四川省成都市高新区教育科学研究院附中2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

四川省成都市高新区教育科学研究院附中2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个图形中，是中心对称的是

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列式子中一定成立的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 在平面直角坐标系中将向左平移个单位，则平移后的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知直线与直线的交点的横坐标是，则不等式的解集是

A.  B.  C.  D.

7. 某次知识竞赛共道题，每一题答对得分，不答得分，答错扣分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过分．设他答对了道题，则根据题意可列出不等式为

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在中，，首先以顶点为圆心，适当长为半径作弧，在边、上截取、；然后分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，为边上一动点，则的最小值为

A.  B.  C.  D. 无法确定

9. 若不等式的解集是，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到则旋转中心可能是

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

二．填空题（本题共9小题，共27分）

11. “的倍与的差大于”用不等式表示为______．
12. 如图，在一块长，宽的长方形草地上，修建三条宽均为的长方形小路，则这块草地的绿地面积图中空白部分为______．
     

13. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为______．
     

14. 等腰三角形的两边长是和，则这个三角形的周长等于______．
15. 点关于原点对称的点的坐标是______．
16. 如图，将个边长为的正方形按如图所示摆放，点，，，分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为______．

17. 某产品进价为每件元，商店标价为每件元．现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于，则商店最低可按______折出售．
18. 学校会议室重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价元，主楼梯道宽米，其侧面如图所示，求买地毯至少需要______元．

19. 如图，在与中，为的角平分线，且，，，现将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，当的面积最大时，则点到直线的距离为______．

三．解答题（本题共9小题，共73分）

20. 解下列不等式：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
21. 解下列不等式组，并把它们的解集表示在数轴上：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在变长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是和．
    将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标；
    求旋转过程中，线段扫过的面积．

23. 如图，中，，将绕点顺时针方向旋转得到，，交于点．
    求证：≌；
    求的度数．
     

24. 接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，辆型冷链运输车与辆型冷链运输车一次可以运输盒；辆型冷链运输车与辆型冷链运输车一次可以运输盒．
    求每辆型车和每辆型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
    计划用两种冷链运输车共辆运输这批疫苗，型车一次需费用元，型车一次需费用元．若运输物资不少于盒，且总费用小于元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，
    求直线的解析式；
    如图，点是点关于轴的对称点，点是的中点，点为轴上自原点向正半轴方向运动的一动点，运动速度为个单位长度，设点运动的时间为，点为射线上一点，当时，，求点的坐标；
    如图，在的条件下，当为等腰直角三角形时，求的值．

26. 已知方程组的解、满足，都为非负数，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
27. 已知：在中，，，点是的中点，点是边上一点．
    过点作于点，交于点如图，求证：；
    过点作，交的延长线于点，并交的延长线于点如图，判断与的数量关系，并说明理由．

28. 如图，点是射线：上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作的平行线交的平分线于点．
    若点的坐标为，求的长度；
    如图，过点作于点，于点，求证：平分；
    在的条件下，射线与交于点，在第一象限内是否存在一点使得≌？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】

【解析】

解：、因为，所以，故A不符合题意；
B、因为，所以，故B不符合题意；
C、因为，所以，故C不符合题意；
D、因为，所以，故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质进行计算逐一判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解是解此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：由，得：，
故选：．
移项即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

5.【答案】

【解析】

解：平移后的坐标为，即坐标为，
故选：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握平移规律．
 

6.【答案】

【解析】

解：由图象可得当时，直线在直线的上方，
不等式的解集是．
故选：．
由图象直线在直线的上方时的取值范围求解．
本题考查一次函数图象交点问题，解题关键是掌握一次函数与不等式的关系．
 

7.【答案】

【解析】

解：设他答对了道题，根据题意，得
．
故选：．
小聪答对题的得分：；小聪答错的得分：，不等关系：小聪得分超过分．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：由尺规作图步骤可得，平分，
，
当时，，
的最小值为，
故选：．
根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可．
本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
 

9.【答案】

【解析】

解：由不等式的解集是，
根据大大取大，．
选：．
根据的取值来分析的取值．
本题考查不等式解集的表示方法，注意这里的可以等于的．
 

10.【答案】

【解析】

解：如图，

绕某一点旋转某一角度得到，
连接、、，
作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
三条线段的垂直平分线正好都过，
即旋转中心是．
故选：．
连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点为旋转中心．
本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
 

11.【答案】

【解析】

解：由题意可得：．
故答案为：．
直接利用的倍即，再减去大于进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：由题意得：


平方米，
这块草地的绿地面积为，
故答案为：．
根据平移的性质，可得这块草地的绿地部分是一个长为米，宽为米的矩形，然后进行计算即可解答．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：，
，
将绕点旋转到的位置，
，，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：分两种情况：
当腰为时，，所以不能构成三角形；
当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：．
故答案为：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15.【答案】

【解析】

解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
故点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．
本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．
16.【答案】

【解析】

解：如图，过正方形的中心作于，作于，
则，，
在和中，
，
≌，
则四边形的面积就等于正方形的面积，
如正方形的边长是，则的面积是，
得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
个这样的正方形重叠部分阴影部分的面积和为，
故答案为：．
过正方形的中心作于，作于，则易证≌，根据已知可求得一个阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和，即可得出结果．
考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是找到规律，难点是求得一个阴影部分的面积．
17.【答案】

