2022届上海市复旦中学高三下学期期中数学试题（解析版）

2022届上海市复旦中学高三下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知无穷等比数列的首项为1，公比为，则各项的和为（    ）

A．  B．  C． D．

【答案】D

【分析】由无穷递减等比数列的各项的和为，可求出答案.

【详解】无穷等比数列的首项为1，公比为

所以各项的和为

故选：D

2．一组统计数据与一组统计数据相比较是

A．标准差相同 B．中位数相同 C．平均数相同 D．以上都不同

【答案】D

【解析】根据数据，，，，的平均数、方差、标准差和中位数，写出数据，，，，的平均数、方差、标准差和中位数即可．

【详解】设数据，，，，的平均数为，方差为，标准差为，中位数为；

则数据，，，，的平均数为，

方差为，标准差为，中位数为；

它们的平均数不相同，标准差不同，中位数也不同．

故选：D．

【点睛】本题考查数据的平均数、方差、标准差和中位数的应用问题，考查数据处理能力，属于基础题．

3．在中，若，则是（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状.

【详解】由正弦定理，

即，

因为，，，

所以，

所以是等边三角形.

故选：B

【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，从而判断三角形的形状，属基础题.

4．对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：

①；②； ③； ④．

其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（     ）

A．①②③ B．②③ C．①③ D．②③④

【答案】B

【详解】①函数的周期是4,正弦函数的性质我们易得,为函数的一个“可等域区间”,同时当时也是函数的一个“可等域区间”,不满足唯一性.

②当时,,满足条件,且由二次函数的性质可知,满足条件的集合只有一个.

③为函数的“可等域区间”,

当时,,函数单调递增,,满足条件,

,n取值唯一.故满足条件.

④单调递增,且函数的定义域为,

若存在“可等域区间”,则满足,即,

,n是方程的两个根,设,,当时,,此时函数单调递增,

不可能存在两个解,

故不存在“可等域区间”.

所以B选项是正确的.

二、填空题

5．已知全集，集合，则_________.

【答案】

【解析】先求得集合，再根据集合补集的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合，

根据集合的补集的概念及运算，可得.

故答案为：.

6．已知向量，，若，则________.

【答案】2

【分析】根据得到，从而得到的值.

【详解】因为向量，，且，

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，同角三角函数关系，属于简单题.

7．行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则______．

【答案】-14

【分析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.

【详解】由题意得

解得：．

故答案为．

【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.

8．二项式展开式的各项系数的和为____________

【答案】81

【分析】由二项式各项系数和的性质，令即得解

【详解】由题意，令，可得二项式展开式的各项系数的和为

故答案为：81

9．若满足，则目标函数的最大值是________．

【答案】；

【详解】画出可行域,如下图阴影部分,其中令 ，则,

为经过坐标原点得到直线,将此直线向右上方平移,当经过点时, 有最大值3.

10．直线的倾斜角是______.（用反三角表示）

【答案】

【分析】将直线的参数方程整理为直线的一般方程,进而得到倾斜角

【详解】由题,可得,

设倾斜角为,,

【点睛】本题考查直线的参数方程与一般方程的转化,考查反三角函数求角

11．已知幂函数过点，则的反函数为____

【答案】（）

【分析】先根据幂函数通过的点求出该幂函数，再求它的反函数即得．

【详解】设幂函数（为常数），由题得，解得，故.由可得，把x与y互换可得，得的反函数为.

【点睛】本题考查求幂函数的解析式进而求其反函数，属于基础题．

12．设等差数列的公差为，前项和为，则__________.

【答案】

【分析】由等差数列性质表示出，再结合极限定义求解即可

【详解】设数列首项为，则，

，则

故答案为：

【点睛】本题考查数列极限的求法，等差数列性质的应用，属于基础题

13．一颗标有数字的骰子连续郑两次，朝上的点数依次记为，使得复数为实数的概率是___________.

【答案】

【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有种结果，满足条件的事件是使复数为实数，进行复数的乘法运算，得到的结果，列举出所有情况，得到概率．

【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有种结果，

满足条件的事件是使复数为实数，

，

要使是一个实数，

有，

，

，或，因为，，所以

有，；，；，，共有3种结果，

由古典概型得到概率，

故答案为：．

14．已知是球表面上的点，平面，，，，则球的表面积为__________.

【答案】

【分析】可将几何体还原，分析可知求解的是长方体外接球的表面积

【详解】如图，将几何体还原成长方体，则长方体外接球的半径，则球体的表面积为：

故答案为：

【点睛】本题考查几何体外接球的表面积求法，能根据题意还原出几何体是关键，属于基础题

15．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，线段的延长线与直线交于点，则的值为______.

【答案】2

【分析】由题意可得为,准线方程为,过点作垂直于准线,垂足为,准线与轴的交点为,可得∽,进而得到,化简即为所求

【详解】

由题可得,为,准线方程为,

过点作垂直于准线,垂足为,准线与轴的交点为,则由抛物线的定义得,,,且易得∽

,,即

,两边同时除以

故答案为2

【点睛】本题考查抛物线的定义,标准方程,考查抛物线的性质的应用,考查数形结合

16．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为 ，

设，若在数列中，对任意恒成立，则实数的取值范围是_____;

【答案】.

