2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区雅礼洋湖实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区雅礼洋湖实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列各数是无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 新冠疫情在全球肆虐，截止年月日，全球累计确诊新冠肺炎人数超过人，用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示正三棱柱的主视图是

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，直线，将一个三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 下列关于反比例函数的结论中正确的是

A. 图象过点 B. 图象在一、三象限内
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时

9. 已知的直径与弦的夹角为，过点作的切线交的延长线于点，则等于

A.
B.
C.
D.

10. 如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间下列结论中：；；；，则正确的个数为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 分解因式：______．
12. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是______ ．
13. 一个圆锥的母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积是______．
14. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，则的周长为______．
     

15. 如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为______．
    
     

16.  九章算术中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为______米．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度．
    画出向上平移个单位得到的；
    以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为：，并直接写出点的坐标．

20. 为坚持“五育并举”，落实立德树人根本任务，教育部出台了“五项管理”举措．我校对九年级部分家长就“五项管理”知晓情况作调查，：完全知晓，：知晓，：基本知晓，：不知晓．九年级组长将调查情况制成了条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：
    
    共调查了______名家长，并在图补齐条形统计图；
    图中选项所对应的圆心角度数为______；
    我校九年级共有名家长，估计九年级“不知晓五项管理”举措的家长有多少人？
    已知选项中男女家长数相同，若从选项家长中随机抽取名家长参加“家校共育”座谈会，请用列表或画树状图的方法，求抽取家长都是男家长的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，矩形的对角线，相交于点，，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求菱形的面积．

22. 某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买件种奖品和件种奖品共需元；购买件种奖品和件种奖品共需元．
    求，两种奖品的单价各是多少元？
    学校准备购买，两种奖品共件，奖品的数量不少于奖品数量的，且购买总费用不超过元．设购买种奖品件，购买总费用为元，求与的函数关系式；当购买种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知：如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过，两点的交于点，交于点，恰为的直径．
    求证：与相切；
    当，时，求的半径．

24. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，称该点为这个函数图象的“等值点”，该函数称为“等值函数”例如：“等值函数”，其图象上的“等值点”为．
    在下列关于的函数中，是“等值函数”的，请在相应题目后面的横线上打“”．
    ______； ______； ______．
    若点，点是“等值函数”其中上的“等值点”，且，求的取值范围；
    若“等值函数”的图象上存在唯一的一个“等值点”，且当时，的最小值为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知：如图所示，将一块等腰三角板放置与正方形的重合，连接，，是的中点，连接，与交于点．
    
    观察猜想
    与的数量关系是______，与的数量关系是______，与的位置关系是______；
    探究证明
    如图所示，把三角板绕点逆时针旋转，其他条件不变，线段与的关系是否仍然成立，并说明理由；
    拓展延伸
    若旋转角，且，求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
 

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】

解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选B．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．注意本题不要误选C．
 

4.【答案】

【解析】

解：，
选项A符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
利用幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，乘法分配律对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，乘法分配律，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，乘法分配律是解决问题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由对顶角相等，根据的度数求出的度数，再由与平行，得到同旁内角互补，再由为直角，求出的度数即可．
此题考查了平行线的性质，以及余角和补角，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是小时，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是小时，
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：，
图象不经过点，
故A错误，不符合题意；
B.，
图象位于第二，第四象限，
故B错误，不符合题意；
C.，
图象位于第二，第四象限，
当时，随的增大而增大，
故C正确，符合题意；
D.当时，，
故D错误，不符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：连接，
，，
，
，
切于，
，
，
故选：．
连接，根据切线性质求出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形外角性质求出，在中，根据三角形的内角和定理求出即可．
本题考查了等腰三角形性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、切线的性质等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
 

10.【答案】

【解析】

解：函数图象开口向上，
，
对称轴在轴右侧，与异号，
，
函数图象与轴交负半轴，
，故，正确
顶点坐标，对称轴，
，，
点关于对称轴对称点为，
当时，，得，
，
，
，错误．
当时，，，正确．
当，时，，
，，
，
，
，
，即，错误．
故选：．
根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得，符号和关系，与轴交点判断的取值范围，利用当为，时，对应的值进行判断对错，依据顶点坐标可以判断出系数与关系式．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，函数图象对称性性质的使用，解题关键是找到各个系数与顶点坐标之间的关系．
 

