2022届上海市大同中学高三下学期期中数学试题(解析版)
展开2022届上海市大同中学高三下学期期中数学试题
一、填空题
1.已知集合,,则__.
【答案】
【分析】根据对数函数的定义域与指数函数的值域,结合交集与补集的运算求解即可.
【详解】集合,,
所以,则.
故答案为:
2.已知复数(其中为虚数单位),则的共轭复数________.
【答案】
【分析】利用复数的除法化简可得,再结合共轭复数的定义,即得解
【详解】由题意,
故
故答案为:
3.的展开式中的系数为__.
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项公式,直接计算即可得到结果.
【详解】展开式的通项公式为,
令,则,所以的系数为.
故答案为:
4.记是公差不为的等差数列的前项和,若,,则________.
【答案】##
【分析】利用表示出已知的等量关系,解方程组求得后,利用等差数列通项公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为,
由得:,解得:,.
故答案为:.
5.直线的倾斜角为__.
【答案】
【分析】将直线化为一般式,得到其斜率,然后根据倾斜角与斜率的关系,即可得到结果.
【详解】直线方程为,斜率为,则倾斜角为.
故答案为:
6.某校有5名大学生打算前往观看冰球,速滑,花滑三场比赛,每场比赛至多2名学生前往,则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种.
【答案】60
【分析】先根据部分均匀分组,由先分组再分配解决即可.
【详解】由题知,
①将5名大学生分成的三组,有种分组方法,
②甲同学所在的组不去观看冰球比赛,有2种情况,剩下的2组任意选择,
有种情况,
所以有种方案.
故答案为:60
7.已知点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上移动,则的最小值为__.
【答案】6
【分析】作出图形,过点作直线的垂线,垂足为点,由抛物线的定义可知,当点、、三点共线时,即当与直线垂直时,取得最小值,即可求解.
【详解】抛物线的焦点为,准线方程为,
过点作直线的垂线,垂足为点,由抛物线的定义得,
,
当点、、三点共线时,即当与直线垂直时,
取得最小值,且最小值为.
故答案为:.
8.中国古塔多为六角形或八角形﹒已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形,如图所示,,则__.
【答案】
【分析】根据投影的定义,可得,结合余弦定理即可得到,从而得到结果.
【详解】由投影的概念,,因为,正八边形每个内角为,
则,
易得为等腰直角三角形,则,
所以.
故答案为:
9.已知,,则__.
【答案】##-0.6
【分析】利用和差公式计算得到,再化简得到原式为,代入计算得到答案.
【详解】,,所以,
所以,所以或(舍去),
所以
.
故答案为:
10.已知函数,若均不相等,且,则的取值范围是___________
【答案】
【分析】不妨设,结合函数图像可得,从而得出,即可得出答案.
【详解】不妨设,由图可得,,
所以即,
由得,,所以的取值范围是
故答案为:
11.过点的直线与椭圆交于点和,且.点满足,若为坐标原点,则线段长度的最小值为__________.
【答案】
【分析】利用向量数乘的坐标运算可得,由此可求得点轨迹为直线,将问题转化为原点到直线距离的求解即可.
【详解】设,,,
,,,,
由,得:,,
两式相乘得:,同理可得:,
,
由题意知:且,否则与矛盾,,
点轨迹为,即直线,
线段长度的最小值即为原点到直线的距离,.
故答案为:.
【点睛】关键点点睛:本题解题关键是能够利用向量坐标运算求得动点的轨迹方程,根据轨迹为直线可将问题转化为坐标原点到直线距离的求解.
12.若,则下列结论中正确的有_____.
①若为整数,则;
②是正整数;
③是的小数部分;
④设,若、为整数,则.
【答案】①③④
【分析】求出可判断①的正误;取可判断②的正误;利用二项式定理可判断③的正误;分为偶数和为奇数两种情况分析讨论,结合二项式定理可判断④的正误.
【详解】①因为,所以,
则,①正确;
②,
因为不是正整数,故②错误;
③
,
两部分都是整数,所以,
且,
所以是的小数部分,③正确;
④,
当为奇数时,,
,
所以,
所以,
故,
当为偶数时,,
,
同理,
所以,
所以,故④正确;
故答案为:①③④.
【点睛】关键点点睛:③中将转化为二项展开式的形式展开求解,④的讨论关键在于当为奇数时,,
,为偶数时,,
.
二、单选题
13.已知a,,则“”的一个必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用否定ACD选项,进而得答案.
【详解】解:对于A选项,当时,,此时,故不是的必要条件,故错误;
对于B选项,当时,成立,反之,不成立,故是的必要条件,故正确;
对于C选项,当时,,但此时,故不是的必要条件,故错误;
对于D选项,当时,,但此时,故故不是的必要条件,故错误.
故选:B
14.函数在上的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】利用排除法,先判断函数的奇偶性,再由函数在上的取值可判断
【详解】因为
所以函数为奇函数,故排除选项C,D;
因为在上,,所以排除选项B.
故选:A.
15.已知函数在内有且仅有两个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据给定条件确定的范围,求解不等式作答.
【详解】由得,而当,时,,
又,函数在内有且仅有两个零点,
于是得,解得,
所以的取值范围是.
故选:D
16.若双曲线的左右焦点分别为,,点P为C的左支上任意一点,直线l是双曲线的一条渐近线,,垂足为Q.当的最小值为6时,的中点在双曲线C上,则C的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由双曲线定义得到,再利用焦点到渐近线的距离为求得,设出渐近线方程求得的中点坐标代入双曲线方程联解求得的解.
