理的逆定理可判断△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，然后根据正弦的定义求解．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理的逆定理和解直角三角形．

25.【答案】
解：∵CM=3m，OC=5m，
∴OM=OC2−CM2=4m，
∵∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD，
∴△COM∽△BOD，
∴CMBD=OMOD，即3BD=43，
∴BD=94=2.25m，
∴tan∠AOD=tan70°=ADDO，
即AB+BDDO=AB+2.253≈2.75，
解得：AB=6m，
∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．

【解析】
利用勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，求出BD，在△AOD中，利用三角函数的定义求出AB即可．
本题考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解汽车能发现儿童所前行的距离为AB．

26.【答案】
解：(1)乙地接种速度为40÷80=0.5(万人/天)，
0.5a=25−5，
解得a=40．
(2)设y=kx+b，将(40,25)，(100,40)代入解析式得：
25=40k+b40=100k+b，
解得k=14b=15，
∴y=14x+15(40≤x≤100)．
(3)把x=80代入y=14x+15得y=14×80+15=35，
40−35=5(万人)．

【解析】
(1)由接种速度=接种人数÷接种天数求解．
(2)利用待定系数法求解．
(3)将x=80代入(2)问中解析式得出y=34，然后由40−34=6．
本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．

27.【答案】
(1)证明：连接OC，如图：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠A+∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠BCO，
又∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
(2)过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图：

∵⊙O的半径为5，
∴AB=25，
∵△ABC的面积为25，
∴12AB⋅CM=25，即12×25⋅CM=25，
∴CM=2，
Rt△BCM中，∠BCM=90°−∠CBA，
Rt△ABC中，∠A=90°−∠CBA，
∴∠BCM=∠A，
∴tan∠BCM=tanA，即BMCM=CMAM，
∴BM2=225−BM，
解得BM=5−1，或BM=5+1(舍去)，
∵∠BCD=∠A，∠BCM=∠A，
∴∠BCD=∠BCM，
而∠BMC=∠BNC=90°，BC=BC，
∴△BCM≌△BCN(AAS)，
∴CN=CM=2，BN=BM=5−1，
∵∠DNB=∠DMC=90°，∠D=∠D，
∴△DBN∽△DCM，
∴BDCD=BNCM=DNDM，
即BDDN+2=5−12=DNBD+5−1，
解得DN=25−2，
∴CD=DN+CN=25;
(3)过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图：

∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴EFCF=HECM=HFMF，
∵EFCF=12，
∴HECM=HFMF=12，
由(2)知CM=2，BM=5−1，
∴HE=1，MF=2HF，
Rt△OEH中，OH=OE2−HE2=(5)2−12=2，
∴AH=OA−OH=5−2，
设HF=x，则MF=2x，
由AB=25可得：BM+MF+HF+AH=25，
∴(5−1)+2x+x+(5−2)=25，
解得：x=1，
∴HF=1，MF=2，
∴BF=BM+MF=(5−1)+2=5+1．

【解析】
(1)连接OC，由AB为⊙O的直径，可得∠A+∠ABC=90°，再证明∠ABC=∠BCO，结合已知∠BCD=∠A，可得∠ACB=90°，从而证明CD是⊙O的切线；
(2)过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，由△ABC的面积为25，可得CM=2，由∠BCM=∠A得BMCM=CMAM，可解得BM=5−1，根据△BCM≌△BCN，可得CN=CM=2，再由△DBN∽△DCM，得BDCD=BNCM=DNDM即BDDN+2=5−12=DNBD+5−1，解DN=25−2，故CD=DN+CN=25;
(3)过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，由CM⊥AB，EH⊥AB，可得EFCF=HECM=HFMF，而EFCF=12，故HE=1，MF=2HF，Rt△OEH中，OH=2，可得AH=OA−OH=5−2，设HF=x，则MF=2x，则(5−1)+2x+x+(5−2)=25，可解得HF=1，MF=2，从而BF=BM+MF=(5−1)+2=5+1．
本题考查圆的综合知识，涉及切线的判定、三角形面积、三角形全等及相似的判定和性质、勾股定理等，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似或全等三角形。

