2020-2021学年广西贵港市高二（上）1月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年广西贵港市高二（上）1月月考数学（文）试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 如图是一个算法的流程图，若输入x的值为4，则输出y的值是( )

A.−3B.−2C.−1D.0

2. 椭圆x225+y29=1的离心率为( )
A.1B.13C.43D.45

3. 在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如图的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a代替．已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为（ ）

A.20 20B.21 20C.20 21D.21 21

4. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1,2,…,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )
A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生

5. 已知变量x，y之间的一组数据如表：
若y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a，则a=( )
A.0.1B.0.2

6. 下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1；
④若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4

7. 如图，在利用随机模拟方法估计函数y=x2的图象，直线x=−1，x=1以及x轴所围成的图形面积时，做了1000次试验，数出落在该区域中的样本点数为302个，则该区域面积的近似值为( )


8. 已知F是抛物线y2=4x的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上，且|AP|=|AF|=3，则直线l的斜率为（ ）
A.±1B.2C.±2D.2

9. 抛物线y=2x2的焦点坐标是( )
A.(18, 0)B.(12, 0)C.(0, 12)D.(0, 18)

10. 已知直线l1:ax+2y+3=0和l2:x+a−1y+1=0，则“a=2”是“l1//l2”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11. 已知函数f′x的图象如图所示，则y=fx的图象可能是（ ）

A.B.
C.D.

12. 已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是( )
A.3−12B.3−1C.3+12D.3+1
二、填空题

口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28．若红球有21个，则黑球有________个．

过点P(−1, 2)且与曲线y=3x2−4x+2在点M(1, 1)处的切线平行的直线方程是________．

设F为抛物线C：y2=16x的焦点，过F且倾斜角为45∘的直线交C于A，B两点，则|AB|=________．

若正四面体ABCD的棱长为2，则该正四面体的外接球的表面积为________．
三、解答题

某公司销售部门对某产品在某地区的广告投入与纯利润之间的关系进行研究，记录了2020年6月份到10月份的广告费与纯利润，得到如下资料表：
附：回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2,a=y¯−bx¯.
(1)根据6月份至10月份的数据，求出v关于u的线性回归方程；

(2)该公司销售部门打算11月份对该地区投入广告费15万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测不低于35万元时才能对该地区继续投入广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否继续投入广告．

受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学，某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了100名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如图．

(1)求图中a的值；

(2)求评分的中位数；

(3)以频率当作概率，若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60,70)和90,100内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60,70)内的概率．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccsB+bcsC=a2csA．
(1)求A；

(2)若a=3，求b+c的最大值．

已知公差不为零的等差数列an中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；

(2)设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Sn.