【解析】

解：设商店可按折出售，
依题意得：，
解得：，
商店最低可按折出售．
故答案为：．
设商店可按折出售，利用利润售价进价，结合要保证毛利润不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】

解：由题意得：
平方米，
元，
买地毯至少需要元，
故答案为：．
根据平移的性质可得，需要的地毯的长等于米，然后先求出需要地毯的面积，从而求出买地毯需要的费用．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
19.【答案】

【解析】

解：由题意可知，点在以为圆心，以长为半径的圆上运动，过点作，与的延长线交于点，与延长线交于点，与交于点点与位于点的两旁，如图，

当点位于处时，点到的距离则最大，此时的面积最大，
，，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
即当的面积最大时，则点到直线的距离为，
故答案为：．
点在以为圆心，以长为半径的圆上运动，过点作，与的延长线交于点，与延长线交于点，与交于点点与位于点的两旁，如图，当点位于处时，点到的距离则最大，此时的面积最大，通过全等三角形的证明和解直角三角形求得的长度，进而便可求得结果．
本题主要考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，角平分的性质，全等三角形的性质与判定，求点到直线的距离，关键是根据点运动的轨迹确定离直线距离最远的点的位置．
 

20.【答案】

解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：．
 

【解析】

根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得；
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

21.【答案】

解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：


解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

 

【解析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

22.【答案】

解：如图，即为所求，点的坐标；
，
线段扫过的面积．

 

【解析】

根据旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用扇形的面积公式求解即可．
本题考查作图旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

23.【答案】

证明：由旋转的性质得：≌，且，
，，，
，即，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，，
，
，
，
．
 

【解析】

由旋转的性质得到≌，以及，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用得到三角形与三角形全等即可；
由≌得到，根据三角形内角和定理得到，即可求出的度数．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

24.【答案】

解：设每辆型车和每辆型车一次可以分别运输盒疫苗、盒疫苗，
由题意可得，，
解得，
答：每辆型车和每辆型车一次可以分别运输盒疫苗、盒疫苗；
设型车辆，则型车辆，
由题意可得，，
解得，
为正整数，
，，，
共有三种运输方案，
方案一：型车辆，型车辆，
方案二：型车辆，型车辆，
方案三：型车辆，型车辆，
型车一次需费用元，型车一次需费用元，计划用两种冷链运输车共辆运输这批疫苗，
型车辆数越少，费用越低，
方案一所需费用最少，此时的费用为元，
答：方案一：型车辆，型车辆，方案二：型车辆，型车辆，方案三：型车辆，型车辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是元．
 

【解析】

根据辆型冷链运输车与辆型冷链运输车一次可以运输盒；辆型冷链运输车与辆型冷链运输车一次可以运输盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据中的结果和型车一次需费用元，型车一次需费用元．若运输物资不少于盒，且总费用小于元，可以列出相应的不等式组，然后根据辆数为整数和租用型车越少，费用越低，即可得到相应的运输方案和哪种方案所需费用最少，最少费用是多少．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等式关系和等量关系，列出相应的不等式组和方程组．
 

25.【答案】

解：设直线为，
把、分别代入得，解得，
直线的解析式为．
如图，设
，，，
，

，
，
点在直线上，时，；时，，
或
如图，作，垂足分别为，．
是等腰直角三角形，
，
点坐标，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，，
秒
 

【解析】

根据待定系数法可以确定直线的解析式．
先求出点的坐标，设，根据三角形的面积公式代入，即可解决问题．
作，，利用≌，求出即可．
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积公式、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、点与坐标的关系等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解决第问的关键．
 

26.【答案】

解：由方程组，解得，
而，都为非负数，
，
，
故的取值范围为．
 

【解析】

首先把作为已知数，解方程组用分别表示、，然后根据、都为非负数可以得到关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围．
本题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式的解法，用表示出、是解题的关键，也是本题的难点．
 

27.【答案】

证明：如图，，，
，
点是的中点，
，
，
于点，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解：，
理由：如图，由得，，
，交的延长线于点，
，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】

由，得，由是的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质得，所以，根据同角的余角相等得，即可证明≌，得；
由得，，根据同角的余角相等得，即可证明≌，得．
此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

28.【答案】

解：由点的坐标为，
得的长为；
过点作轴于点，
平分，，轴，
，
是外角平分线，，轴，
，
，
，，
由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得平分；
在第一象限内存在点使得≌，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
≌，
，，
在的延长线上，如图，且是等腰直角三角形，
，
点的坐标为；
将沿着翻折得到，如图，
此时，
，
轴，且，
点的坐标易求，
点坐标为，
综上所述点坐标为或
 

【解析】

由点的坐标为，得的长为；
过点作轴于点，由平分，，轴，得，由是外角平分线，，轴，得，进而得到，由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，得平分；
分点在线段上，在的延长线上两种情况，分别求解即可．
本题考查了一次函数的综合运用，涉及到三角形全等，角平分线的性质，解直角三角形等知识，其中第题要注意分类求解，避免漏解．