【详解】,
,
又,,
双曲线的渐近线方程为:,
即,
焦点到渐近线的距离为,
即的最小值为b,
即,
不妨设直线OQ为:,
,
点,,的中点为,
将其代入双曲线C的方程,得:,
即,
解得:
又,,
,
故双曲线C的方程为.
故选:B.
三、解答题
17.如图,在多面体中,为等边三角形,,,,,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)考虑所给的条件,找出相应的几何关系即可;
(2)建立空间直角坐标系,写出相应点的坐标,用空间向量的方法即可.
【详解】(1)取中点,连结,,
∵,,
∴四边形为平行四边形,
∴,又平面,平面,
平面;
(2)∵,∴,
又∵,,∴平面,平面,
∴平面平面,取的中点,以OE为x轴,AB为y轴,过点O做平行于BC的直线为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
∴,,,∴,,
设平面的一个法向量为,
∴,∴,平面的一个法向量为,
∴,
所以平面和平面所成的锐二面角的余弦值为;
故答案为:证明见解析, .
18.已知四边形内接于圆,,,是钝角.
(1)求的最大值;
(2),求四边形周长的最大值.
【答案】(1)4
(2)
【分析】(1)利用正弦定理求出圆的直径即得的最大值;
(2)先在中根据所给条件,利用正弦定理求出的值和的长,然后在中通过余弦定理和基本不等式求出与之和的最大值即可求解.
【详解】(1)设圆的半径为.
因为内接于圆,且,,由正弦定理得.
又是圆的弦,所以,所以的最大值为4.
(2)在中,由正弦定理得,即,
所以.
因为是钝角,所以,所以,即.
由得,设,,
在中,由余弦定理得,
即,所以,当且仅当时,取得最大值,
所以四边形周长的最大值为.
19.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益,现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过75万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时,则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25,1600]时,①f(x)是增函数;②f (x) 75恒成立; 恒成立.
(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求,并说明理由;
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.
【答案】(1) 函数模型,不符合公司要求,详见解析(2) [1,2]
【分析】(1)依次验证题干中的条件即可;(2)根据题干得,要满足三个条件,根据三个条件分别列出式子得到a的范围,取交集即可.
【详解】(1)对于函数模型,
当x∈[25, 1600]时, f (x)是单调递增函数,则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立,若函数恒成立,即,解得x≥60.∴不恒成立,
综上所述,函数模型,满足基本要求①②,但是不满足③,
故函数模型,不符合公司要求.
(2)当x∈[25,1600]时,单调递增,
∴最大值∴
设恒成立,∴恒成立,即,
∵,当且仅当x=25时取等号,∴a2≤2+2=4
∵a≥1, ∴1≤a≤2, 故a的取值范围为[1,2]
【点睛】这个题目考查了函数模型的应用,这类题目关键是选对函数模型,读懂题意,将实际问题转化为数学问题,利用数学知识解决问题.
20.已知圆过点,且与直线相切.
(1)求圆心的轨迹的方程;
(2)为轨迹上的动点,为直线上的动点,求的最小值;
(3)过点作直线交轨迹于、两点,点关于轴的对称点为.问是否经过定点,若经过定点,求出定点坐标;若不经过,请说明理由.
【答案】(1);
(2);
(3)过定点.
【分析】(1)根据抛物线的定义进行求解即可;
(2)根据点到直线距离公式,结合配方法进行求解即可;
(3)根据直线斜率公式,结合直线方程进行求解即可.
【详解】(1)由题意得点到直线的距离等于到点的距离,
所以点是以为焦点,以为准线的抛物线,
焦点到准线的距离,所以点的轨迹方程为;
(2)设,到直线的距离
,所以的最小值为;
(3)设,,
则直线的方程为,
因为过点,所以,所以.
因为与关于轴对称,故,
同理,直线的方程为,
因为,所以的方程为,
所以直线过定点.
【点睛】关键点睛:利用抛物线的定义是解题的关键.
21.已知行列的数表中,对任意的,,都有.若当时,总有,则称数表A为典型表,此时记.
(1)若数表,,请直接写出B,C是否是典型表;
(2)当时,是否存在典型表A使得,若存在,请写出一个A;若不存在,请说明理由;
(3)求的最小值.
【答案】(1)B不是典型表,C是典型表;
(2)不存在;
(3)为偶数时 ,为奇数时.
【分析】(1)由题设典型表的定义,结合给定的数表判断即可.
(2)根据题设分析知:数值分配时有即可,结合典型表的定义及数表的对称性确定最小时在数表上的分布情况,即可判断是否存在.
(3)结合(2)的分析,讨论为偶数、奇数情况下的最小值.
【详解】(1)对于数表B有,而不成立,故数表B不是典型表;
对于数表C,当时总有成立,故数表C是典型表.
(2)由题设知:当要存在典型表A使得,则需.
∵要使最小,即典型表A中的“1”最少,又时总有,
∴让尽量多的横列和,故将表分成4个数表,对角的两个数表数值相同,但上下、左右对称的数表数值不同,此时可保证最小.
∴如典型表,有.
∴不存在典型表A使得.
(3)要使最小,需让尽量多的横列和或典型表中“1”尽量少,
当为偶数时,由(2)知:;
当为奇数时,在偶数的数表中间加一行一列,并在新增行列中添加个“1”,即可满足典型数列,此时;
【点睛】关键点点睛:第二问,通过,结合数表的对称性确定最小时的数值分布情况,即可判断存在性,第三问,由第二问情况归纳为偶数时,进而推广到为奇数时.
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