已知抛物线C： y2=2pxp>0的准线方程为x=−12，F为抛物线的焦点．
1求抛物线C的方程；

2若P是抛物线C上一点，点A的坐标为72，2，求|PA|+|PF|的最小值；

3若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M,N 两点，求线段MN的中点坐标．

已知函数fx=−x3+3x2+9x−2．
(1)求函数y=fx的图象在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)求fx的单调区间．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西贵港市高二（上）1月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
执行程序框图,x=4,y=1;x=2,y=1;x=2,y=0;x=0,y=1;x=−2,y=−2;结束循环，输出y=−2，故选B.
【解答】
解：执行程序框图，x=4，y=1，
x=2，y=1，
x=2，y=0，
x=0，y=−1，
x=−2，y=−2.
结束循环，输出y=−2.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
首先，分清长半轴长和短半轴长，然后，求解半焦距，最后，求解离心率即可．
【解答】
解：∵ 椭圆x225+y29=1，
∴ a=5，b=3，
∴ c=a2−b2=4，
∴ c=4，
∴ e=ca=45，
∴ 椭圆的离心率为45．
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
【解析】
甲乙成绩的平均数相同，得a＝4，易得甲乙成绩的中位数．
【解答】
解：甲乙成绩的平均数相同，
由茎叶图知，
16(16+18+18+a+20+24+28)
=16(18+18+20+20+24+28)，
解得a=4，
甲的中位数为：18+242=21，乙的中位数为20．
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
系统抽样方法
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知将1000名学生分成100组，每组10名学生，
用系统抽样46号学生被抽到，
所以第一组抽到6号，
且每组抽到的学生号构成等差数列an，公差d=10，
所以an=6+10(n−1)=10n−4n∈N∗，
若8=10n−4，则n=65，不符合题意；
若200=10n−4，则n=20.4，不合题意；
若616=10n−4，则n=62，符合题意；
若815=10n−4，则n=81.9不合题意.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
先计算平均数，利用线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．
【解答】
解：由题意，x¯=3+4+5+64=4.5，
y¯=2.5+3+4+4.54=3.5，
代入线性回归方程为y=0.7x+a，可得3.5=0.7×4.5+a，
∴ a=0.35.
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
互斥事件与对立事件
命题的真假判断与应用
【解析】
对四个命题分别进行判断得出正确选项即可．
【解答】
解：①对立事件一定是互斥事件，故①正确；
②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)，故②错误；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)≤1，故③错误；
④若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件，不一定正确，
因为由对立事件的定义可知，若事件A，B满足P(A)+P(B)=1且A∩B=⌀，
则A，B为对立事件，故④错误.
其中正确命题的个数是1．
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，
x=±1时，y=1，
则矩形ABCD的面积为2.
根据几何概率的计算公式可得，向矩形内随机投掷1000个点，
落在矩形ABCD的阴影部分中的样本点数为302个，
设阴影部分的面积为S，落在阴影部分为事件A，
所以落在阴影部分的概率P(A)=3021000=S2，
解得S=0.604．
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
抛物线的求解
【解析】
本题主要考查抛物线的定义．
【解答】
解：设A(x,y)，则x+1=3，
∴ x=2，y2=8，
故A(2,±22)，
故P(−1,±22)，
又F(1,0)，
∴ 直线l的斜率kPF=2或−2．
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
直接利用抛物线的简单性质写出结果即可．
【解答】
解：抛物线y=2x2，化为x2=12y，
故该抛物线焦点坐标为(0, 18)．
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当a=2时，可以推出l1//l2；
当l1//l2时，a(a−1)−2=0，解得a=2或a=−1；
所以“a=2”是“a=2或a=−1”的充分不必要条件，
即“a=2”是“l1//l2”的充分不必要条件．
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
利用导数与函数单调性的关系即可得出．
【解答】
解：由y=f′(x)的图象可知：
当10，此时函数f(x)单调递增；
当x<1或x>2时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，
故只有B满足.
故选B．
12.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
【解析】
设边PF1的中点为Q，连接F2Q，Rt△QF1F2中，算出|QF1|=c且|QF2|=3c，根据椭圆的定义得2a=|QF1|+|QF2|=(1+3)c，由此不难算出该椭圆的离心率．
【解答】
解：由题意，设边MF1的中点为Q，连接F2Q，
在△QF1F2中，∠QF1F2=60∘，∠QF2F1=30∘,
Rt△QF1F2中，|F1F2|=2c（椭圆的焦距），
∴ |QF1|=12|F1F2|=c，|QF2|=32|F1F2|=3c,
根据椭圆的定义，得2a=|QF1|+|QF2|=(1+3)c,
∴ 椭圆的离心率为e=ca=2c(1+3)c=3−1.
故选B.
二、填空题
【答案】
15
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
根据概率计算出球的总数，再根据频率计算出白球的个数，从而可得黑球个数．
【解答】
解：由题意可知，球的总数为： 210.42=50个，
白球的个数为： 50×0.28=14个，
所以黑球的个数为： 50−14−21=15个.
故答案为：15.
【答案】
2x−y+4=0
【考点】
导数的几何意义
直线的点斜式方程
【解析】
曲线在该点处的导数是切线的斜率．
【解答】
解：y′=6x−4，
∴ 切线斜率为6×1−4=2．
∴ 所求直线方程为y−2=2(x+1)，
即2x−y+4=0．
故答案为：2x−y+4=0．
【答案】
32
【考点】
直线与抛物线的位置关系
抛物线的性质
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
无
【解答】
解：依题意可知抛物线C:y2=16x的焦点为4,0，
所以直线AB的方程为y=x−4，
代入抛物线方程得x2−24x+16=0，
所以xA+xB=24
根据抛物线的定义可知直线AB的长为：
xA+p2+xB+P2=24+8=32.
故答案为：32．
【答案】
3π
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．
【解答】
