2022届上海市大同中学高三下学期期中数学试题（解析版）

2022届上海市大同中学高三下学期期中数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则__．

【答案】

【分析】根据对数函数的定义域与指数函数的值域，结合交集与补集的运算求解即可.

【详解】集合，，

所以，则．

故答案为：

2．已知复数（其中为虚数单位），则的共轭复数________．

【答案】

【分析】利用复数的除法化简可得，再结合共轭复数的定义，即得解

【详解】由题意，

故

故答案为：

3．的展开式中的系数为__．

【答案】

【分析】根据二项式展开式的通项公式，直接计算即可得到结果.

【详解】展开式的通项公式为，

令，则，所以的系数为．

故答案为:

4．记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.

【答案】##

【分析】利用表示出已知的等量关系，解方程组求得后，利用等差数列通项公式求解即可.

【详解】设等差数列的公差为，

由得：，解得：，.

故答案为：.

5．直线的倾斜角为__．

【答案】

【分析】将直线化为一般式，得到其斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系，即可得到结果.

【详解】直线方程为，斜率为，则倾斜角为．

故答案为:

6．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种．

【答案】60

【分析】先根据部分均匀分组，由先分组再分配解决即可.

【详解】由题知，

①将5名大学生分成的三组，有种分组方法，

②甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择，

有种情况，

所以有种方案．

故答案为：60

7．已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值为__．

【答案】6

【分析】作出图形，过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可知，当点、、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，即可求解.

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义得，

，

当点、、三点共线时，即当与直线垂直时，

取得最小值，且最小值为．

故答案为：.

8．中国古塔多为六角形或八角形﹒已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，，则__．

【答案】

【分析】根据投影的定义，可得，结合余弦定理即可得到，从而得到结果.

【详解】由投影的概念，，因为，正八边形每个内角为，

则，

易得为等腰直角三角形，则，

所以．

故答案为：

9．已知，，则__．

【答案】##-0.6

【分析】利用和差公式计算得到，再化简得到原式为，代入计算得到答案.

【详解】，，所以，

所以，所以或（舍去），

所以

．

故答案为：

10．已知函数，若均不相等，且，则的取值范围是___________

【答案】

【分析】不妨设，结合函数图像可得，从而得出，即可得出答案.

【详解】不妨设，由图可得，，

所以即，

由得，，所以的取值范围是

故答案为：

11．过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则线段长度的最小值为__________.

【答案】

【分析】利用向量数乘的坐标运算可得，由此可求得点轨迹为直线，将问题转化为原点到直线距离的求解即可.

【详解】设，，，

，，，，

由，得：，，

两式相乘得：，同理可得：，

，

由题意知：且，否则与矛盾，，

点轨迹为，即直线，

线段长度的最小值即为原点到直线的距离，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用向量坐标运算求得动点的轨迹方程，根据轨迹为直线可将问题转化为坐标原点到直线距离的求解.

12．若，则下列结论中正确的有_____．

①若为整数，则；

②是正整数；

③是的小数部分；

④设，若、为整数，则.

【答案】①③④

【分析】求出可判断①的正误；取可判断②的正误；利用二项式定理可判断③的正误；分为偶数和为奇数两种情况分析讨论，结合二项式定理可判断④的正误.

【详解】①因为，所以，

则，①正确；

②，

因为不是正整数，故②错误；

③

，

两部分都是整数，所以，

且，

所以是的小数部分，③正确；

④，

当为奇数时，，

，

所以，

所以，

故，

当为偶数时，，

，

同理，

所以，

所以，故④正确；

故答案为:①③④．

【点睛】关键点点睛：③中将转化为二项展开式的形式展开求解，④的讨论关键在于当为奇数时，，

，为偶数时，，

.

二、单选题

13．已知a，，则“”的一个必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用否定ACD选项，进而得答案.

【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故不是的必要条件，故错误；

对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确；

对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误；

对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误.

故选：B

14．函数在上的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由函数在上的取值可判断

【详解】因为

所以函数为奇函数，故排除选项C，D；

因为在上，，所以排除选项B．

故选：A．

15．已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件确定的范围，求解不等式作答.

【详解】由得，而当，时，，

又，函数在内有且仅有两个零点，

于是得，解得，

所以的取值范围是.

故选：D

16．若双曲线的左右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q．当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由双曲线定义得到，再利用焦点到渐近线的距离为求得，设出渐近线方程求得的中点坐标代入双曲线方程联解求得的解.