【详解】试题分析：数列是取和中的最大值，据题意是数列的最小项，由于函数是减函数，函数是增函数，所以或，即或，解得或，所以．

【解析】分段函数与数列的通项公式，数列的最小项问题．

三、解答题

17．设在直三棱柱中，，，依次为的中点.

（1）求异面直线所成角的大小（用反三角函数表示）

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）；（2）

【分析】由于几何体比较规则，优先考虑建系法，以A为原点建立空间直角坐标系

（1）分别表示出向量，利用夹角公式即可求解；

（2）求出平面的法向量，再表示出，利用点到直线距离的向量公式即可求解

【详解】

（1）如图所示，以点为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，，

，，则；

（2），，设平面的法向量为，则有，令，解得，则，

，点到平面的距离为

【点睛】本题考查异面直线夹角的求法，点到平面距离公式，属于中档题

18．已知函数（，）是上的偶函数，其图像关于点对称.

（1）求的值；

（2），求的最大值与最小值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据函数是偶函数可先求得，再将对称点代入可求得关于的通式，结合即可求得具体值；

（2）结合函数表达式，由求得的范围，再结合函数图像即可求得函数值域，进而求解；

【详解】是上的偶函数，，又，，

，

又图像关于点对称，，

化简得，又，所以；

（2），由，，

【点睛】本题考查由三角函数的性质求解具体参数，在给定区间内求余弦型三角函数的最值，属于中档题

19．治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．

(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；

(2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．

【答案】(1)

(2)有效，理由见详解

【分析】（1）分别求出当时和时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式；

（2）先根据，利用作差法，可证明数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势

【详解】（1）设治理年后，S市的年垃圾排放量构成数列.

当时，是首项为，公差为的等差数列，

所以；

当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，

所以，

所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为

（2）设为数列的前项和，

则．

由于

由（1）知，

时，，所以为递减数列，

时，，所以为递减数列，

且，

所以为递减数列，

于是

因此，

所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的

20．已知椭圆长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线过点，且与椭圆相交于另一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段长为，求直线的倾斜角；

（3）点在线段的垂直平分线上，且，求的值.

【答案】（1）；（2）或；（3）或.

【分析】（1）由椭圆长轴长为短轴长的两倍，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，列出方程组求出，，即可求椭圆的方程；

（2）直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求得结论．

（3）设直线的方程为，由，得，由此根据和两种情况分类讨论经，能求出结果．

【详解】解：（1）椭圆长轴长为短轴长的两倍，

连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，

，

解得，．

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）可知点的坐标是．

设点的坐标为，，直线的斜率为，则直线的方程为．

代入椭圆方程，消去并整理，得．

由，得．

从而．

所以．

由，得．

整理得，即，解得．

所以直线的倾斜角或．

（3）由（1）可知．设点的坐标为，，直线的斜率为，

则直线的方程为，

于是，两点的坐标满足方程组，

由方程组消去并整理，得，

由，得，从而，

设线段是中点为，则的坐标为，，

以下分两种情况：

①当时，点的坐标为．线段的垂直平分线为轴，于是

，，由，得；

②当时，线段的垂直平分线方程为，

令，解得，

由，，，

，

整理得，故，解得．

综上或．

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆与直线位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查整体思想、分类讨论思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，属于中档题．

21．若定义在上的函数满足：对于任意实数、，总有恒成立.我们称为“类余弦型”函数.

（1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值.

（2）在（1）的条件下，定义数列求的值.

（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，证明：函数为偶函数；设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.

【答案】（1）；；（2）2037171；（3）证明见解析，.

【分析】（1）先令，，解出，然后再令解出；

（2）由题意可以推出是以为首项，公比为的等比数列，然后得出数列的通项公式，再利用对数的运算法则求的值；

（3）先令，得出，然后令，得可证明为偶函数；由时，，则，即，令(为正整数)，有，由此可递推得到对于任意为正整数，总有成立，即有时，成立，可设，，其中是非负整数，都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论即可得到大小.

【详解】解：（1）令，，得，∴；

再令，得，∴，∴.

（2）由题意可知，

令，，得，

∴

∴

.

∴是以3为首项，以2为公比的等比数列.因此，

故有

所以

（3）令，，，又∵，∴

令，，∴，

即.

∴对任意的实数总成立，

∴为偶函数.

结论：.

证明：设，∵时，，

∴，即.

∴令，故，

总有成立.

∴对于，总有成立.

∴对于，若，则有成立.

∵，所以可设，，其中，是非负整数，，都是正整数，

则，，令，，，则.

∵，∴，∴，即.

∵函数为偶函数，∴，.∴.

【点睛】本题考查新定义函数问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，考查函数的基本性质在解题中的应用，属于难题.