28.【答案】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB=∠AGD=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵DE=AF，
∴△ADE≌△BAF(AAS)，
∴AD=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；

(2)解：△AHF是等腰三角形，
理由：由(1)知四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABH=90°，AB=DA，
∵BH=AE，
∴△DAE≌△ABH(SAS)，
∴AH=DE，
∵DE=AF，
∴AH=AF，
∴△AHF是等腰三角形；
(3)解：延长CB到点H，使BH=AE=6，连接AH，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB=AD，
∴∠ABH=∠BAD，
∵BH=AE，
∴△DAE≌△ABH(SAS)，
∴AH=DE，∠AHB=∠DEA=60°，
∵DE=AF，
∴AH=AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8，
∴DE=AH=8．

【解析】
(1)根据矩形的性质得∠DAB=∠B=90°，由等角的余角相等可得∠ADE=∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF(AAS)，由全等三角形的性质得AD=AB，即可得四边形ABCD是正方形；
(2)根据矩形的性质得∠DAB=∠ABH=90°，AB=DA，利用SAS可得△DAB≌△ABH(SAS)，由全等三角形的性质得AH=DE，由已知DE=AF可得AH=AF，即可得△AHF是等腰三角形；
(3)延长CB到点H，使BH=AE=6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH(SAS)，由全等三角形的性质得AH=DE，∠AHB=∠DEA=60°，由已知DE=AF可得AH=AF，可得△AHF是等边三角形，则AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8，等量代换可得DE=AH=8．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

29.【答案】
解：(1)∵OA=1，
∴A(−1,0)，
又∵对称轴为x=2，
∴B(5,0)，
将A，B代入解析式得：
0=a−2+c0=25a+10+c，解得a=−12c=52，
∴y=−12x2+2x+52(x为全体实数)；
(2)由(1)得：C(0,52)，D(2,92)，
∴CD=(92−52)2+(2−0)2=22，故答案为22；
(3)∵B(5,0)，C(0,52)，
∴直线BC的解析式为：y=−12x+52，
设E(x,−12x2+2x+52)，作EF//y轴交BC于点F，则F(x,−12x+52)，
∴EF=−12x2+2x+52−(−12x+52)=−12x(x−5)，
∴S△BCE=12×(xB−xC)×EF=12×5×[−12x(x−5)]=−54x(x−5)，
当x=52时，S△BCE有最大值为12516；

(4)设P(2,y)，Q(m,n)，
由(1)知B(5,0)，C(0,52)，
若BC为矩形的对角线，
则5+0=2+m0+52=y+n，解得：m=3n=52−y，
又∵∠BPC=90°，
∴PC2+PB2=BC2，即22+(52−y)2+32+y2=52+(52)2，
解得y=4或y=−32，
∴n=−32或n=4，
∴Q(3,−32)或Q(3,4)
若BP为矩形得对角线，由中点坐标公式得：
5+2=0+m0+y=52+n，解得m=7n=y−52，
又∵∠BCP=90°，
∴BC2+CP2=BP2，即：52+(52)2+22+(52−y)2=32+y2，
解得y=132，
∴Q(7,4)，
若BQ为矩形的对角线，
则5+m=2+00+n=y+52，解得：m=−3n=y+52，
又∵∠BCQ=90°，
∴BC2+CQ2=BQ2，
即：52+(52)2+m2+(52−n)2=(5−m)2+n2，
解得n=−72，
∴Q(−3,−72)，
综上，点Q的坐标为(3,−32)或(3,4)或(7,4)或(−3,−72).

【解析】
(1)先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可；
(2)根据两点的距离公式即可求出CD的长度；
(3)先设出E的坐标，然后将△BCE的面积表示出来，求出最大值即可；
(4)根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标．
本题主要考查二次函数的综合应用，其中求解析式是基础，一般用待定系数法即可，像求三角形面积问题都用的是切割法，有固定的公式，记住即可，对于特殊四边形的题，要根据对角线的情况分类讨论．