2021-2022学年广东省江门市新会区广雅学校八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省江门市新会区广雅学校八年级（下）第一次月考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列根式是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 已知在中，，，，则的长为

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 若代数式有意义，则的取值范围是

A. 且  B.
C.  D. 且 

5. 已知三组数据：，，；，，；，，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有

A.  B.  C.  D.

6. 如图，以数轴上数表示的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，这棵大树在折断前的高度为

A.   B.   C.   D.  

8. 估计值应在

A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间

9. 若，则

A.  B.  C.  D.

10. 正方形的边长为，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 计算：______．
12. 已知直角三角形的两条直角边是和，则第三条边是______．
13. 不等式的解集是______．
14. 如图，点是平面直角坐标系中的一点，则点与原点之间的距离是______．
    
    
     

15. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为、，那么这个直角三角形斜边上的高为_______；
16. 已知，则的值为______．
17. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为______．
    
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图是一块地的平面图，其中，，，，，求这块地的面积．

20. 已知：，，求下列各式的值．
    ．
    ．
    
    
    
    
    
    
     
21. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图所示为一张直角三角形纸片，直角边，，小芳将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，你能帮小芳求出的长吗？

23. 为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点和点处，于，于已知，，，试问：图书室应该建在距点多少处，才能使它到两所学校的距离相等？

24. 观察下列运算过程：
    
    
    利用上述思路方法计算下列各式：
    ______；
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，求的取值？
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：．
根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
 

2.【答案】

【解析】

解：在中，，，，
由勾股定理得：
；
故选：．
在中，根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
C、，计算错误，故本选项错误；
D、，计算正确，故本选项正确．
故选D．
分别根据二次根式的加减法则、乘除法则结合选项求解，然后选出正确答案．
本题二次根式的加减法、二次根式的乘除法等运算，掌握各运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：由题意得：，且，
解得：，且，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．
 

5.【答案】

【解析】

解：，
以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；
，
以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；
，
以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．
故构成直角三角形的有．
故选：．
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
 

6.【答案】

【解析】

解：正方形的边长为，
其对角线长，
，
点在数轴的负半轴上，
点对应的实数为．
故选：．
先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据负半轴上点的坐标特点求出点坐标即可．
本题考查的是勾股定理，实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．
【解答】
解：树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且，，
，
这棵树原来的高度．
故选C．  

8.【答案】

【解析】

解：原式，
，
，
故选：．
直接利用二次根式的混合运算法则计算进而估算的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：，而，，
，
解得，
．
故选：．
利用算术平方根和绝对值的非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值，代入原式计算即可求出值．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：在图中标上字母，如图所示．

正方形的边长为，为等腰直角三角形，
，，
．
观察，发现规律：，，，，，
．
当时，，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：原式
．
故答案为：．
直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：由勾股定理得，第三条边，
故答案为：．
根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

13.【答案】

【解析】

解：移项得：，
两边同时除以得：，
故答案为：．
按照一元一次不等式的求法直接求解即可．
考查了二次根式的应用及一元一次不等式的解法，解题的关键是了解不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变，难度不大．
 

14.【答案】

【解析】

解：由图知，，
，
故答案为：．
利用即可求出的长度．
本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

15.【答案】

【解析】

解：直角三角形的两条直角边分别为，，
斜边为，
设斜边上的高为，
则直角三角形的面积为，
解得：，
这个直角三角形斜边上的高为．
故答案为：．
根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
本题考查了勾股定理的运用以及直角三角形的面积的求法，正确利用三角形面积得出其高的长是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据非负数的性质列式求出的值，再求出的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】
解：根据题意，得且，
解得且，
所以，，
所以．
故答案为．  

17.【答案】

【解析】

解：如图所示：
；
如图所示：
．
由于，
所以最短路径为．
故答案为：．
根据”两点之间线段最短”，将点和点所在的两个面进行展开，展开为矩形，则为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为．
本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，构造直角三角形，然后利用勾股定理解答．
 

18.【答案】

解：原式
．
 

【解析】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键，属于基础题．
直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
 

19.【答案】

解：如图，连接，
，，，
，
，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
的面积，
四边形的面积．
 

【解析】

连接，根据解直角求，求证为直角三角形，根据四边形的面积面积面积即可计算．
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了根据勾股定理判定直角三角形，本题中求证是直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】

解：当，时，
原式


；
当，时，
原式




．
 

【解析】

将、的值代入原式计算即可；
将、的值代入原式计算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
 

21.【答案】

解：原式

，
当时，原式．
 

【解析】

本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
 

22.【答案】

解：，，
，
根据折叠可得，
，
设，则，，
在中，由勾股定理可得，
解得，
．
 

【解析】

首先由勾股定理求得，然后由翻折求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示出的三边长是解题的关键．
 

23.【答案】

解：由题意可得：设，则，
在和中，
，，，
，
，
解得：．
答：图书室应该建在距点的处，才能使它到两所学校的距离相等．
 

【解析】

此题主要考查了勾股定理的应用，得出是解题关键．
根据题意表示出，的长，进而利用勾股定理求出即可．
 

24.【答案】

【解析】

解：原式；
故答案为：；
原式


；
原式

．
把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算；
先分母有理化，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

25.【答案】

解：在中，，
由勾股定理得：，
当时，由≌可知：
，
，
，
当时，，
，
当时，设，
在中，
由勾股定理得：
，
，
，
，
故的取值为：或或．
 

【解析】

根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出．
本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分类讨论思想，能够正确地分类是解决本题的关键．