2022上海杨浦区高三下学期线上期中（二模）数学试题含答案

杨浦区2021学年度第二学期期中考试线上质量评估

数学学科

2022.4.14

考生注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.

2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.

1. 已知，则=_________.

2. 函数的反函数为________.

3. 若直线和互相垂直，则实数_____________.

4. 若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则________.

5. 已知，，则行列式的值等于________.

6. 已知，，则________.

7. 在某次数学测验中，5位学生成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.

8. 已知实数x，y满足，则的最大值为_________.

9. 若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是________.

10. 三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_______． (结果用分数表示)

11. 已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，点P关于直线的对称点为，且满足，则直线l的方程为______.

12. 若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是___________.

二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13. 设，则“且”是“且”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（）

A. 1gd B. 1g2d C. lg D. 1g

15. 椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上（P不与，重合）且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）

A. [，] B. [，]

C. [，1] D. [，1]

16. 定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（）

A.  B.

C.  D.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使，连结PE.已知，.

（1）求该圆锥体积；

（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.

19. 已知函数，其中.

（1）若不等式的解集是，求m的值；

（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.

21. 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN

（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；

（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？

22. 已知椭圆C：，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中.

（1）若椭圆短轴长2且经过点（－1，），求椭圆方程；

（2）对（1）中的椭圆，若，求△OPQ面积的最大值；

（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t关系；如果不存在，说明理由.

24. 已知a为实数，数列{}满足：①；②.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列{}为周期数列.

（1）当时，求的值；

（2）求证：存在正整数n，使得；

（3）设是数列{}前n项和，是否存在实数a满足：①数列{}为周期数列；②存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.

【1题答案】

【答案】

【2题答案】

【答案】

【3题答案】

【答案】6

【4题答案】

【答案】1

【5题答案】

【答案】

【6题答案】

【答案】

【7题答案】

【答案】38

【8题答案】

【答案】7

【9题答案】

【答案】15

【10题答案】

【答案】

【11题答案】

【答案】

【12题答案】

【答案】

【13题答案】

【答案】B

【14题答案】

【答案】D

【15题答案】

【答案】B

【16题答案】

【答案】D

【17题答案】

【答案】（1）；

（2）.

【小问1详解】

由勾股定理可知：，

所以圆锥的体积为：；

【小问2详解】

过做，所以是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），

因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，

所以，即，而，所以，

因此，

在中，由正弦定理可知：

，

，

由余弦定理可知：，

所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为.

【19题答案】

【答案】（1）－1；（2）

【小问1详解】

的解集是，得到的解集是，所以，

，所以，

【小问2详解】

令，因为，所以，当时，，

即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得或，进而可得答案为：

【21题答案】

【答案】（1）;（2）当A在弧MN的四等分点处时，．

【详解】（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，

，

，

（2）设

则，

，

即时，

，此时A在弧MN的四等分点处

答：当A在弧MN的四等分点处时，

【22题答案】

【答案】（1）；

（2）；

（3）存在，

【小问1详解】

由题意得，得，

所以椭圆方程为，

因为点（－1，）在椭圆上，所以，得，

所以椭圆方程为

【小问2详解】

由题意设直线为，设，

由，得，

所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以△OPQ面积的最大值为

【小问3详解】

由题意设直线为，设，

由，得，

所以，

因为∠PST=∠QST，

所以，

所以，

所以，

，

所以，

所以，

所以，

所以，得，

所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时

【24题答案】

【小问1详解】

解：当时，，

所以；

【小问2详解】

证明：当时，，

所以，在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，为公差的递减的等差数列，

即，

所以，当足够大时，总可以找到，使，

当时，则存在，使得，

当时，则存在，使得，

综上所述存在正整数n，使得；

【小问3详解】

解：当时，，

故此时数列是以2为周期的周期数列，

当时，则，

由（2）得，存在正整数n，使得，

因此此时不存在不存在，

所以此时数列数列不是周期数列，

所以时，数列是以2为周期的周期数列，

，

所以，

又因，

所以，

所以，

所以存在，使得.