解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1，
正方体的对角线长为3，
∵ 正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长3，
即r=32，
∴ 外接球的表面积S=4π×(32)2=3π．
故答案为：3π.
三、解答题
【答案】
解：(1)有表中数据可得u¯=15×(10+11+13+12+9)=11，
v¯=15×(23+25+30+26+16)=24，
∴ b=i=15uivi−5u¯v¯i=15ui2−5u¯2=1351−5×11×24615−5×112=3.1，
a=v¯−bu¯=24−3.1×11=−10.1，
故v关于u的线性回归方程为v=3.1u−10.1．
(2)当u=15时，v=3.1×15−10.1=36.4>35，
所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告．
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)有表中数据可得u¯=15×(10+11+13+12+9)=11，
v¯=15×(23+25+30+26+16)=24，
∴ b=i=15uivi−5u¯v¯i=15ui2−5u¯2=1351−5×11×24615−5×112=3.1，
a=v¯−bu¯=24−3.1×11=−10.1，
故v关于u的线性回归方程为v=3.1u−10.1．
(2)当u=15时，v=3.1×15−10.1=36.4>35，
所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告．
【答案】
解：(1)由题意得，
10×(a+0.03+0.015+0.01+0.005)=1，
得a=0.040．
(2)设评分的中位数为t.
则(0.005+0.010+0.030)×10+0.040×(t−80)=0.5，
解得t=81.25，
所以评分的中位数为81.25.
(3)在[60,70)内抽取5×0.10.1+0.15=2(人)，则在[90,100]内抽取3人.
记这5人中在[90,100]的3人分别为a，b，c，在[60,70)的2人分别为e，f，
则5人中抽2人的情况有:
(a,b)，(a,c)，(a,e)，(a,f)，
(b,c)，(b,e)，(b,f)，(c,e)，(c,f)，(e,f)，共10种.
其中这2人中至少一人评分在[60,70)有:
(a,e)，(a,f)，(b,e)，(b,f)，(c,e)，(c,f)，(e,f)，共7种，
所以所求事件的概率是P=710.
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
众数、中位数、平均数
频率分布直方图
【解析】
(1)根据频率分布直方图中各小矩形的面积和为1，即可求得a的值.
(2)利用方程的思想，中位数的左边和右边的直方图的面积相等，即可求出中位数；
(3)利用列举法列举出所有可能，即可由古典概型概率求解．
【解答】
解：(1)由题意得，
10×(a+0.03+0.015+0.01+0.005)=1，
得a=0.040．
(2)设评分的中位数为t.
则(0.005+0.010+0.030)×10+0.040×(t−80)=0.5，
解得t=81.25，
所以评分的中位数为81.25.
(3)在[60,70)内抽取5×0.10.1+0.15=2(人)，则在[90,100]内抽取3人.
记这5人中在[90,100]的3人分别为a，b，c，在[60,70)的2人分别为e，f，
则5人中抽2人的情况有:
(a,b)，(a,c)，(a,e)，(a,f)，
(b,c)，(b,e)，(b,f)，(c,e)，(c,f)，(e,f)，共10种.
其中这2人中至少一人评分在[60,70)有:
(a,e)，(a,f)，(b,e)，(b,f)，(c,e)，(c,f)，(e,f)，共7种，
所以所求事件的概率是P=710.
【答案】
解：(1)∵ ccsB+bcsC=a2csA，
由正弦定理得sinCcsB+sinBcsC=sinA2csA，
从而有sinB+C=sinA2csA⇒sinA=sinA2csA .
∵ sinA≠0，
∴ csA=12.
∵ 0∴ A=π3．
(2)由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC=2，
∴ b=2sinB，c=2sinC，
则b+c=2sinB+sinC
=2sinB+2sin2π3−B
=3sinB+3csB
=23sinB+π6.
∵ 0∴ π6∴ 当B=π3时，b+c取最大值23．
【考点】
正弦定理
三角函数的最值
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ ccsB+bcsC=a2csA，
由正弦定理得sinCcsB+sinBcsC=sinA2csA，
从而有sinB+C=sinA2csA⇒sinA=sinA2csA .
∵ sinA≠0，
∴ csA=12.
∵ 0∴ A=π3．
(2)由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC=2，
∴ b=2sinB，c=2sinC，
则b+c=2sinB+sinC
=2sinB+2sin2π3−B
=3sinB+3csB
=23sinB+π6.
∵ 0∴ π6∴ 当B=π3时，b+c取最大值23．
【答案】
解：(1)在公差d不为零的等差数列an中，
a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，
可得a1+2d=7，
a42=a2a9，
即a1+2d=7，a1+3d2=a1+da1+8d，
解得a1=1，d=3，
则an=a1+n−1d
=1+3n−1
=3n−2.
(2)bn=1anan+1
=13n−23n+1
=1313n−2−13n+1，
所以前n项和Sn=b1+b2+⋯+bn
=13×(11−14)+13×(14−17)+⋯+
13×13n−2−13n+1
=13×(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)
=13×(1−13n+1)
=n3n+1．
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)在公差d不为零的等差数列an中，
a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，
可得a1+2d=7，
a42=a2a9，
即a1+2d=7，a1+3d2=a1+da1+8d，
解得a1=1，d=3，
则an=a1+n−1d
=1+3n−1
=3n−2.
(2)bn=1anan+1
=13n−23n+1
=1313n−2−13n+1，
所以前n项和Sn=b1+b2+⋯+bn
=13×(11−14)+13×(14−17)+⋯+
13×13n−2−13n+1
=13×(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)
=13×(1−13n+1)
=n3n+1．
【答案】
解：1抛物线C:y2=2pxp>0的准线方程为x=−12,
F为抛物线的焦点，可得F12,0，
即p2=12，p=1，
抛物线的方程为y2=2x；
2若P是抛物线C上一点，点A的坐标为72,2，
如图，过P作PB⊥直线l，垂足为B，
当且仅当A，P，B三点共线时，
|AB|=|PA|+|PB|=|PF|+|PA|=72+12=4，
∴ |PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥4,
当且仅当A，P，B三点共线，|PA|+|PF|取得最小值4.
3由题意可得直线 MN的方程为y=x−12，
代入抛物线方程y2=2x，可得x2−3x+14=0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，可得x1+x2=3，
即有MN的中点的横坐标为32，纵坐标为32−12=1,
即有MN的中点坐标为32,1.
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】