【详解】，

，

又，，

双曲线的渐近线方程为：，

即，

焦点到渐近线的距离为，

即的最小值为b，

即，

不妨设直线OQ为：，

，

点，，的中点为，

将其代入双曲线C的方程，得：，

即，

解得：

又，，

，

故双曲线C的方程为．

故选：B.

三、解答题

17．如图，在多面体中，为等边三角形，，，，，为的中点.

(1)证明：平面；

(2)求锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）考虑所给的条件，找出相应的几何关系即可；

（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，用空间向量的方法即可.

【详解】（1）取中点，连结，，

∵，，

∴四边形为平行四边形，

∴，又平面，平面，

平面；

（2）∵，∴，

又∵，，∴平面，平面，

∴平面平面，取的中点，以OE为x轴，AB为y轴，过点O做平行于BC的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

∴，，，∴，，

设平面的一个法向量为，

∴，∴，平面的一个法向量为，

∴，

所以平面和平面所成的锐二面角的余弦值为；

故答案为：证明见解析， .

18．已知四边形内接于圆，，，是钝角.

(1)求的最大值；

(2)，求四边形周长的最大值.

【答案】(1)4

(2)

【分析】（1）利用正弦定理求出圆的直径即得的最大值；

（2）先在中根据所给条件，利用正弦定理求出的值和的长，然后在中通过余弦定理和基本不等式求出与之和的最大值即可求解.

【详解】（1）设圆的半径为.

因为内接于圆，且，，由正弦定理得.

又是圆的弦，所以，所以的最大值为4.

（2）在中，由正弦定理得，即，

所以.

因为是钝角，所以，所以，即.

由得，设，，

在中，由余弦定理得，

即，所以，当且仅当时，取得最大值，

所以四边形周长的最大值为.

19．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) 75恒成立; 恒成立．

(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;

(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．

【答案】(1) 函数模型，不符合公司要求,详见解析(2) [1，2]

【分析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a的范围，取交集即可.

【详解】(1)对于函数模型,

当x∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立，若函数恒成立，即,解得x≥60．∴不恒成立，

综上所述，函数模型，满足基本要求①②，但是不满足③，

故函数模型，不符合公司要求．

(2)当x∈[25，1600]时，单调递增，

∴最大值∴

设恒成立，∴恒成立，即,

∵，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4

∵a≥1, ∴1≤a≤2, 故a的取值范围为[1，2]

【点睛】这个题目考查了函数模型的应用，这类题目关键是选对函数模型，读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决问题.

20．已知圆过点，且与直线相切．

(1)求圆心的轨迹的方程；

(2)为轨迹上的动点，为直线上的动点，求的最小值；

(3)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为．问是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)；

(3)过定点.

【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；

（2）根据点到直线距离公式，结合配方法进行求解即可；

（3）根据直线斜率公式，结合直线方程进行求解即可.

【详解】（1）由题意得点到直线的距离等于到点的距离，

所以点是以为焦点，以为准线的抛物线，

焦点到准线的距离，所以点的轨迹方程为；

（2）设，到直线的距离

 ，所以的最小值为；

（3）设，，

则直线的方程为，

因为过点，所以，所以．

因为与关于轴对称，故，

同理，直线的方程为，

因为，所以的方程为，

所以直线过定点．

【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.

21．已知行列的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.

(1)若数表，，请直接写出B，C是否是典型表；

(2)当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；

(3)求的最小值.

【答案】(1)B不是典型表，C是典型表；

(2)不存在；

(3)为偶数时 ，为奇数时.

【分析】（1）由题设典型表的定义，结合给定的数表判断即可.

（2）根据题设分析知：数值分配时有即可，结合典型表的定义及数表的对称性确定最小时在数表上的分布情况，即可判断是否存在.

（3）结合（2）的分析，讨论为偶数、奇数情况下的最小值.

【详解】（1）对于数表B有，而不成立，故数表B不是典型表；

对于数表C，当时总有成立，故数表C是典型表.

（2）由题设知：当要存在典型表A使得，则需.

∵要使最小，即典型表A中的“1”最少，又时总有，

∴让尽量多的横列和，故将表分成4个数表，对角的两个数表数值相同，但上下、左右对称的数表数值不同，此时可保证最小.

∴如典型表，有.

∴不存在典型表A使得.

（3）要使最小，需让尽量多的横列和或典型表中“1”尽量少，

当为偶数时，由（2）知：；

当为奇数时，在偶数的数表中间加一行一列，并在新增行列中添加个“1”，即可满足典型数列，此时；

【点睛】关键点点睛：第二问，通过，结合数表的对称性确定最小时的数值分布情况，即可判断存在性，第三问，由第二问情况归纳为偶数时，进而推广到为奇数时.