11.【答案】

【解析】

解：原式．
故答案为：．
利用提公因式法直接分解得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：依题意得：，
解得．
故答案是：．
把代入方程，列出关于的新方程，通过解该方程可以求得的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

13.【答案】

【解析】

解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
 

14.【答案】

【解析】

解：依据作图可得，垂直平分，
，
，
又，
的周长为，
故答案为：．
依据垂直平分，即可得出，进而得到，再根据，，即可得出的周长．
本题主要考查了作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
连接，由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
【解答】

解：连接，
为的直径，，
，
设的半径为，
则，，
在中，，
，
解得：，
的半径为，
故答案为：．
 

16.【答案】

【解析】

解：，，
，
∽，
，
，
，
即井深为米，
故答案为．
首先证明∽，得到，将相关数值代入，求出即可．
本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
 

17.【答案】

解：


．
 

【解析】

先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】

解：

，
当，时，
原式


．
 

【解析】

先根据单项式乘多项式，平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

19.【答案】

解：如图所示：，即为所求；

如图所示：，即为所求，坐标．
 

【解析】

直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．
此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．
 

20.【答案】

【解析】

解：调查学生家长的人数为：名，
选项人数为名，
所以选项人数为名，
补全条形图如下：


选项所对应的圆心角度数为；
故答案为：；

根据题意得：
人，
估计九年级“不知晓五项管理”举措的家长有人；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，所抽取家长都是男家长的结果有个，
则抽取家长都是男家长的概率为．
由选项人数及其所占百分比可得总人数，再求出、选项人数，从而补全统计图；
用乘以选项人数所占比例即可；
总人数乘以样本中选项人数所占比例即可；
画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】

证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
解：作于点，
四边形是矩形，，
，，，
，
，
，
，
菱形的面积是：．
 

【解析】

根据，，可以得到四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到，由菱形的定义可以得到结论成立；
根据，，可以求得菱形边上的高，然后根据菱形的面积底高，代入数据计算即可．
本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积底高或者是对角线乘积的一半．
 

22.【答案】

解：设的单价为元，的单价为元，根据题意得：
，
．
的单价元，的单价元．
设购买奖品个，则购买奖品为个，
由题意可知，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为元．
购买种奖品件时，购买总费用最少；总费用最少是元．
 

【解析】

设种奖品的单价是元，种奖品的单价是元，根据“钱数种奖品单价数量种奖品单价数量”可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
设购买种奖品件，则购买种奖品件，根据购买费用不超过元，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围，再结合数量关系即可得出与之间的函数关系，根据一次函数的性质既可以解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】

证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，是角平分线，
，
，
是的半径，
与相切；
解：在中，，是角平分线，
，，
在中，，
，
设的半径为，则，
，
∽，
，
即 ，
，
即的半径为．
 

【解析】

连接，可得，进而推出，由平行线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，得到，由圆的切线的判定即可证得结论；
首先证得∽，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线进行证明．
 

24.【答案】

不是   
 

【解析】

解：没有等值点；等值点为；等值点为，；
故答案为：不是；；；
点，点是“等值函数”其中上的“等值点”，
设，，
和是方程的两根，
，，，
，
，
，
解得；
“等值函数”的图象上存在唯一的一个“等值点”，
方程有两个相等的实数根，
即，
，
，
，
分以下三种情况讨论：
当即时，当时有最小值，
即，
解得舍去；
当即时，当时有最小值，
即，
解得或舍去；
当即时，当时有最小值，
即，
解得；
综上，的值为或．
根据等值函数的定义判断即可；
根据根与系数关系求出的取值即可；
根据得出，，的关系式，分情况讨论得出的值即可．
本题主要考查二次函数的综合知识，根据二次函数与轴交点的个数得出的取值，熟练掌握根与系数关系是解题的关键
 

25.【答案】

【解析】

解：设交于点，

为等腰直角三角形，
，
，，
≌，
，，
点是的中点，则，即，
，
，
即，
故答案为：，，相互垂直；
，，仍然成立，理由如下：
如图所示，延长至使，连接，

，，
≌，
，，
，，
，
而，
，
，，
≌，
，，
，
，
；
由得，
，则，
由知，，
，
过点作于点，设，则，，

，
．
由“”可证≌，由点是的中点，得到，进而求解；
证明≌和≌，得到，，进而求解；
证明，过点作于点，设，则，，则，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．