2若P是抛物线C上一点，点A的坐标为72,2
如图，过A作AB⊥佳线l，垂足为B，
由抛物线的定义可得|PB|=|PF|
则IPA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AB|=72+12=4,
当且仅当A，P，B三点共线，|PA|+|PH|取得最小值4.
3由题意可得直线 MN的方程为y=x−12
代入抛物线方程y2=2x，可得x2−3x+14−0
设Mx1,y1,Nx2,y2，可得x1+x2=3
即有MN的中点的横坐标为32，纵坐标为32−12=1,
即有MN的中点坐标为32,1.
【解答】
解：1抛物线C:y2=2pxp>0的准线方程为x=−12,
F为抛物线的焦点，可得F12,0，
即p2=12，p=1，
抛物线的方程为y2=2x；
2若P是抛物线C上一点，点A的坐标为72,2，
如图，过P作PB⊥直线l，垂足为B，
当且仅当A，P，B三点共线时，
|AB|=|PA|+|PB|=|PF|+|PA|=72+12=4，
∴ |PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥4,
当且仅当A，P，B三点共线，|PA|+|PF|取得最小值4.
3由题意可得直线 MN的方程为y=x−12，
代入抛物线方程y2=2x，可得x2−3x+14=0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，可得x1+x2=3，
即有MN的中点的横坐标为32，纵坐标为32−12=1,
即有MN的中点坐标为32,1.
【答案】
解：(1)因为fx=−x3+3x2+9x−2，
所以f′x=−3x2+6x+9，
所以f′1=12．
又因为f1=9，
所以函数y=fx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−9=12x−1，
即12x−y−3=0；
(2)由(1)得f′x=−3x2+6x+9=−3x+1x−3，
令f′x<0，解得x<−1或x>3；
令f′x>0，解得−1所以fx的单调递减区间为−∞,−1和(3,+∞)，单调递增区间为−1,3．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】


【解答】
解：(1)因为fx=−x3+3x2+9x−2，
所以f′x=−3x2+6x+9，
所以f′1=12．
又因为f1=9，
所以函数y=fx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−9=12x−1，
即12x−y−3=0；
(2)由(1)得f′x=−3x2+6x+9=−3x+1x−3，
令f′x<0，解得x<−1或x>3；
令f′x>0，解得−1所以fx的单调递减区间为−∞,−1和(3,+∞)，单调递增区间为−1,3．月份
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广告费u（万元）
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